2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）10月月考数学（文）试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）10月月考数学（文）试卷 (1)人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知直线l1:y=x+1，l2:y=kx−1，若l1⊥l2，则实数k等于( )
A.−1B.0C.1D.2

2. 斜率为4的直线经过点A3,5，Ba,7，C−1,b三点，则a，b的值为( )
A.a=72，b=0B.a=−72，b=−11C.a=72，b=−11D.a=−72，b=11

3. 已知椭圆x225+y216=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7

4. 过直线x+y−3=0和2x−y=0的交点，且与直线2x+y−5=0平行的直线方程是( )
A.x+2y−4=0B.2x+y−4=0C.x+2y−3=0D.x−2y+3=0

5. 已知直线l1：(3+a)x+4y−5+3a=0与l2：2x+(5+a)y−8=0平行，则a等于( )
A.−7或−1B.7或1C.−7D.−1

6. 椭圆x24+y23=1的右焦点到直线y=3x的距离是( )
A.12B.32C.1D.3

7. 已知圆x2+y2=4与圆x2+y2−2y−6=0，则两圆的公共弦长为( )
A.3B.23C.2D.1

8. 过点P(2, 4)作圆(x−1)2+(y−1)2=1的切线，则切线方程为( )
A.3x+4y−4=0B.4x−3y+4=0
C.x=2或4x−3y+4=0D.y=4或3x+4y−4=0

9. 已知A(−3, 8)和B(2, 2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最小，则点M的坐标为( )
A.(−1, 0)B.(0,225)C.(225,0)D.(1, 0)

10. 设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线y=b相切，则该椭圆的离心率为( )
A.34B.32C.22D.12

11. 已知直线y=x+a与曲线y=2−x2有两个不同的交点，则实数a的取值范围是( )
A.(−2, 2)B.(0, 2)C.(2，2)D.[2，2)

12. 如图A2,0，B1,1，C−1,1，D−2,0，CD是以OD为直径的圆上一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．下列关于曲线W的结论中，正确的个数为( )
①曲线W与x轴围成的面积等于2π；
②曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；
③CB所在圆与BA所在圆的交点弦所在直线方程为x−y=0．

A.0B.1C.2D.3
二、填空题

已知0≤x≤2，0≤y≤2，则x2+y2+x2+2−y2+2−x2+y2+2−x2+2−y2最小值为________.
三、解答题

已知点A(4, 1)，B(−6, 3)，C(3, 0)．
(1)求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；

(2)求过A，B，C三点的圆的方程．

已知圆C过点A3,1，B5,3，圆心在直线y=x上．
(1)求圆C的标准方程；

(2)点P是圆O1:x2+y2−12x+35=0上任一点，求三角形PAB面积的取值范围．

求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点，且经过点1,32；

(2)经过A2,−22，B−2,−32两点.

已知A，B两点的坐标为(−1, 0)，(1, 0)，点P到A，B两点的距离比是一个常数a(a>0)，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）10月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】

【解答】
解：因为直线l1:y=x+1， l2:y=kx−1，且l1⊥l2，
所以1×k=−1，即k=−1．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
斜率的计算公式
【解析】

