2021学年13.4课题学习 最短路径问题综合训练题

这是一份2021学年13.4课题学习 最短路径问题综合训练题，共17页。试卷主要包含了0分），5B，【答案】A，【答案】B，【答案】C，【答案】2等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为( )
A. 12cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 2cm
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为AC、BC上的动点，且CF=AE，连接BE，AF，当BE+AF取得最小值时，则AE：BF的值为( )
A. 0.5B. 1C. 2D. 2
如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC的长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，分别向P，Q两村供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是( )
A. B.
C. D.
如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )
A. 15∘B. 22．5∘C. 30∘D. 45∘
A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取的点P处建一个服务中心，使PA+ PB最小.下面四种选址方案符合要求的是( )
A. A.B.
C. D.
在如图所示的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最小，则点P应选在( )
A. C点B. D点C. E点D. F点
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，∠BAC=30°，AB=4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是______．
如图，∠AOB=30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP=α，∠ONQ=β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系是______．
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为______．
如下图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，且CD =5，AD=13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD =10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
如图，点P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线．
如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小⋅
如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短⋅
如图所示，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村往Q村，要经过两座桥EF、MN.现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF、MN的位置，使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
(1)求证：△ABC≌△BDF；
(2)P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF=5，AC=9，求AN+PN的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC．
∴PA+BP=AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．
故选：A．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20−12=8(cm)，
在MN上取点P，
∵MN垂直平分AC
连接PA、PB、PC
∴PA=PC
∴PA−PB=PC−PB
在△PBC中PC−PB当P、B、C共线时(PC−PB)有最大值，此时PC−PB=BC=8cm．
故选：B．
根据垂直平分线的性质和三角形两边之差小于第三边解答即可．
本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵C，D关于AB对称，
∴DA=DB，∠DAB=∠CAB=45°，∠ABD=∠ABC=45°，
∴∠CAD=∠CBD=∠ADC=∠C=90°，
∴四边形ACBD是矩形，
∵CA=CB，
∴四边形ACBD是正方形，
∵在△ACF和△DAE中，
CF=AE∠C=∠EAD=90°CA=DA，
∴△ACF≌△DAE(SAS)，
∴AF=DE，
∴AF+BE=ED+EB，
∵CA垂直平分线段DH，
∴ED=EH，
∴AF+BE=EB+EH，
∵EB+EH≥BH，
∴AF+BE的最小值为线段BH的长，
∴当点E在BH上时，BE+AF取得最小值，
此时：在△AHE和△CBE中，
∠AEH=∠BEC∠HAE=∠BCE=90°AH=BC，
∴△AHE≌△CBE(AAS)，
∴AE=CE=12AC，
∴CF=AE=12BC，
∴BF=12BC=12AC，
∴AE：BF的值为1，
故选：B．
作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE，由“SAS”可证△ACF≌△DAE，可得AF=DE=HE，可得当点E在BH上时，BE+AF取得最小值，由“AAS”可证△AHE≌△CBE，可得AE=CE=12AC，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，确定点E的位置是本题的关键．
4.【答案】B
【解析】如图，作点A关于CD的对称点H．
∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上．
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，
此时AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF．
过A作AG⊥BC于G．
∵△ABC的面积为12，BC的长为6，
∴AG=4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC=CH，
∴S△ACH=12AC⋅HF=12CH⋅AG，
∴HF=AG=4，
∴AE+EF的最小值是4，故选B．

5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】C
【解析】如图，过E作EM//BC，交AD于N，交AB于M，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60∘，
∵EM//BC，
∴∠AEM=∠ACB=60∘，
∴△AME为等边三角形，
∴AM=AE=2，
∵AB=4，
∴BM=2=AM，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM//BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD所在直线对称，
连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30∘，
故选C．
7.【答案】A
【解析】根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最小，则选项A符合要求．
8.【答案】A
【解析】如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点即为点P，此时PA+PB最小，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选在C点.故选A．
9.【答案】2
【解析】解：由题意得：当BP⊥AC时，线段BP的值最小，
∵∠BAC=30°，AB=4，
∴BP=12AB=2，
故答案为：2．
根据垂线段最短得：当BP⊥AC时，线段BP的值最小，从而可得结论．
本题考查了垂线段的性质，含30度角的直角三角形等，解题关键是能够熟练运用各性质解决问题．
10.【答案】α−β=90°
【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠QPN=∠PQO+30°
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1−30°+∠2，∠NQN′=2∠3，
∴∠1−30°+∠2=2(30°+∠2)，
∴∠1−∠2=90°，
即α−β=90°．
故答案为：α−β=90°．
如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到∠1=∠O+∠OPM，∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，由轴对称的性质得到∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，于是得到∠QPN=∠1+30°，由于∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1−30°+∠2，∠NQN′=2∠3，即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．
11.【答案】80°
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°−50°=80°，
故答案为：80°．
据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
12.【答案】18
【解析】 如图，连接AM，
∵EF垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴DM+MC=MD+AM，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
即当DM+MC取最小值时，DM+MC=AD，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值=13+5=18，
故答案为18．
13.【答案】10cm
【解析】当CD与OA的交点为E，与OB的交点为F时，小蚂蚁爬行的路径最短．
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME=CE，MF=DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10cm．
14.【答案】解：如图所示．
作法： ①分别作点P关于AB，CD的对称点P′，P″;
②连接P′P″，分别交AB，CD于点M，N;
③分别连接MP，NP．
∵PM=P′M，PN=P″N，且点P″，N，M，P′在同一条直线上，
∴PM+MN+NP=P′P″，
∴P′P″的长即为最小路程．
∴PM+MN+NP为最佳行走路线．
【解析】本题考查的作图与应用设计作图，根据轴对称确定最短路线是解题的关键．分别画出点P关于AB、CD的对称点P′，P″，连接P′P″，则P′P″的长即为最小路程．
15.【答案】解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E，再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，BD，则四边形ABDC即为所求．
【解析】见答案
16.【答案】解：如图，作BB′垂直于河岸GH，且BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF交于P，将PB′沿与河垂直的方向平移，得到DB，连接PD，则PD//BB′且PD=BB′.利用平移可知PB′=BD.根据“两点之间，线段最短”，可知满足题意的路径中，路径A→P→D →B最短.故桥架在PD处符合题意．
【解析】略.
17.【答案】解：如图所示．
(1)过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l3，垂足为B;
(2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度;
(3)连接CD，分别交l2和l4于点E和M;
(4)过点E和M分别作l1和l3的垂线段，垂足分别为F和N;
(5)连接PF和QN，则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意的最短路线．
【解析】本题主要考察的是轴对称的最短路线问题。需要通过作图构建轴对称图形进行求解。较为综合，同时也考察了作图与测量的能力。
18.【答案】(1)证明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，DF⊥CB，
∴∠C=∠DFB=90°．
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD=AB，∠DBA=90°，
∵∠DBF+∠ABC=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠DBF=∠CAB，
∴△ABC≌△BDF(AAS)；
(2)解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF=BC=5，BF=AC=9，
∴FC=BF+BC=9+5=14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN=DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．
【解析】(1)根据正方形的性质得出BD=AB，∠DBA=90°，进而得出∠DBF=∠CAB，因为∠C=∠DFB=90°.根据AAS即可证得结论；
(2)根据正方形的性质AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，则AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称−最短路线问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．