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广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案）
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这是一份广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C．- D．2
2．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，3 C．9，40，41 D．3，4，5
3．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．＝2 C．+2＝ D．3﹣＝3
5．在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝（ ）
A．130° B．50° C．40° D．25°
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
8．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③五边形DAGEC的周长是44，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算：__________．
12．如果最简二次根式与可以合并，则x=__________
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝_____，∠A＝_____，∠B＝_____．（角度精确到1′）
14．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是______．
15．若，则代数式的值为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
三、解答题
17．（1）5﹣﹣；
（2）（4﹣6）+2．
18．（+2）（﹣2）+（﹣）2．
19．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
20．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
(1)求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
21．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
23．阅读下面的问题：
﹣1；
；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24）．
（1）求AB的值；
（2）点C在OA上，且BC平分∠OBA，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，点M在第三象限，点D为y轴上的一个点，连接DM交x轴于点H，连接CM,点F为BC的中点，点E为AD的中点，AD与BC交于点G,，点H为DM的中点，当∠MCG-∠DGF=∠OAB，且AD=CM时,求线段EF的长．
25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
参考答案
1．C
【分析】
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
A、是三次根式；故本选项不符合题意；
B、-1＜0，无意义；故本选项不符合题意；
C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，形如（a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．
2．B
【分析】
利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】
解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、92+402＝412，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键 ．
3．C
【详解】
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故选C．
点睛：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4．B
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【详解】
解：A、与,无法计算,故此选项错误；
B、,故此选项正确；
C、+2,无法计算,故此选项错误；
D、3﹣=2,故此选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.
5．B
【分析】
由平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边的对角相等是解题的关键．
6．D
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，再添加对角线相等，即可得出四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：可添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理——对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
7．A
【分析】
根据平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC＝3，再利用勾股定理可得BO的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO＝，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
8．D
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【详解】
解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∵菱形的边长为，
∴AB＝，
∴，
∴BD＝2BO＝4，
∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
9．A
【分析】
由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，
当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，
故选A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC；再由 GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，由此可得五边形的周长．
【详解】
解：由折叠可知：
CE＝FE，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，
∴AG+EC＝GF+EF＝GE，故①正确；
∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG＝∠FDG，
由折叠可得，∠CDE＝∠FDE，
∴∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC＝45°，故②正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，EG＝10，
∴五边形DAGEC的周长是：12+12+6+4+10＝44，故③正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，多边形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键．
11．6
【分析】
原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
【详解】
解：原式．
故答案是：6．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
12．2
【分析】
根据同类二次根式的定义求解即可．
【详解】
解：最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴2x+1=5，
∴x=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．13 22°36′ 67°24′
【分析】
根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴由勾股定理可知： ，
∴，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．15°
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝（180°﹣∠BAE）＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，属于基础题，熟记各性质是解题的关键．
15．0.
【分析】
利用配方法把x2﹣4x﹣6变为(x-2)2-10，然后把x＝2﹣代入计算即可.
【详解】
∵x＝2﹣，
∴x2﹣4x﹣6
=(x-2)2-10
=(2﹣ -2)2-10
=10-10
=0.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
16．2
【分析】
连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF＝DN，要使EF长度最大则需DN长度最大，然后结合图形解答即可．
【详解】
解：连接DN、DB，如图所示，
在中，∠A＝90°，AB＝，AD＝2，
∴，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握勾股定理及中位线的性质是解题的关键．
17．（1）2﹣2；（2）4﹣4
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
.
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的相关知识.
18．4﹣2
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】
解：原式＝5﹣8+5﹣2 +2
＝4﹣2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，能利用平方差公式和完全平方公式简化运算是解题的关键．
19．见解析
【分析】
根据一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB//CD，
∵AE＝CF，
∴EB＝FD，EB//FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理进行求解.
20．AE=2.4米 BD=0.8米
【分析】
（1）在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为0.7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）在Rt△ABE中，∠E=90°，AE==2.4（米）；
（2）∵CE=AE-AC=2.4-0.4=2（米），DC=2.5（米），
∴DE==1.5（米），
∴DB=DE-BE=1.5-0.7=0.8（米）
答：梯脚B将外移（即DE的长）0.8米．
考点：勾股定理的应用．
21．（1）见解析；（2）△ABC的面积为cm2．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可
（2）根据勾股定理先求出BD，然后再求三角形的面积即可
【详解】
（1）∵BC=20，BD=16，CD=12
122+162=202
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x=，
∴AC= +12=cm，
∴△ABC的面积S=BD•AC=×16×=cm2．
【点睛】
勾股定理及其逆定理是本题的考点，熟练掌握其定理和逆定理是解题的关键.