【解答】
解：因为kAB=kAC=4，
所以2a−3=b−5−4=4，
解得a=72，b=−11．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．
【解答】
解：由椭圆x225+y216=1，得a=5，
则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，
由定义得点P到另一焦点的距离为2a−7=10−7=3．
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
解方程组x+y−3=02x−y=0，求出交点坐标．设所求直线的方程为2x+y+m=0，把交点坐标代入，求出m，即得所求直线的方程．
【解答】
解：联立x+y−3=0,2x−y=0,得x=1,y=2,
即交点坐标为(1,2).
∵所求直线与直线2x+y−5=0平行，
∴设所求直线的方程为2x+y+m=0，
把点(1,2)代入得m=−4，
所以所求直线的方程为2x+y−4=0.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行，对应系数成比例，列出方程求出a的值，再验证两直线是否平行即可．
【解答】
解：∵ 两直线l1：(3+a)x+4y−5+3a=0，
与l2：2x+(5+a)y−8=0平行，
则(3+a)(5+a)−2×4=0，
即a2+8a+7=0，
解得a=−1或a=−7.
当a=−1时，l1：2x+4y−8=0，
l2：2x+4y−8=0，两直线重合，不满足题意；
当a=−7时，l1：−4x+4y−26=0，
l2：2x−2y−8=0，两直线平行，满足题意，
∴ a=−7．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
点到直线的距离公式
【解析】
根据题意，可得右焦点F(1, 0)，由点到直线的距离公式，计算可得答案．
【解答】
解：在椭圆x24+y23=1中，a2=4，b2=3，
则c=a2−b2=1，
所以椭圆的右焦点为F(1, 0)，
则椭圆的右焦点F(1, 0)到直线y=3x的距离d=|−3|12+(3)2=32.
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
相交弦所在直线的方程
【解析】
把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．
【解答】
解：圆x2+y2=4与圆x2+y2−2y−6=0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y=−1，
由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=−1的距离为1，且圆x2+y2=4的半径为2，
故公共弦的长为222−12=23.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
【解析】
由圆的方程找出圆心坐标与半径r，分两种情况考虑：当过P的切线斜率不存在时，直线x=4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标表示出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意圆的切线方程．
【解答】
解：由圆(x−1)2+(y−1)2=1，得到圆心坐标为(1, 1)，半径r=1，点P在圆外.
当过P的切线斜率不存在时，直线x=2满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−2)，即kx−y+4−2k=0，
∴ 圆心到切线的距离d=r，即|k−1+4−2k|1+k2=1，
解得：k=43，
此时切线的方程为y−4=43(x−2)，即4x−3y+4=0.
综上，圆的切线方程为x=2或4x−3y+4=0．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
两条直线的交点坐标
【解析】
利用对称知识得到点B(2, 2)关于x轴的对称点为B′，连接AB′，根据B′和A的坐标求得直线AB′的方程，求出它与x轴交点坐标即为M的坐标．
【解答】
解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，
此时|AM|+|BM|最小，
由B与B′关于x轴对称，B(2, 2)，可知B′(2, −2).
又A(−3, 8)，
则直线AB′的方程为y+2=8+2−3−2(x−2)，
化简得：y=−2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1, 0).
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：由题意，以F1F2为直径的圆x2+y2=c2(c2>0)与直线y=b相切，
则b=c，a=2c，
所以该椭圆的离心率为e=ca=22.
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线和圆的位置关系即可得到结论．利用特殊位置进行研究即可．
【解答】
解：曲线y=2−x2线是以(0, 0)为圆心，2为半径位于x轴上方的半圆．
当直线l:y=x+a过点A(−2, 0)时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时0=−2+a，解得a=2．
当直线l:y=x+a与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心(0, 0)到直线x−y+a=0的距离d=|a|2=2
解得a=2或−2（舍去）.
若曲线C:y=2−x2和直线l:y=x+a有两个不同的交点，
所以2≤a<2.
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
相交弦所在直线的方程
圆的标准方程
【解析】
由曲线W与x轴的图形为一个半圆和一个矩形、加上两个14圆，加上面积求和，可判断A；分别写出各个整点，即可判断B；
分别求出CB¯和AB¯所在圆的方程，两方程相减即可求解．
【解答】
解：如图.
曲线W与x轴围成的图形是以0,1为圆心，1为半径的半圆，加上以1,0为圆心，1为半径的14圆，加上以−1,0为圆心，1为半径的14圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，
可得其面积为12π+12π+2=2+π≠2π，故①错误；
曲线W上有−2,0，−1,1，0,2，1,1，2,0，共5个整点，故②正确；
③CB所在圆方程为x2+(y−1)2=1，即x2+y2−2y=0，
AB所在圆方程为(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0，
两圆方程相减可得：2x−2y=0，即x−y=0，故③正确．
综上，正确的有②③，共2个.
故选C．
二、填空题
【答案】
42
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：代数式x2+y2+x2+2−y2+2−x2+y2+2−x2+2−y2表示点Px,y与四个点O0,0，C0,2，A2,0，B2,2的距离之和，
如图，由已知OABC是边长为2的正方形，
|PO|+|PA|+|PB|+|PC|=|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|=42，
当且仅当O，P，B三点共线且A，P，C三点共线，即P为AC，OB的交点时取等号．
故答案为： 42．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ B(−6, 3)，C(3, 0)，
∴ kBC=3−0−6−3=−13，
则BC边上的高所在直线的斜率为3．
又A(4, 1)，
∴ BC边上的高所在直线的方程为y−1=3(x−4)，即3x−y−11=0.
(2)设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
则16+1+4D+E+F=0,36+9−6D+3E+F=0,9+3D+F=0,
解得D=1,E=−9,F=−12,
∴ 所求圆的方程为x2+y2+x−9y−12=0．
【考点】
圆的一般方程
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
（1）由已知求得BC所在直线的斜率，得到BC边上的高的斜率，再由直线方程点斜式求解；
（2）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标，求解可得D，E，F的值，则圆的方程可求．
【解答】
解：(1)∵ B(−6, 3)，C(3, 0)，
∴ kBC=3−0−6−3=−13，
则BC边上的高所在直线的斜率为3．
又A(4, 1)，
∴ BC边上的高所在直线的方程为y−1=3(x−4)，即3x−y−11=0.
(2)设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
则16+1+4D+E+F=0,36+9−6D+3E+F=0,9+3D+F=0,
解得D=1,E=−9,F=−12,
∴ 所求圆的方程为x2+y2+x−9y−12=0．
【答案】
解：(1)由题意设圆心为C(a,a)，半径为r，
则圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，
由题意得(3−a)2+(1−a)2=r2,(5−a)2+(3−a)2=r2,
解得a=3,r2=4,
所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．
(2)由题意知道，圆O1的圆心为(6,0)，半径r=1，
又△ABC的边AB所在直线方程为y−13−1=x−35−3，即x−y−2=0，
所以点O1到直线AB的距离为d=|6−0−2|2=22.
设三角形PAB的边AB上的高为ℎ，
则d−1≤ℎ≤d+1，即22−1≤ℎ≤22+1.
又|AB|=(3−5)2+(1−3)2=22，
所以三角形PAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=2ℎ∈[4−2,4+2]．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线的两点式方程
【解析】


