2020-2021学年广东省韶关市南雄市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广东省韶关市南雄市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M=x|x2−3x=0，N=x|lg2x0，b>0，若3是3a与32b的等比中项，则1a+2b的最小值为（ ）
A.5B.6C.7D.9

4. 已知直线l1:x+2a−1y+2a−3=0，l2:ax+3y+a2+4=0，则“a=32”是“l1//l2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( )
A.6.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.15.5尺

6. 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2anan+2(n∈N∗)，则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an=2n+1B.an=1n−1C.an=nn+1D.an=1n+1

7. △ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cs2B2=a+c2c，则△ABC的形状为（ ）
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形

8. 已知函数 fx=2+lg12x,18≤x1，则¬p：∃x0≤0，使得x0+1ex≤1
C.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“ m//β”是“α//β"的必要而不充分条件
D.“∃x0∈R，2x>x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”

设a>1，b>1，且ab−(a+b)=1，那么（ ）
A.a+b有最小值2(2+1)B.a+b有最大值(2+1)2
C.ab有最大值3+22 D.ab有最小值3+22

将函数fx=2sin2x+π3的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数为y=gx则下列结论正确的是（ ）
A.函数gx的图象关于直线x=π3对称
B.函数gx的图象关于点−π3,0对称
C.函数gx在−π24,5π24上单调递增
D.当x=π3 时，函数gx取得最小值

如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）

A.若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN//BC′
B.点C到平面ABC′D′的距离为2
C.直线BC与平面ABC′D′所成的角等于π4
D.三棱柱AA′D′−BB′C′的外接球的表面积为3π
三、填空题

不等式x−1x−3≤0的解集为________.

