2021届四川省泸州市高三理数第二次质量诊断试卷及答案

这是一份2021届四川省泸州市高三理数第二次质量诊断试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合 ， ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
2.假设 ，那么 〔 〕
A. B. C. 2 D. 4
3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图〔90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生〕，那么以下结论中不一定正确的选项是〔 〕
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数缺乏总人数的10%
4.假设x，y满足 ，那么x+2y的最大值为〔 〕
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
5.离散型随机变量 服从二项分布 ，且 ， ，那么 的值为〔 〕
A. B. C. D.
6.把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 ，假设 在 上是增函数，那么 的最大值为〔 〕
A. B. C. D.
7.在 中， ， ，点 满足 ，那么 的值为〔 〕
A. -6 B. 6 C. -8 D. 8
如以下列图，那么该几何体的体积为〔 〕
A. B. C. D. 1
9. ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔 〕
A. B. C. D.
10.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，假设 ， ，那么 的值为〔 〕
A. B. C. D.
11.双曲线 ： 的左焦点和虚轴的一个端点分别为 ， ，点 为 右支上一动点，假设 周长的最小值为 ，那么 的离心率为〔 〕
A. B. C. D.
12.直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 ，那么该六棱柱的外接球的外表积的最小值是〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题
13. ，那么 ________．
14.函数 ，假设 ，那么实数 的取值范围是________．
15.过抛物线 的焦点 的直线与该抛物线相交于 ， 两点， 为坐标原点，假设 ，那么 的面积为________．
16.关于函数 有如下四个命题：
①函数 的图象是轴对称图形；
②当 时，函数 有两个零点；
③函数 的图象关于点 中心对称；
④过点 且与曲线 相切的直线可能有三条．
其中所有真命题的序号是________．〔填上所有真命题的序号〕
三、解答题
17.为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．
〔1〕求这100天中日销售量的中位数〔精确到小数点后两位〕；
〔2〕从这100天中抽取了5天，统计出这5天的日销售量 〔吨〕和当天的最高气温 〔℃〕的5组数据 ，研究发现日销售量 和当天的最高气温 具有的线性相关关系，且 ， ， ， ．求日销售量 〔吨〕关于当天最高气温 〔℃〕的线性回归方程 ，并估计水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数．
参考公式： ， ．
18.数列 是等比数列， ，且 是 和 的等差中项．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 ，数列 的前 项和为 ．求使 成立的最小整数 ．
19.如图，直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ， 分别为 ， 的中点．
〔1〕求证：直线 ， ， 交于一点；
〔2〕假设直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
20.椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 ．
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设不过点 的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴交于 ， 两点，假设 ，证明直线 的斜率是定值，并求出该定值．
21.设函数 ， ．
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕确定 的所有可能值，使得存在 ，对任意 恒有 成立．
22.在平面直角坐标系 中，动直线 ： 与动直线 ： 交点 的轨迹为曲线 ．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
〔1〕求曲线 的极坐标方程；
〔2〕假设曲线 的极坐标方程为 ，求曲线 与曲线 的交点的极坐标．
23.函数 ．
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设 ， ， 为正实数，函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：因为集合 ，又集合 ，
所以 ，
故答案为：B.

【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B

【分析】先表示出复数z，然后利用复数模的运算性质进行求解即可。
3.【解析】【解答】对于A,由饼状图可得90后占 ,A符合题意；
对于B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的 ,B不符合题意；
对于C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的 ,C符合题意；
对于D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的 ,D符合题意,
故答案为：B

【分析】根据饼状图上所给的信息，逐项进行判断可得答案。
4.【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A〔3，3〕，
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
应选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
5.【解析】【解答】因为二项分布 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C

【分析】由二项分布的随机变量数学期望和方差计算公式，即可求得p的值。
6.【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
因为 在 上是增函数，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为：D

【分析】 由题意利用函数的图象变换规律，求得g (x) 的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论.
7.【解析】【解答】 中， ， ，点 满足 ，那么O为BC的中点，
所以
.
故答案为：A

【分析】 根据条件求得O为BC中点，再把所求向量转化为用表示，即可求解结论.
8.【解析】【解答】根据三视图 复原几何体，如图：
平面 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积。
9.【解析】【解答】 ， ， 构造函数 且
当 时 ,此时 ;
当 时 ,此时 .
故 当 单调递减,当 单调递增.
故 故
又 即
故
故答案为：B

【分析】 构造函数(x>1)，利用导数可得f (x)在(1, e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，又且4>π>e,所以f (4) >f (π) >f (e) ，从而得到a，b, c的大小关系.
10.【解析】【解答】解：因为 ，
由余弦定理得， ，
由 为三角形内角得， ，
因为 ，那么 为锐角， ，
所以 ， ，
那么 ．
故答案为：B．