【解答】
解：(1)由题意设圆心为C(a,a)，半径为r，
则圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，
由题意得(3−a)2+(1−a)2=r2,(5−a)2+(3−a)2=r2,
解得a=3,r2=4,
所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．
(2)由题意知道，圆O1的圆心为(6,0)，半径r=1，
又△ABC的边AB所在直线方程为y−13−1=x−35−3，即x−y−2=0，
所以点O1到直线AB的距离为d=|6−0−2|2=22.
设三角形PAB的边AB上的高为ℎ，
则d−1≤ℎ≤d+1，即22−1≤ℎ≤22+1.
又|AB|=(3−5)2+(1−3)2=22，
所以三角形PAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=2ℎ∈[4−2,4+2]．
【答案】
解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，
由题意可得其焦点坐标为1,0，−1,0，且过点1,32，
∴ 2a=1−(−1)2+322+1−12+322=4，
∴ a=2.
又∵ a2=b2+c2，
∴ b2=22−12=3，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1.
(2)设所求的椭圆方程为x2m+y2n=1(m>0，n>0，m≠n)，
把A2,−22，B−2,−32两点代入，
得22m+(−22)2n=1，(−2)2m+(−32)2n=1，
解得m=8，n=1，
∴ 椭圆方程为x28+y2=1.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
(1)求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出a， b，即可求解椭圆方程．
(2)设出椭圆方程，利用已知条件，列出方程组求解即可．
【解答】
解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，
由题意可得其焦点坐标为1,0，−1,0，且过点1,32，
∴ 2a=1−(−1)2+322+1−12+322=4，
∴ a=2.
又∵ a2=b2+c2，
∴ b2=22−12=3，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1.
(2)设所求的椭圆方程为x2m+y2n=1(m>0，n>0，m≠n)，
把A2,−22，B−2,−32两点代入，
得22m+(−22)2n=1，(−2)2m+(−32)2n=1，
解得m=8，n=1，
∴ 椭圆方程为x28+y2=1.
【答案】
解：设P(x, y)，由题意得|PA||PB|=a(a>0)，即|PA|=a|PB|，
∴ (x+1)2+y2=a(x−1)2+y2，
∴ (a2−1)(x2+y2)−2(a2+1)x+a2−1=0. ①
当a=1时，方程为x=0，表示y轴，是一条直线；
当a≠1时，①式两边同时除以(a2−1)可得：x2+y2−2(a2+1a2−1)x+1=0，
即(x−a2+1a2−1)2+y2=4a2(a2−1)2，
表示圆心为(a2+1a2−1, 0)，半径为2a|a2−1|的圆．
【考点】
轨迹方程
【解析】
（1）设P(x, y)，由题意得|PF1||PF2|=m，(m>0)，由此能求出结果．
（2）当m=22时，曲线C：(x−3)2+y2＝8，设直线AP:y−2＝k(x−1)，P(x1, y1)，则直线AQ:y−2＝−k(x−1)，联立y=kx+2−k(x−3)2+y2=8 ，得(1+k2)x2+(−2k2+4k−6)x+k2−4k+5＝0，由此利用韦过定理、直线方程能求出直线PQ的斜率．
【解答】
解：设P(x, y)，由题意得|PA||PB|=a(a>0)，即|PA|=a|PB|，
∴ (x+1)2+y2=a(x−1)2+y2，
∴ (a2−1)(x2+y2)−2(a2+1)x+a2−1=0. ①
当a=1时，方程为x=0，表示y轴，是一条直线；
当a≠1时，①式两边同时除以(a2−1)可得：x2+y2−2(a2+1a2−1)x+1=0，
即(x−a2+1a2−1)2+y2=4a2(a2−1)2，
表示圆心为(a2+1a2−1, 0)，半径为2a|a2−1|的圆．