若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna3+...+lna20=________．

已知函数y=ax+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．

设等差数列an的前n项和为Sn，且S8=6S3，a2n+1=2an+1，若1S1+1S2+⋯+1Snb>0，可以得到13a0，总有x+1ex>1，则¬p：∃x0≤0，使得x0+1ex0≤1，故B错误；
C，设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，
若m//β，不能得到α//β；
反之，若α//β，则m//β成立，
∴ “ m//β”是“α//β"的必要而不充分条件，故C正确；
D，“∃x0∈R，2x>x02,的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确.
故选CD.
【答案】
A,D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
根据a>1，b>1，即可得出a+b≥2ab，从而得出ab−2ab≥1，进而得出ab≥2+1，从而得出ab有最小值3+22；同样的方法可得出ab≤(a+b2)2，从而得出(a+b)2−4(a+b)≥4，进而解出a+b≥2(2+1)，即得出a+b的最小值为2(2+1)．
【解答】
解：∵ a>1，b>1，
∴ a+b≥2ab，当a=b时取等号，
∴ 1=ab−(a+b)≤ab−2ab，解得ab≥2+1，
∴ ab≥(2+1)2=3+22，
∴ ab有最小值3+22；
∵ ab≤(a+b2)2，当a=b时取等号，
∴ 1=ab−(a+b)≤(a+b2)2−(a+b)，
∴ (a+b)2−4(a+b)≥4，
∴ [(a+b)−2]2≥8，解得a+b−2≥22，即a+b≥2(2+1)，
∴ a+b有最小值2(2+1)．
故选AD.
【答案】
A,C
【考点】
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先根据图象变换得y=gx，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可作出选择．
【解答】
解：将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度后，得到g(x)=2sin[2(x−π4)+π3]=2sin(2x−π6)的图象．
当x=π3时，g(π3)=2sinπ2=2．故函数的图象关于x=π3对称，故选项A正确；
当x=−π3时，g(−π3)=2sin(−2π3−π6)=2sin(−5π6)≠0，故选项B错误；
当−π24≤x≤5π24时，−π4≤2x−π6≤π4，所以函数g(x)在[−π4,π4]上单调递增，故选项C正确；
当x=π3时，g(π3)=2sinπ2=2，取得最大值．故选项D错误．
故选AC．
【答案】
A,C,D
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面所成的角
球的表面积和体积
球内接多面体
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
本题逐一判断即可：A选项：先证明MN//AD′，再证明MN//BC′；B选项：先确定点到平面的距离是CE，再求CE即可；C选项：先确定线面所成的角是∠CBE，再求值；D选项：先还原几何体确定外接球半径，再求表面积．
【解答】
解：A，在△A′AD′中，点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，∴ MN//A′D′.
在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AD′//BC′，所以MN//BC′，故A正确；
B，连接B′C交BC′于点E，如图，
则CE⊥BC′.
∵AB⊥平面BCC′B′，CE⊂平面BCC′B′，
∴AB⊥CE.
∵BC′⊂平面ABC′D′，AB⊂平面ABC′D′，AB∩BC′=B，
∴ CE⊥平面ABC′D′，
∴ 点C到平面ABC′D′的距离为CE，解得：
CE=22，故B错误；
C，由B选项知直线BC与平面ABC′D′所成的角为∠CBE=π4，故C正确；
D，三棱柱AA′D′−BB′C′的外接球就是正方体ABCD−A′B′C′D′的外接球，
∴ 半径为： r=32，S=4πr2=3π，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
[1,3)
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
原不等式等价于x−1x−3≤0且x−3≠0，求解即可.
【解答】
解：∵ x−1x−3≤0，
∴ x−1x−3≤0且x−3≠0，
解得1≤x0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a+b，a>1，b>0．即(a−1)+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵ 函数y=ax+b(b>0)的图象经过点P(1, 3)，
∴ 3=a+b，a>1，b>0．
∴ (a−1)+b=2．
∴ 4a−1+1b=12(a−1+b)(4a−1+1b)
=12(5+4ba−1+a−1b)
≥12(5+24ba−1⋅a−1b)=92，
当且仅当a−1=2b=43时取等号．
故答案为：92．
【答案】
2
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
数列的求和
不等式恒成立问题
【解析】
直接利用等差数列的定义，裂项相消法，函数的恒成立问题的应用求出结果．
【解答】
解：等差数列an的前n项和为Sn，且S8=6S3，
整理得： 8a1+8×72d=6×3a1+3×22d，
解得a1=d，
因为a2n+1=2an+1，
所以a3=2a1+1，整理得a1=d=1，
故an=n，
整理得Sn=nn+12，
所以1Sn=2nn+1=21n−1n+1，
所以1S1+1S2+⋯+1Sn
=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=2(1−1n+1)0，
所以x1+x2=−6k1+k2，x1x2=51+k2，
k1+k2=y1−43x1+y2−43x2
=kx1+3−43x1+kx2+3−43x2
=2k+53x1+53x2
=2k+53×x1+x2x1x2
=2k+53×−6k1+k2×1+k25=0.
所以k1+k2为定值0.
【考点】
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
直线与圆相交的性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)直线l的斜率k=2，则直线1的方程为： y=2x+3，
圆心到直线l的距离为d=31+2=3．所以|AB|=2r2−d2=24−3=2.
(2)设直线l的方程为y=kx+3，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=kx+3,x2+y2=4,有1+k2x2+6kx+5=0，
Δ=36k2−4×1+k2×5>0，
所以x1+x2=−6k1+k2，x1x2=51+k2，
k1+k2=y1−43x1+y2−43x2
=kx1+3−43x1+kx2+3−43x2
=2k+53x1+53x2
=2k+53×x1+x2x1x2
=2k+53×−6k1+k2×1+k25=0.
所以k1+k2为定值0.
【答案】
解：(1)依题意可知，k≠0 假设存在实数k，
使 (2x1+x2)(x1+2x2)=114 成立.
因为f(x) 有两个不同零点，
所以Δ=16k2−16k(k+1)=−16k>0，解得 k