数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定教案

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判定两三角形相似的方法

1.定义法:  对应角相等，对应边的比相等   的两个三角形相似.

2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形  相似    .

3.  三边 对应成比例的两个三角形相似.

   学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。

   类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和2来判断两个三角形相似呢？

回答问题，回顾知识。

教师出示问题

师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。

从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。

活动探究

讲授新课

讲授新课+

例题讲解

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例题讲解

如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A ,=k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？

这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？

∵小方格边长都是1

∴=k，B′C′=，BC=3

∴=k

∵

∴ △ABC ∽△A′B′C′.

∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C′.

探究结果：

如果∠A=∠A ,=k

那么△ABC ∽△A′B′C′.

教师提问：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？

已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.

求证:△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′.

∵ DE∥B′C′

∴△A′DE∽△A′B′C′.

∴

又∵ ，A′D=AB

∴ A′E=AC

在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC

∴ △A′DE ≌△ABC

∴ △ABC ∽△A′B′C′.

教师讲授知识：

利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．”

符号语言：

∵, ∠B=∠B′

∴ △ ABC ∽ △A′B′C.

【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？

不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。

教师归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.

【例1】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：

∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，

∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．

解：，=，

∴

又 ∠A′ = ∠A

∴ △ABC ∽△A′B′C′.

【试一试】已知∠A=40°，AB=8，AC=15，  ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

解： △ABC ∽△A′B′C′.理由如下：

 ，=，

∴

又 ∠A′ = ∠A

∴ △ABC ∽△A′B′C′.

【例2】如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE 的长.

证明：∵ AE=1.5，AC=2，

∴

又∵∠EAD=∠CAB，

∴ △ADE ∽△ABC，

∴

∴ DE=BC= .

注意：解题时要找准对应边.

【试一试】如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．

（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）

（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， BC=,求CD 的长．

解：（1）CD :CB＝BC :AC .

（2）设CD＝x，则CA＝x＋2．

当△CBD∽△CAB，且AD＝2，BC=,

有，即,

∴x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．

但x２＝－3不符合题意，舍去．

∴CD＝1．

【例3】在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证 ：∠ACB=90°.

证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，

∴ ∠ADC =∠CDB =90°.

∵

∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，

∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.

教师出示问题，师生共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。

教师出示问题探究问题，师生共同探究两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。

教师出示例题和例题变式题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。

教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。

讲解知识，让学生学习新知识。

教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。

通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。

课题练习

课题练习

1. 判断

(1)两个等边三角形相似.    （ √）   

(2)两个直角三角形相似.   （×）     

(3)两个等腰直角三角形相似.      （ √） 

(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似.（×）         

2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ）

A.∠A=∠D=40° ，∠B=∠E=60°，AB=DE

B.∠A=∠D=60° ，∠B= 40° ，∠E=80°  

C.∠A=∠D=50° ，AB=3， AC=5，DE=6，DF=10    

D.∠B=∠E=70° ，

注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不是夹角，则它们不一定会相似．

3.在△ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC =  3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.

求证：△DEF∽△ABC.

证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，

DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，

∴

又 ∵∠C =∠F = 70°，

∴ △DEF ∽△ABC.

4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求 AD 的长．

解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，

∴    

又∵∠B=∠ACD，

∴ △ABC ∽ △DCA，

∴

∴

 5.如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，．

试问:DE 与AB 垂直吗? 为什么?

证明：DE⊥AB．理由如下:

∵AE：AD＝AB：AC,

∴ ．

又∠A＝∠A,

∴△ABC∽△AED．

∴∠ADE＝∠C＝90°．

∴DE 与AB 垂直．

学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。

教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。

通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。

课堂小结

本节课学习了什么内容呢？

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. .

与教师一起回顾本节的内容。

引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。

板书

27.2.1 相似三角形的判定（3）

作业布置

教材34页练习第1题第（2）小题；

教材34页练习第2题第（2）小题。