【分析】 由利用余弦定理可求A，然后结合同角根本关系可求tanC，再由诱导公式及两角和的正切公式即可求解。
11.【解析】【解答】设双曲线的右焦点为 ，因为 周长为 ，其中 ，不妨设 ，那么 ，，由双曲线的定义得 ，
那么 ，
所以当 三点共线时，周长最小，此时周长为 ，又因为 周长的最小值为 ，所以 ，即 ，所以 ，
故答案为：D

【分析】 由题意求得A，F的坐标，运用双曲线的定义可得，那么△APF的周长为，运用三点共线取得最小值，可得2a=b，由a,b, c的关系，结合离心率公式，计算可得到所求值.
12.【解析】【解答】设正六边形的边长为 ，那么底面面积为 ，
设 ，那么正六棱柱的体积为 ，
解得 ，即 ，
又由该六棱柱的外接球的直径为 ，
所以该六棱柱的外接球的外表积为： ，
令 ，那么 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值12，
所以该六棱柱的外接球的外表积的最小值为 .
故答案为：C.

【分析】设正六边形的边长为a，AC=x，表示出直六棱柱的体积建立方程，将a用x表示，该六棱柱的外接球的直径为BC，可求出外接球的外表积，利用导数研究函数的最值即可.
二、填空题
13.【解析】【解答】由题意知 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 .
故答案为：63.

【分析】根据题意，用特殊值法，在中，令，代入即可得答案。
14.【解析】【解答】因为 ，定义域为 ，
，所以 为奇函数.
又因为 在 上为增函数，
所以 ，
即 ， ，解得： .
故答案为：

【分析】 先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解.
15.【解析】【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为： ，焦点 ，
设 在 轴上方， 的横坐标为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
代入抛物线的方程，得 ，所以 ，即 ， ，
所以 ，所以直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，解得 ， ，
将 的横坐标1代入抛物线中， ，
所以 ，
故答案为： ．

【分析】 由抛物线的方程可得准线的方程，由抛物线的性质和|AF|的值可得A的横坐标，代入抛物线的方程求出A的纵坐标，进而求出直线AB的方程，与抛物线联立求出B的纵坐标，代入面积公式求出 的面积。
16.【解析】【解答】因为 ，所以 对称轴是 ，故①正确；
因为 时 ，所以 在 上单调递减； 时 或 ，所以 在 上单调递增，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，因为 ，那么函数 有1个零点，故②错误；
， ，所以函数函数 的图象关于点 中心对称，故③正确；
设切点为 ，所以 ，所以切线方程为 ，
因为经过点 ，所以 ，即 ，
设 ，那么 ，
因为 时 ，所以 在 上单调递减； 时 或 ，所以 在 上单调递增，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，所以当 时，有三个零点，故④正确；
故答案为：①③④．

【分析】 直接利用函数的关系式与函数的导数的关系，函数的导数的几何意义，函数的导数和单调区间和极值的关系的应用判断①②③④的结论。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图的概率和为1,可求得a的值;设中位数为x,根据中位数的性质列得关于a的方程，解之即可;
〔2〕根据参考公式求得 ， 可得线性回归方程，当最高气温在10°C~ 18°C内时，日销售量在2 ~ 4吨内，再由频率分布直方图可得此范围的频率，进而得解.
18.【解析】【分析】〔1〕设等比数列列{an}的公比为q,由等比数列的设等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求；
〔2〕求得 ，由数列的裂项相消求和可得Tn,解不等式可得所求最小值.

19.【解析】【分析】〔1〕连结EF, A1B,利用中位线定理以及平行四边形的性质，证明EF//DC1,且EF≠DC1,从而得到D1E与CF交于一点P,然后再证明 直线 ， 即可证明；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，然后求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PCD1和平面BCD1A1的法向量,利用二面角的计算公式求解即可.
20.【解析】【分析】〔1〕由题意列关于a, b, c的方程组，解得a, b的值，那么椭圆C的方程可求；
〔2〕分析当直线 的斜率不存在时，不合题意，故直线 的斜率存在； 设直线 ： 代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由 得 ， 利用斜率公式结合根与系数的关系即可得到满足条件的k值.
21.【解析】【分析】〔1〕求出导函数 ， 对k的取值分两种情况进行讨论，然后利用导数与函数单调性的关系进行分析求解即可;
〔2〕分k=1和k< 1两种情况进行研究，当k=1时，利用单调性得到f(x)|=-f(x) ,当k<1时，利用单调性可得|f(x)|=f(x) ,然后分别构造函数，利用导数研究函数的性质进行分析求解即可.


22.【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系,在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.


23.【解析】【分析】 (1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式，解出即可;
(2)由绝对值三角不等式可得f (x)的最小值，从而求出 ，利用柯西不等式即可求解.