2021届山东省高三数学5月份高考联考试卷及答案

这是一份2021届山东省高三数学5月份高考联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学5月份高考联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 的元素个数为〔    〕
A. 0                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
2.在 中，假设 ，那么 〔    〕
A. 3                                          B. ±3                                          C. 4                                          D. ±4
3.函数 的图像的切线斜率可能为〔    〕
A.                                        B. -2                                       C.                                        D. -4
4.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的根底方案，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，那么他要完成该方案至少需要〔    〕
A. 16天                                    B. 17天                                    C. 18天                                    D. 19天
〔1〕所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图〔2〕所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图〔3〕所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.图〔1〕、〔2〕、〔3〕中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图〔1〕、〔2〕、〔3〕中椭圆的离心率分别为 、 、 ，那么〔    〕

A.                       B.                       C.                       D. 
6.以下各项中，是 的展开式的项为〔    〕
A. 15                                  B.                                   C.                                   D. 
7.某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第 天进店消费的人数为y ， 且y与 ( 表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，那么第4天进店消费的人数为〔    〕
A. 74                                         B. 76                                         C. 78                                         D. 80
8.在三棱柱 中，D为侧棱 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，那么这两条棱所在直线至少有一条与直线 异面的概率是〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、多项选择题
9.假设 ，那么〔    〕
A.                                                       B. 的最小值为10
C.                                                  D. 的最小值为9
10.函数 ，那么〔    〕
A. 的最小正周期为                                       B. 的图象关于y轴对称
C. 的图象关于 对称                              D. 的图象关于 对称
11.曲线C的方程为 ，圆 ，那么〔    〕
A. C表示一条直线
B. 当 时，C与圆M有3个公共点
C. 当 时，存在圆N ， 使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D. 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是
12.如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一局部构成， 的零点为 ，那么〔    〕

A. 函数 有3个零点           B. 恒成立
C. 函数 有4个零点                   D. 恒成立
三、填空题
z ， 使得 为纯虚数，那么 ________.
14.双曲线 的左､右焦点分别为 ，M为C左支上一点，N为线段 上一点，且 ，P为线段 的中点.假设 (O为坐标原点)，那么C的渐近线方程为________.
15.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 .该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为________万元.(参考数据：取 )
16.如图，正四棱锥 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 是等边三角形.假设半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，那么半球O的体积与球M的体积的比值为________.

四、解答题
17.的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 . ， .
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕假设 ，求 的面积.
18.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会〞，每晚举行一场，但假设遇到风雨天气，那么暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 .
〔1〕求该社区能举行4场音乐会的概率；
〔2〕求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
19.在数列 中， , ．.
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕在以下两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，那么按第一个解答计分.
①设 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
②设 ，求数列 的前n项和 .
20.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆O(O为圆心)过点A ， 且 底面 ，M为 的中点.

〔1〕证明：平面 平面 .
〔2〕求二面角 的余弦值.
21.函数 .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕当 时， ，求m的取值范围.
22.F为抛物线 的焦点，直线 与C交于A ， B两点且 .
〔1〕求C的方程.
〔2〕假设直线 与C交于M ， N两点，且 与 相交于点T ， 证明：点T在定直线上.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ,共有5个元素.
故答案为：D

【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案即可。
2.【解析】【解答】由于 ，所以 ，
所以 .
故答案为：D

【分析】首先由同角三角函数的关系式代入数值计算出cosA的值，再由数量积的的运算性质计算出答案即可。
3.【解析】【解答】解：由 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，所以函数 的图像的切线斜率大于-1，
故答案为：A

【分析】根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质即可得出切线斜率的取值范围。
4.【解析】【解答】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程〔单位：千米〕依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，
设经过 天后他完成健身方案，那么 ，
整理得 .
因为函数 在 为增函数，且 ， ，
所以 .
故答案为：B

【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题再由等差数列前n项和公式整理即可得出关于n的方程，结合二次函数的性质即可得出n的取值范围。
5.【解析】【解答】因为椭圆的离心率 ，
 
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.
因为 ， ， ，那么 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】 根据题意首先由椭圆的简单性质以及离心率公式，结合题意即可分析出椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，由此得出答案。
 
6.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
由于 无解，A选项错误.
当 时， ，所以B选项错误.
当 时， ，C选项正确.
当 时， ，所以D选项错误.
故答案为：C

【分析】根据题意由二项展开式的通项公式对选项逐一判断即可得出答案。
7.【解析】【解答】解：由题可设 ，
当 时， 代入可得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，那么 ，
故答案为：C

【分析】由条件代入数值计算出结果即可。
8.【解析】【解答】如图，这九条棱中，与 共面的是 、 、 、 、 ，共五条，故所求概率 .

故答案为：B.