22．（1）详见解析；（2）24
【分析】
（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=AB•AC，结合条件可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∵D是BC的中点
∴BD=CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23．（1）＝，＝；（2）=，=，（3）9．
【分析】
（1）根据所给式子可知，把的分子、分母分别乘以即可化简；把的分子、分母分别乘以即可化简；
（2）由所给式子和（1）的计算可知，当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时，其化简的结果等于它的有理化因式；
（2）根据（2）中所总结规律计算即可.
【详解】
（1）＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
＝＝；
（3）
﹣1++……+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点睛】
本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.熟练掌握有理化因式是解答本题的关键，单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
24．（1）30；（2）C（8，0）；（3）
【分析】
（1）根据勾股定理计算即可；（2）过点C作CN⊥AB于点N，则OC=CN，设OC的长为x，则CA的长为18-x，根据即可求解；（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，证明△MHI≌△DHO，进而可得DO=MI，再证明△MCI≌△DAO，
得到∠MCI=∠DAO，再结合已知得到AD平分∠OAB，根据求出OD的长，从而得到点D的坐标，求出点E、F的坐标，再根据两点间距离公式求出EF的长即可.
【详解】
（1）∵A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24），
∴OA=18，OB=24，
∴；
（2）如图，过点C作CN⊥AB于点N，设OC的长为x，则OC=CN=x，CA=18-x，
∴，即，
解得x=8，
∴点C的坐标为（8，0）；
（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，
∵点H为DM的中点，
∴DH=HM，
又∵∠MHI=∠DHO，∠MIO=∠DOH，
∴△MHI≌△DHO，
∴DO=MI，
∵AD=CM，
△MCI≌△DAO，
∴∠MCI=∠DAO，
∵∠MCG-∠DGF=∠OAB，∠OCG=∠CGA+∠CAG，
∴∠MCI=∠DAB，
∴∠DAB=∠DAO，即AD平分∠OAB，
∴DO=DJ，
设DO=x，则BD=24-x，
∴，
即，
解得x=9，
∴点D的坐标为（0，9），
∴点，，
∴.
【点睛】
本题考查勾股定理、三角形全等的判定等知识，解题的关键是作出合适的辅助线，通过证明三角形全等得出点D的坐标.
25．（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝，
∴DM＝．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C．- D．2
2．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，3 C．9，40，41 D．3，4，5
3．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．＝2 C．+2＝ D．3﹣＝3
5．在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝（ ）
A．130° B．50° C．40° D．25°
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
8．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③五边形DAGEC的周长是44，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算：__________．
12．如果最简二次根式与可以合并，则x=__________
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝_____，∠A＝_____，∠B＝_____．（角度精确到1′）
14．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是______．
15．若，则代数式的值为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
三、解答题
17．（1）5﹣﹣；
（2）（4﹣6）+2．
18．（+2）（﹣2）+（﹣）2．
19．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
20．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
(1)求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
21．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
23．阅读下面的问题：
﹣1；
；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24）．
（1）求AB的值；
（2）点C在OA上，且BC平分∠OBA，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，点M在第三象限，点D为y轴上的一个点，连接DM交x轴于点H，连接CM,点F为BC的中点，点E为AD的中点，AD与BC交于点G,，点H为DM的中点，当∠MCG-∠DGF=∠OAB，且AD=CM时,求线段EF的长．
25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，
①求证：；
②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
参考答案
1．C
【分析】
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
A、是三次根式；故本选项不符合题意；
B、-1＜0，无意义；故本选项不符合题意；
C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，形如（a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．
2．B
【分析】
利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】
解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、92+402＝412，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键 ．
3．C
【详解】
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故选C．
点睛：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4．B
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【详解】
解：A、与,无法计算,故此选项错误；
B、,故此选项正确；
C、+2,无法计算,故此选项错误；
D、3﹣=2,故此选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.
5．B
【分析】
由平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边的对角相等是解题的关键．
6．D
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，再添加对角线相等，即可得出四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：可添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理——对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
7．A
【分析】
根据平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC＝3，再利用勾股定理可得BO的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO＝，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
8．D
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【详解】
解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∵菱形的边长为，
∴AB＝，
∴，
∴BD＝2BO＝4，
∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
9．A
【分析】
由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，
当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，
故选A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC；再由 GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，由此可得五边形的周长．
【详解】
解：由折叠可知：
CE＝FE，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，
∴AG+EC＝GF+EF＝GE，故①正确；
∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG＝∠FDG，
由折叠可得，∠CDE＝∠FDE，
∴∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC＝45°，故②正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，EG＝10，
∴五边形DAGEC的周长是：12+12+6+4+10＝44，故③正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，多边形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键．
11．6
【分析】
原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
【详解】
解：原式．
故答案是：6．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
12．2
【分析】
根据同类二次根式的定义求解即可．
【详解】
解：最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴2x+1=5，
∴x=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．13 22°36′ 67°24′
【分析】
根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴由勾股定理可知： ，
∴，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．15°
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝（180°﹣∠BAE）＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，属于基础题，熟记各性质是解题的关键．
15．0.
