2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线x+3y+1=0的倾斜角为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 不等式2x2−5x+2<0的解集为( )
A.x|x>2B.x|x<12C.x|122}

3. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )
A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=0

4. 圆x2+y2−4x−4y=0与x轴交于A，B两点，则劣弦AB所对的圆心角为( )
A.30∘B.60∘C.90∘D.120∘

5. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )
A.1B.4C.1或7D.4或6

6. 过点(0, 1)且与抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线共有( )条．
A.0B.1C.2D.3

7. 若双曲线8kx2−ky2=1的一个焦点是2,0，则k的值是( )
A.2B.932C.62D.−62

8. 直线y=x+b与曲线x=1−y2有且有一个公共点，则b的取值范围是( )
A.b=2 B.−1
9. 以双曲线y2−x23=1的上焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )
A.(x−2)2+y2=4B.x2+(y−2)2=2C.(x−2)2+y2=2D.x2+(y−2)2=4

10. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( )
A.2B.3C.4D.8

11. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF1F2=60∘，则C的离心率为（）
A.1−32B.2−3C.3−12D.3−1

12. 已知F是双曲线C：x24−y25=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF的面积为( )
A.32B.52C.72D.92
二、填空题

过点P1,−3与圆O：x2+y2=4相切的切线方程为________.

双曲线的焦点在x轴上，且经过点M3,2，N−2,−1，则双曲线的标准方程是________.

抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是它到y轴距离的2倍，则焦点的横坐标为________.

点P是椭圆x22+y2=1上的一个动点，F2为右焦点，O为原点，满足OP→⋅PF2→≥−1，则点P的横坐标的取值范围是________.
三、解答题

已知不等式kx2−2x+6k<0（k∈R）.
(1)若不等式的解集是{x|x<−3或x>−2}，求k的值；

(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．

直线l过点P(−1, 2)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于12．
(1)求直线l的方程．

(2)求圆心在l上且经过点M(2, 1)，N(4, −1)的圆的方程．

已知动圆E与定圆F:x−22+y2=1外切，且与直线x=−1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l交C于A，B两点，且AB中点为4,2，求l的方程．