【分析】 根据题意该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，根本领件总数这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的根本领件个数为由此能求出这两条棱所在直线至少有一条与直线DB异面的概率.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，即 ，所以A符合题意，C不符合题意；
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为10，所以B符合题意；
，当且仅当 ，即 时取等号，而 ，所以 ，所以不能取得等号，所以 的最小值不为9，所以D不符合题意，
故答案为：AB

【分析】根据题意由不等式的根本性质结合根本不等式求出最值，再对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：对于A， ，因为 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，所以A符合题意；
对于B，函数的定义域为 ，因为 ，所以 为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B不符合题意；
对于C，假设 的图象关于 对称，那么 ，
因为 ，
，
所以 ，所以 的图象关于 对称，所以C符合题意；
对于D，假设 的图象关于 对称，那么 ，
因为 ，
，
所以 ，所以 的图象关于 对称，所以D符合题意，
故答案为：ACD

【分析】根据题意由正切函数的周期以及图象，再结合正弦函数的图象与性质对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】由 ，得 ，即 ，
那么 表示两条直线，其方程分别为 与 ，所以A不符合题意；
因为 到直线 的距离 ，所以当 时，直线 与圆 相切，易知直线 与圆 相交， 与圆 有3个公共点，所以B符合题意；
当 时，存在圆 ，使得圆 内切于圆 ，且圆 与这两条直线都相交，即与 有4个公共点 与圆 的公共点的个数的最大值为4，所以C符合题意；
当 时，圆 与直线 相切，与直线 有两个公共点，所以公共点的个数为3，所以D不符合题意，
故答案为：BC

【分析】根据题意由圆与直线的位置关系，再结合点到直线的距离公式对选项逐一判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】当 时，设 ，因为 ，所以 .由此得 ，又 ，所以 只有1个零点，所以A不符合题意；
由题可知射线经过点 ， ，那么射线的方程为 .由图可知 ，所以B符合题意；
因为 ，所以 有4个零点，所以C符合题意；
令 ，那么该方程的解为 ， ， ，
，令 ，
那么 ，故 恒成立，所以D符合题意，
故答案为：BCD

【分析】根据题意由对数函数以及直线的图象，结合零点的定义以及不等式的性质对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】设 〔 ， ， 〕，那么 ，因为 为纯虚数，所以 且 .
任取不为零的实数 ，求出 即可得，答案不确定，如 ，
故答案为：1+2i．

【分析】根据题意由复数的概念即可得出答案。
14.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，那么 .
故 的渐近线方程为 .
故答案为：

【分析】根据题意由双曲线的定义以及性质整理即可得出答案。
15.【解析】【解答】由 ，
，
所以 ，那么 ，即 ，
时， ，
估计应补贴 〔万元〕．
故答案为：818.6．

【分析】首先由条件代入数值计算出计算出结果即可。
16.【解析】【解答】取 中点 ， 中点 ，作截面 ，把截面另外画出平面图形，如图，那么半球 的半个大圆与 的两腰相切， 是 中点， 为切点，

设正四棱锥底面边长为 ，那么 ， ， ， ，
由对称性知正四棱锥的对角面 的外接圆是正四棱锥外接球的大圆，

， ， ，所以 ， 是 外接圆直径，所以球 的半径为 ，
．
故答案为： ．

【分析】根据题意由条件可得出由对称性知正四棱锥的对角面PBD的外接圆是正四棱锥外接球的大圆，结合勾股定理计算出外接圆和球的半径，再由体积公式代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)首先由正弦定理结合二倍角的余弦公式代入数值计算出答案即可。
(2)根据题意由余弦定理结合同角三角函数的根本关系式计算出sinA的值，再由三角形的面积公式计算出答案即可。
18.【解析】【分析】(1)结合条件由n次独立性重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由n次独立性重复试验概率的公式求出对应的X的概率，由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
19.【解析】【分析】(1)根据题意由条件的数列的通项公式整理得出数列是等比数列结合等比数列的通项公式求出数列的通项公式。
(2) 选① 由数列的通项公式整理得出， 再由等比数列前n项和公式即可得证出结论。 选② 首先由条件整理得出数列的通项公式再由错位相减法即可求出数列前n项和。
20.【解析】【分析】(1)首先由圆的几何性质得出线线垂直，再由线面垂直的性质定理得出线线垂直，然后结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值即可。
21.【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由m的不同取值范围得出函数的单调区间。
(2)由(1)的结论结合函数的单调性即可求出函数的最值由此得出m的取值范围，再结合条件即可得出从而得到关于m的不等式组由此即可得出答案。
22.【解析】【分析】〔1〕 设   ，  ，联立直线方程与曲线方程，由根与系数的关系可得   ，由焦半径公式可得   。
〔2〕 AB点坐标代入抛物线方程，整理可得 =8， 同理得  .
设   ，    ，    ，   ， .将M,N,T的坐标代入以上二式，得  分析可得  ， 由于  ，所以  ，故点  在定直线  上.