数学八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试习题

13.3等腰三角形同步练习-人教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，则

A.
B.
C.
D.

2. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，，则CD等于

A. 10
B. 5
C. 4
D. 3

3. 一条船从海岛A出发，以15海里时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西方向上，在海岛B的北偏西方向上．则海岛B到灯塔C的距离是

A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里

4. 如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，已知等腰三角形ABC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，在，，D为BC上一点，且，，则的大小为   

A.
B.
C.
D.

7. 在中，，，则AC的长为   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 如图，，，于点D，则AD的长为   

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

10. 在中，，于点D，，以下说法错误的是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，，等边的顶点A在直线m上，则

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在中，，AD平分，那么下列结论不一定成立的是   

A.
B. AD是的高线
C. AD是的角平分线
D. 是等边三角形
 

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，的边BC上有D、E两点，且，则______．
     

14. 已知，等腰中，，，P为直线BC上一点，，则的度数为______．
15. 如图，在中，，点D和E分别在AB和AC上，且连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为______．
     

16. 已知的高AD，BE所在的直线交于点F，若，则的度数为_______

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 如图1所示，在直角梯形ABCD中，，，，以CD为一边的等边的另一顶点E在腰AB上．
    求的度数；
    求证：；
    如图2所示，若F为线段CD上一点，，求的值．

18. 如图，在中，BI、CI分别平分、，DE过点I，且，，，则DE等于________．

19. 如图，早上8：00，一艘轮船以15海里小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
    
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

20. 如图，在中，．
    尺规作图：作，D点在AC边上要求：不写作法，保留作图痕迹
    若，求的度数．
    
     

21. 如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，．
    

求证：；

若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
．
故选：D．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行线的性质可求．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出和．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：是等腰三角形ABC的顶角平分线，，
．
故选：B．
根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：如图．

根据题意得：，，
，
，
，
，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出，根据等角对等边得出，求出AB即可．
本题考查了方向角问题，等腰三角形的判定和三角形的外角性质，关键是求出．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：如图，

等边三角形
．
故选：C．
由等边三角形的性质及四边形的内角和为可求得．
本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为；2、等边三角形的内角均为．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意证得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，通过等量代换证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
，
，
，
．
故选：C．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用。根据可得，可得，，可得，在中利用三角形内角和定理可求出。
解：


，


设，
则
又



故选B。  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，利用等角对等边可得，即可得到答案．
【解答】
解：，
．
故选D．  

8.【答案】B
 

【解析】解；当顶角为时，，
当顶角为时，
所以A选项错误．
当顶角为时，，
所以B选项正确．
当顶角为时，，
当顶角为时，
所以C选项错误．
当顶角为时，，
当顶角为时，
所以D选项错误．
故选：B．
根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形两腰相等、两底角相等的性质以及三角形外角的性质，同时考查了含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据等腰三角形等边对等角，可求出，再根据三角形外角的性质得出，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AD．
【解答】
解：，
，
又是的一个外角，

在中，，，
，
故选：C．  

10.【答案】B
 

【解析】解：中，，，
；
，
，
，又，
，
在中，，，
在中，，，
故选：B．
在直角三角形ABC中，由的度数求出的度数，在直角三角形BCD中，可得出度数为，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得到，由BD的长求出BC的长，在直角三角形ABC中，同理得到，于是得到结论．
此题考查了含角直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：，
．
是等边三角形，
，
．
，
，即，解得．
故选：B．
先根据对顶角相等求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

12.【答案】D
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
是等边三角形，
，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：．
由，可得是等边三角形，即可得，又由，，即可求得与的度数，继而求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：如图1，在等腰中，，，
，
，
；
如图2，在等腰中，，，
，
，
．
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．
此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，注意：此题分为两种情况，做到不重不漏是解此题的关键．

根据题意画出两个图形，得到，，，证≌，推出，求出即可；

得到，，，证≌，推出，求出即可．

【解答】

解：如图1，

，，
，
，，
，
在和中，

，

≌，
，
，
，
即，
如图2，

，，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
≌，

，
，
，
即，
故答案为或．

17.【答案】解：，，
．
由等边可知，
故．
由，，可得，
．

证明：由知，
，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由是等边三角形得，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
就是线段DE的垂直平分线，即．
连接AC，，
，
又，
，
．

解：，．
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
，，
，故BC．
由知：，故BA，
，
，
又，，
．
．
，，，
≌．
，即点F是线段CD的中点．
．
 

【解析】根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余进行求解；
连接AC，根据等腰直角三角形的判定方法进行证明；
连接AF，BF、AD的延长线相交于点根据三角形的内角和定理以及的结论发现等边三角形ABF，进一步发现全等三角形，即≌，从而求解．
此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定．
 

18.【答案】3cm
 

【解析】

【分析】

此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形由BI、CI分别平分、，DE过点I，且，易得与是等腰三角形，继而求得答案．

【解答】

解：、CI分别平分、，
，，
，
，，
，，
，，
．
故答案为3cm．

19.【答案】解：如图，过点P作于点D，

，，
，
，
，
海里，
海里，
在中，，，
，
轮船继续向前航行，有触礁的危险．
 

【解析】过点P作于点D，利用三角形外角可求出，利用角的度数可判断为等腰三角形，利用时间和速度可求出AB的长度，也就求出PB的长，再利用即可求得PD的长度，与18比较即可得出结论．
本题考查了行船遇暗礁问题，关键是把实际问题转化为数学问题，利用等腰三角形和直角三角形的性质来解决．
 

20.【答案】解：如图，为所作；

，
，
，
．
 

【解析】以B点为圆心，BC为半径画弧交AC于D，则；
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的性质．
 

21.【答案】解：连接AE，
垂直平分AB，
，
，
，
是EC的中点，
；
设
，
，
由三角形的外角的性质，，
，
，
在三角形ABC中，，
，
．
 

【解析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．

连接AE，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知
设，由可知，然后根据三角形ABC的内角和为列出方程即可求出x的值．