已知椭圆E：7x2+4y2=28及直线l：3x−2y+m=0.
(1)当l与E有公共点时，求m的取值范围；

(2)当m=−16时，记直线为l′，在E上求一点P，使它到l′的距离最短，并求出最短距离．

已知双曲线C1：x24−y2=1的左右焦点分别为F1，F2．
(1)求与C1有相同渐近线，且过点P(2, 5)的双曲线C2的方程；

(2)若点P为双曲线C1的左支上一点，∠F1PF2=60∘，求△F1PF2的面积．

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0，经过点43,53，且离心率为32，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点A0,−2的直线l与E相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．
【解答】
解：直线x+3y+1＝0的斜率k=−13=−33，
设其倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，
则tanθ=−33，
∴ θ＝150∘．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
把不等式化为2x−1x−2<0，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：不等式2x2−5x+2<0可化为2x−1x−2<0，
解得12∴ 该不等式的解集为x|12故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
直线的点斜式方程
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，
故所求直线的斜率k=12．
又直线过点(1,0)，
利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12(x−1)，
即x−2y−1=0．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：当y=0时，得x2−4x=0，解得x=0或x=4，
则AB=4−0=4，
半径R=22，
设圆心为C，
∵ CA2+CB2=(22)2+(22)2=8+8=16=(AB)2，
∴ △ACB是直角三角形，
∴ ∠ACB=90∘，
即劣弧AB所对的圆心角为90∘.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
①当椭圆焦点在x轴上时，a2=9,b2=m+4，得c=5−π，∴ 焦距2c=25−π=2，解之得m=4，
②椭圆焦点在y轴上时，a2=m+4,b2=9，得c=m−5，焦距2c=2n−5=2，解之得m=6，
综上所述，得m=4或6 .
故选：D．
【解答】
解：①当椭圆焦点在x轴上时，a2=9，b2=m+4，
∴ c=5−m，
∴ 焦距2c=25−m=2，
解得：m=4；
②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m+4，b2=9，
∴ c=m−5，
∴ 焦距2c=2m−5=2，
解得：m=6.
综上所述，m=4或6 .
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
抛物线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①当直线斜率不存在时，直线的方程为x=0，与抛物线方程联立求得x=0，y=0，
此时直线与抛物线只有一个交点；
②当直线斜率存在时，设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立得k2x2+(2k−4)x+1=0，
当k=0时，y=1，此时直线y=1与抛物线有一个交点，
当k≠0，要使直线与抛物线只有一个交点需Δ=(2k−4)2−4k2=0，求得k=1，
综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有3条.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的焦点坐标，判断k的符号，然后求出双曲线的几何量，利用焦点坐标求解即可．
【解答】
解：双曲线8kx2−ky2=1的一个焦点为2,0，
∴ k>0，
∴ a2=18k ，b2=1k，
∴ c2=18k+1k=22，
解得k=932.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
直线和圆的方程的应用
【解析】
直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=1−y2是一个圆心为(0, 0)，半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．
【解答】
解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线，
曲线x=1−y2变形为x2+y2=1且x≥0，
显然是一个圆心为(0, 0)，半径为1的右半圆，
根据题意，直线y=x+b与曲线x=1−y2有且仅有一个公共点，
则易得b的取值范围是{−2}∪(−1,1]，
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】
先求出双曲线的焦点坐标和离心率，从而得到圆坐标和圆半径，进而得到圆的方程．
【解答】
解：双曲线y2−x23=1的上焦点坐标是(0, 2)，离心率为e=2．
所以所求圆的圆心坐标是(0, 2)，半径r=2，
∴ 所求圆的方程为x2+(y−2)2=4．
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：抛物线的焦点为F(p2, 0)，
∵ 抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
∴ (p2)2=3p−p，
解得p=8.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
在Rt△PF1F2中，∠PF1F2=60∘，连接OP，可得△OPF1是等边三角形．
由|OF1|=c得P−12c,32c，
把点P的坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0，得c2a2+3c2a2−c2=4．
化简得e2+3e21−e2=4，解得e2=4±23．
∵ 0∴e2=4−23．
故e=3−1．
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，c=3,
因为点P在双曲线C上，
所以可设P(−20+4y25, y)，
因为|OP|=|OF|，
所以(−20+4y25)2+y2=32，
解得，|y|=53，
所以△OPF的面积为
=12×3×53=52，
故选B.
二、填空题
【答案】
x−3y−4=0
【考点】
圆的切线方程
【解析】
首先确定点与圆的位置关系，然后求得直线的斜率即可求得直线方程．
【解答】
解：易知点P在圆上，且kOP=−3−01−0=−3，
∴ 所求切线的斜率为：k=33，
∴ 所求切线的方程为:y+3=33x−1，
整理为一般式即：x−3y−4=0.
故答案为：x−3y−4=0.
【答案】
x273−y275=1