【分析】
利用配方法把x2﹣4x﹣6变为(x-2)2-10，然后把x＝2﹣代入计算即可.
【详解】
∵x＝2﹣，
∴x2﹣4x﹣6
=(x-2)2-10
=(2﹣ -2)2-10
=10-10
=0.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
16．2
【分析】
连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF＝DN，要使EF长度最大则需DN长度最大，然后结合图形解答即可．
【详解】
解：连接DN、DB，如图所示，
在中，∠A＝90°，AB＝，AD＝2，
∴，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握勾股定理及中位线的性质是解题的关键．
17．（1）2﹣2；（2）4﹣4
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
.
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的相关知识.
18．4﹣2
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】
解：原式＝5﹣8+5﹣2 +2
＝4﹣2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，能利用平方差公式和完全平方公式简化运算是解题的关键．
19．见解析
【分析】
根据一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB//CD，
∵AE＝CF，
∴EB＝FD，EB//FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理进行求解.
20．AE=2.4米 BD=0.8米
【分析】
（1）在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为0.7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）在Rt△ABE中，∠E=90°，AE==2.4（米）；
（2）∵CE=AE-AC=2.4-0.4=2（米），DC=2.5（米），
∴DE==1.5（米），
∴DB=DE-BE=1.5-0.7=0.8（米）
答：梯脚B将外移（即DE的长）0.8米．
考点：勾股定理的应用．
21．（1）见解析；（2）△ABC的面积为cm2．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可
（2）根据勾股定理先求出BD，然后再求三角形的面积即可
【详解】
（1）∵BC=20，BD=16，CD=12
122+162=202
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x=，
∴AC= +12=cm，
∴△ABC的面积S=BD•AC=×16×=cm2．
【点睛】
勾股定理及其逆定理是本题的考点，熟练掌握其定理和逆定理是解题的关键.
22．（1）详见解析；（2）24
【分析】
（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=AB•AC，结合条件可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∵D是BC的中点
∴BD=CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23．（1）＝，＝；（2）=，=，（3）9．
【分析】
（1）根据所给式子可知，把的分子、分母分别乘以即可化简；把的分子、分母分别乘以即可化简；
（2）由所给式子和（1）的计算可知，当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时，其化简的结果等于它的有理化因式；
（2）根据（2）中所总结规律计算即可.
【详解】
（1）＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
＝＝；
（3）
﹣1++……+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点睛】
本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.熟练掌握有理化因式是解答本题的关键，单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
24．（1）30；（2）C（8，0）；（3）
【分析】
（1）根据勾股定理计算即可；（2）过点C作CN⊥AB于点N，则OC=CN，设OC的长为x，则CA的长为18-x，根据即可求解；（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，证明△MHI≌△DHO，进而可得DO=MI，再证明△MCI≌△DAO，
得到∠MCI=∠DAO，再结合已知得到AD平分∠OAB，根据求出OD的长，从而得到点D的坐标，求出点E、F的坐标，再根据两点间距离公式求出EF的长即可.
【详解】
（1）∵A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24），
∴OA=18，OB=24，
∴；
（2）如图，过点C作CN⊥AB于点N，设OC的长为x，则OC=CN=x，CA=18-x，
∴，即，
解得x=8，
∴点C的坐标为（8，0）；
（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，
∵点H为DM的中点，
∴DH=HM，
又∵∠MHI=∠DHO，∠MIO=∠DOH，
∴△MHI≌△DHO，
∴DO=MI，
∵AD=CM，
△MCI≌△DAO，
∴∠MCI=∠DAO，
∵∠MCG-∠DGF=∠OAB，∠OCG=∠CGA+∠CAG，
∴∠MCI=∠DAB，
∴∠DAB=∠DAO，即AD平分∠OAB，
∴DO=DJ，
设DO=x，则BD=24-x，
∴，
即，
解得x=9，
∴点D的坐标为（0，9），
∴点，，
∴.
【点睛】
本题考查勾股定理、三角形全等的判定等知识，解题的关键是作出合适的辅助线，通过证明三角形全等得出点D的坐标.
25．（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝，
∴DM＝．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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