2021届陕西省高三下学期理数第三次教学质量检测试卷及答案

这是一份2021届陕西省高三下学期理数第三次教学质量检测试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数第三次教学质量检测试卷
一、单项选择题
1. ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.在复平面内，复数 〔 为虚数单位〕对应的点位于〔   〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.?九章算术?中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ 〞其大意：“直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？〞现假设向此三角形内随机投一粒豆子，那么豆子落在其内切圆外的概率是 (    )
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
4.双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，那么双曲线C的离心率等于〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
5.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如下列图，那么以下说法正确的选项是〔    〕

A. 该次课外知识测试及格率为90%
B. 该次课外知识测试得总分值的同学有30名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 假设该校共有3000名学生，那么课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名
6.正项等比数列 中，有 ，数列 是等差数列，其前n项和为 ，且 ，那么 〔    〕
A. 15                                         B. 30                                         C. 45                                         D. 90
7.以下列图是一个空间几何体的三视图，那么该几何体的外表三角形中为直角三角形的个数为〔   〕

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
8.函数 ，假设 ， 的图象恒在直线 的上方，那么 的取值范围是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
9. 是边长为1的正三角形，假设点 满足 ，那么 的最小值为〔   〕
A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 
10.假设 ，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
R上的偶函数 在 上单调递增，记 ，那么a ， b ， c的大小关系是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
12.如图，在长方体 中， ，E ， F ， G分别为 的中点，点P在平面 内，假设直线 平面 ，那么 与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为〔    〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
二、填空题
x ， y满足约束条件 ，那么 的最小值是________．
14.展开式中，含 项的系数为________．
15.抛物线 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，那么直线 ( 为坐标原点)的斜率之积为________.
16.数列 与 前n项和分别为 ， ，且 ， ，那么 ________．
三、解答题
17. 的三个内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ． 假设 ．
〔1〕求角C大小；
〔2〕假设 的面积为 ，求 的周长．
18.如下列图，在多面体 中，四边形 为正方形， ， ， ． ．

〔1〕证明：平面 平面 ．
〔2〕假设三棱锥 的外接球的球心为O ， 求二面角 的余弦值．
19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试〔总分值100分〕，结果如下表所示：
分数





人数
25
50
100
50
25
参加自主招生获得通过的概率





〔Ⅰ〕这两年学校共培养出优等生150人，根据以下列图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？


优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程


250
没有学习大学先修课程



总计
150


〔Ⅱ〕今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
〔ⅰ〕在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
〔ⅱ〕某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为 ，求 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.
参考数据：



0．05










参考公式： ，其中
20.椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆E的离心率为 ，且通径长为1．
〔1〕求E的方程；
〔2〕直线l与E交于M ， N两点〔M ， N在x轴的同侧〕，当 时，求四边形 面积的最大值．
21.函数 〔其中e为自然对数的底数〕．
〔1〕求 的单调区间；
〔2〕假设 有两个极值点，求实数a的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为 ，C的参数方程为 〔 为参数， 〕．
〔1〕写出l的直角坐标方程和C的普通方程；
〔2〕在C上取点M ， 使点M到l的距离最小，并求出最小值．
23.设 .
〔1〕解不等式 ；
〔2〕假设不等式 在 上恒成立, 求实数 的取值范围．


答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由 知： ，
解得： ，
，
由 知： ，
，
.
故答案为：C.

【分析】 先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
2.【解析】【解答】解： ，
 ∴z在复平面内对应点的坐标为 ，位于第一象限，
故答案为：A.

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
3.【解析】【解答】解：

如下列图，直角三角形的斜边长为 ，
设内切圆的半径为 ，那么 ，解得 .
所以内切圆的面积为 ，
所以豆子落在内切圆外部的概率 ，
故答案为：C。
【分析】此题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案
4.【解析】【解答】直线 的斜率 ，因它与C的一条渐近线垂直，
所以这条渐近线的斜率为 ，又双曲线C的一条渐近线斜率为 或 ，
那么 或 ，所以 ．
故答案为：A

【分析】 求出双曲线的渐近线的斜率，然后求解离心率即可.
5.【解析】【解答】由图知，及格率为 ，A不符合题意.
该测试总分值同学的百分比为 ，即有 名，B不符合题意.
由图知，中位数为80分，平均数为 分，C符合题意.
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有 ，D不符合题意.
故答案为：C

【分析】 利用测试成绩百分比分布图直接求解．
6.【解析】【解答】设等比数列 的公比为q ，
∵ ，解得 ，
数列 是等差数列，且 ．
∴ ．
故答案为：C

【分析】 由等比数列的中项性质，可得，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和.
7.【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个如下列图的三棱锥 ，其中 底面 ，