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为： x2a2−y2b2=1a>0,b>0，将点M3,2， N−2,−1代入双曲线方程即可得到答案.
【解答】
解：设双曲线的方程为： x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
又点M3,2， N−2,−1在双曲线上，
∴ 9a2−4b2=1，4a2−1b2=1，
解得a2=73，b2=75，
∴ 双曲线的方程为： x273−y275=1.
故答案为：x273−y275=1.
【答案】
32
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的定义：P到焦点的距离d1=x+p2，P到y轴的距离d2=x，由x+32=2x，即可求得x值，求得P点的横坐标．
【解答】
解：抛物线y2=6x焦点F32,0，
设点Px,y，x>0，
∵ 由抛物线的定义可得P到焦点的距离d1=x+p2=x+32，
P到y轴的距离d2=x，
∴ x+32=2x，
解得x=32，
∴ 该点的横坐标32.
故答案为：32.
【答案】
0,2
【考点】
平面向量数量积的运算
椭圆的标准方程
一元二次不等式的解法
【解析】
设P点坐标，根据向量的坐标运算及OP→⋅PF2→≥−1即可解得点P的横坐标的取值范围．
【解答】
解：椭圆C:x22+y2=1的右焦点F21,0，
设Px0,y0，且满足x022+y02=1−2≤x0≤2，
则OP→⋅PF2→=x0,y0⋅1−x0,−y0，=x0−x02−y02=−x022+x0−1≥−1，
所以−x022+x0≥0，
解得0≤x0≤2，
又−2≤x0≤2，
∴ 点P的横坐标的取值范围：0≤x0≤2.
故答案为：0,2.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 不等式kx2−2x+6k<0的解集是{x|x<−3或x>−2}，
∴ 方程kx2−2x+6k=0的两个根为−3，−2，
∴ 2k=−3+(−2)=−5，
∴ k=−25.
(2)∵ 不等式kx2−2x+6k<0的解集是R，
∴ k<0，Δ=4−24k2<0，
解得k<−66.
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
一元二次不等式的解法
【解析】
(1)由一元二次不等式的解法，由不等式的解集即可推出对应方程的根，再利用韦达定理即可得k的值；(2)由一元二次不等式的解法，或者说由二次函数的图象可知，此不等式的解集为R，当且仅当二次项系数小于零，判别式小于零，解不等式即可得k的范围
【解答】
解：(1)∵ 不等式kx2−2x+6k<0的解集是{x|x<−3或x>−2}，
∴ 方程kx2−2x+6k=0的两个根为−3，−2，
∴ 2k=−3+(−2)=−5，
∴ k=−25.
(2)∵ 不等式kx2−2x+6k<0的解集是R，
∴ k<0，Δ=4−24k2<0，
解得k<−66.
【答案】
解：(1)由题意设直线方程为xa+yb=1(a>0, b>0)，
∵ 点P(−1, 2)在直线上，
∴ −1a+2b=1，
则2a−b=ab．
又∵ 12ab=12，
则ab=1．
∴ 2a−b=1，ab=1，
消去b整理得2a2−a−1=0，
解得a=1或a=−12（舍去）．
由ab=1解得b=1，
故所求直线方程是x+y=1.
(2)设圆心坐标(a, −a+1)，
∵ 圆经过M(2, 1)，N(4, −1)，
∴ (a−2)2+(−a+1−1)2=(a−4)2+(−a+1+1)2，
∴ a=2，
圆心坐标为(2, −1)，圆半径r=2．
∴ 圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=4．
【考点】
直线的截距式方程
圆的标准方程
两点间的距离公式
【解析】
（1）设直线方程为xa+yb=1(a>0, b>0)，由点P(−1, 2)在直线上，知2a−b＝ab，由12ab=12，知ab＝1，由此能求出直线方程；
（2）由圆心在直线l上，设圆心坐标(a, −a+1)，又圆经过M(2, 1)N(4, −1)，从而列出方程，求解即可得a的值，由此能求出圆的方程．
【解答】
解：(1)由题意设直线方程为xa+yb=1(a>0, b>0)，
∵ 点P(−1, 2)在直线上，
∴ −1a+2b=1，
则2a−b=ab．
又∵ 12ab=12，
则ab=1．
∴ 2a−b=1，ab=1，
消去b整理得2a2−a−1=0，
解得a=1或a=−12（舍去）．
由ab=1解得b=1，
故所求直线方程是x+y=1.
(2)设圆心坐标(a, −a+1)，
∵ 圆经过M(2, 1)，N(4, −1)，
∴ (a−2)2+(−a+1−1)2=(a−4)2+(−a+1+1)2，
∴ a=2，
圆心坐标为(2, −1)，圆半径r=2．
∴ 圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=4．
【答案】
解：设动圆圆心Ex,y，
由动圆E与定圆F:x−22+y2=1外切，与直线x=−1相切,
可得动圆心到2,0的距离等于到直线x=−2的距离，
由抛物线的定义得E的轨迹是以2,0为焦点，以x=−2为准线的抛物线，
故曲线C方程为y2=8x.
(2)设直线方程为y=kx+b，与y2=8x联立消y得，
k2x2+2kb−4x+b2=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，且AB的中点4,2.
x1+x2=−2kb−4k2，x1x2=b2k2，
y1+y2=kx1+x2+2b=8k，
所以x1+x22=−kb−4k2=4，y1+y22=4k=2，
解得k=2，b=−6，
直线方程为：y=2x−6，即2x−y−6=0.
【考点】
轨迹方程
直线与抛物线结合的最值问题
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
利用与圆和直线的相切得轨迹为抛物线，可得解.
【解答】
解：设动圆圆心Ex,y，
由动圆E与定圆F:x−22+y2=1外切，与直线x=−1相切,
可得动圆心到2,0的距离等于到直线x=−2的距离，
由抛物线的定义得E的轨迹是以2,0为焦点，以x=−2为准线的抛物线，
故曲线C方程为y2=8x.
(2)设直线方程为y=kx+b，与y2=8x联立消y得，
k2x2+2kb−4x+b2=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，且AB的中点4,2.
x1+x2=−2kb−4k2，x1x2=b2k2，
y1+y2=kx1+x2+2b=8k，
所以x1+x22=−kb−4k2=4，y1+y22=4k=2，
解得k=2，b=−6，
直线方程为：y=2x−6，即2x−y−6=0.
【答案】
解：(1)联立7x2+4y2=28，3x−2y+m=0，
可得16x2+6mx+m2−28=0.
∵ 直线l与椭圆E有公共点，
∴ Δ=(6m)2−4×16×(m2−28)≥0，
解得−8≤m≤8，
∴ m的取值范围为m|−8≤m≤8.
(2)设与l′：3x−2y−16=0平行并且和椭圆相切的直线方程为y=32x+b，
把它代入椭圆方程7x2+4y2=28并整理，得4x2+3bx+b2−7=0，
令Δ=3b2−4×4b2−7=0，
解得b=±4，由图可见舍去正值，
∴ 切线方程为y=32x−4，
解方程组 y=32x−4,7x2+4y2=28，⇒x=32,y=−74，