底面 是一个三边分别为 的三角形， ，
 由 ，可得 ，
又 底面 ， ，
平面 ， ，
因此该几何体的外表三角形中为直角三角形的个数为4，
故答案为：D.
【分析】 由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P-ABC，其中PC⊥底面ABC，底面ABC是一个三边分别为的三角形，PC=2．利用勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理即可判断出结论．
8.【解析】【解答】函数图象恒在直线 的上方，即 恒成立， ， ， ．当 时， 的取值范围是 ．
故答案为：C．
【分析】 根据函数f〔x〕的解析式，利用x的取值范围，结合题意求出φ的取值范围．
9.【解析】【解答】解：以 为原点，以 为 轴，建立坐标系，
为边长为 的正三角形， ，
，
，

，
故答案为：C.
【分析】以 为原点，以 为 轴，建立坐标系，可得，， 利用配方法可得  的最小值 。
10.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故答案为：A

【分析】 根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出a，再利用换底公式求出，进行对数运算可求．
11.【解析】【解答】因为函数y=2x是R上的增函数，那么2>20=1，
y=log3x是 上的增函数，那么 ，
2=0.09<0.5，所以 ，又 在 上单调递增，
所以 ，即 ．
故答案为：C

【分析】 根据奇偶性及单调性即可比较函数值大小.
12.【解析】【解答】如图，连接 ，

因为E ， F ， G分别为 的中点，
所以 平面 ，那么 平面 ，
因为 ，所以同理得 平面 ，
又 ，得平面 平面 ，
所以点P在直线 上，那么 与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为 ，
在 中，有 ，所以 ．
故答案为：D

【分析】 利用线面平行的性质推导面面平行，然后确定平面位置，最后计算三角形面积.
二、填空题
13.【解析】【解答】不等式所表示的区城如图，

令 ，得 ，
当直线经过B点时，直线截距最大，此时z最小，
由 ，
解得 即 ，此时 ．
故答案为：-17.

【分析】 由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案.
14.【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
故分别令 ，可得 展开式 与 的系数分别为 ，
故 展开式 的系数为
故答案为：30．

【分析】 把 按照二项式定理展开，可得结论.
15.【解析】【解答】设点 设 的方程为 ，那么 得 ，那么 ，所以 ，从而 .
故答案为：-2.

【分析】 设出AB坐标，设出直线l的方程，利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，转化求解斜率乘积即可．
16.【解析】【解答】因为 ，所以当 时， ，
两式相减得： ，
整理得， ，
由 知， ，
从而 ，
即当 时， ，
当 时， ，解得 或0〔舍〕，
那么 首项为1，公差为1的等差数列，
那么 ．
所以 ，
那么 ．
∴ ．
故答案为： .

【分析】 由数列递推式可得 是首项为1，公差为1的等差数列，求其通项公式，代入   再由裂项相消法求  .
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由正弦定理化简等式可得   ，由余弦定理可得 ， 结合范围 ， 可求C的值；
〔2〕由〔1〕利用三角形的面积公式可求ab的值，进而由余弦定理可得 , 即可求得   的周长.
18.【解析】【分析】 〔1〕利用勾股定理的逆定理证明   从而证平面  ，平面  平面 ；
〔2〕建立空间直角坐标系 ，利用坐标表示向量，求出平面  的法向量为  和平面  的一个法向量为 ，再求二面角 的余弦值.
19.【解析】【分析】〔1〕首先根据题意做出列联表，由列联表得出k的值，从而得出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 。
〔2〕〔i〕首先根据题意利用互斥事件概率加法公式求出他获得高校自主招生通过的概率。
〔ii〕根据题意假设获得高校自主招生通过的人数为 ， 那么有， 由此得出X的分布列， 并由此估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数。
20.【解析】【分析】 〔1〕 依题意可知  ， 解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
〔2〕 延长  交E于点 ，由对称性可得|F1M'|=|NF2|， 由〔1〕可知 设 ，求得直线MF1的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，设F1M与F2N的距离为d，那么四边形F1F2NM的面积 化简整理，结合根本不等式，可得所求最大值．
21.【解析】【分析】 〔1〕对 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
〔2〕对 求导，令   对a分类讨论，判断   零点个数，即可求解a的取值范围.
22.【解析】【分析】 〔1〕l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinφ-10=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ．能求出l的普通方程；C的参数方程消去参数θ，能求出C的普通方程；
〔2〕在C上取点M〔3cosφ，2sinφ〕，利用点到直线的距离公式求出 由此能求出结果．
23.【解析】【分析】〔1〕通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
〔2〕x ∈ [ − 3 , − 1 ] 的条件直接去掉绝对值，再通过参变别离转化为求函数g ( x ) = − 2 −在 x ∈ [ − 3 , − 1 ]最小值。