得切点坐标为32,−74，
由点到直线的距离公式，得d=|−16+8|32+−22=813=81313，
因此，点32,−74到直线l′的距离为最短，最短距离是81313.
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
(1)联立直线方程和椭圆方程，利用Δ≥0求解即可；
(2)求出与l：3x−2y−16=0平行并且和椭圆相切的直线方程，联立切线方程和椭圆方程，求出切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求出最短距离.
【解答】
解：(1)联立7x2+4y2=28，3x−2y+m=0，
可得16x2+6mx+m2−28=0.
∵ 直线l与椭圆E有公共点，
∴ Δ=(6m)2−4×16×(m2−28)≥0，
解得−8≤m≤8，
∴ m的取值范围为m|−8≤m≤8.
(2)设与l′：3x−2y−16=0平行并且和椭圆相切的直线方程为y=32x+b，
把它代入椭圆方程7x2+4y2=28并整理，得4x2+3bx+b2−7=0，
令Δ=3b2−4×4b2−7=0，
解得b=±4，由图可见舍去正值，
∴ 切线方程为y=32x−4，
解方程组 y=32x−4,7x2+4y2=28，⇒x=32,y=−74，
得切点坐标为32,−74，
由点到直线的距离公式，得d=|−16+8|32+−22=813=81313，
因此，点32,−74到直线l′的距离为最短，最短距离是81313.
【答案】
解：(1)设与x24−y2=1有共同渐近线的双曲线方程为x24−y2=λ，
又所求双曲线过点(2,5)，
∴ λ=224−(5)2=−4，
故所求双曲线方程为x24−y2=−4，即y24−x216=1.
(2)由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=4，
过F1作F1D⊥PF2,垂足为D，
则|PD|=|PF1|cs60∘，
|DF2|=|PF2|−|PD|=|PF2|−|PF1|cs60∘，
|F1F2|=2c,
在Rt△DF1F2中，
DF12+DF22=F1F22，
代入整理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs60∘=(|PF1|−|PF2|)2+|PF1||PF2|，
代入数据可得20=16+|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|=4，
∴ S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin60∘=12×4×32=3.
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
（1）设所求的双曲线方程为x24−y2=λ，代点可得λ，进而可得方程；
（2）由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=4，再由余弦定理可得|F1F2|2=(|PF1|−|PF2|)2+|PF1||PF2|，代入数据|PF1||PF2|的值，代入面积公式可得．
【解答】
解：(1)设与x24−y2=1有共同渐近线的双曲线方程为x24−y2=λ，
又所求双曲线过点(2,5)，
∴ λ=224−(5)2=−4，
故所求双曲线方程为x24−y2=−4，即y24−x216=1.
(2)由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=4，
过F1作F1D⊥PF2,垂足为D，
则|PD|=|PF1|cs60∘，
|DF2|=|PF2|−|PD|=|PF2|−|PF1|cs60∘，
|F1F2|=2c,
在Rt△DF1F2中，
DF12+DF22=F1F22，
代入整理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs60∘=(|PF1|−|PF2|)2+|PF1||PF2|，
代入数据可得20=16+|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|=4，
∴ S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin60∘=12×4×32=3.
【答案】
解：(1)由条件知：169a2+59b2=1，ca=32，c2=a2−b2，
解得b2=1，a2=4，
∴ 椭圆E的方程：x24+y2=1.
(2)依题意当l⊥x轴不合题意，
故设直线l:y=kx−2，
设Px1,y1，Qx2,y2，
将y=kx−2代入椭圆E的方程：x24+y2=1，
得1+4k2x2−16kx+12=0，
由Δ=164k2−3>0，可得k2>34，
∴ x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
从而|PQ|=1+k2|x1−x2|=4k2+1⋅4k2−34k2+1，
又点O到直线 l的距离d=−212+k2，
∴ △OPQ的面积S△OPQ=12⋅d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t，则t>0，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤1，
当且仅当t=2，k=±72等号成立，且满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积的最大值为1.
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
(1)由题意列方程组，求出a，b，即可求E的方程；
(2)设直线:y=kx−2，设Px1,y1， Qx2,y2将y=kx−2代入椭圆方程，利用Δ>0，求出k的范围，利用弦长公式求出PQ，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值．
【解答】
解：(1)由条件知：169a2+59b2=1，ca=32，c2=a2−b2，
解得b2=1，a2=4，
∴ 椭圆E的方程：x24+y2=1.
(2)依题意当l⊥x轴不合题意，
故设直线l:y=kx−2，
设Px1,y1，Qx2,y2，
将y=kx−2代入椭圆E的方程：x24+y2=1，
得1+4k2x2−16kx+12=0，
由Δ=164k2−3>0，可得k2>34，
∴ x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
从而|PQ|=1+k2|x1−x2|=4k2+1⋅4k2−34k2+1，
又点O到直线 l的距离d=−212+k2，
∴ △OPQ的面积S△OPQ=12⋅d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t，则t>0，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤1，
当且仅当t=2，k=±72等号成立，且满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积的最大值为1.

2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

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