2021届上海市黄浦区高三三模数学试题及答案

这是一份2021届上海市黄浦区高三三模数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了填空题，单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三三模数学试题一、填空题1.全集 ，集合 ，那么 ________.    2.函数 的定义域为________.    3.等比数列 的首项为2，公比为 ，其前 项和记为 ，那么 ________.    4.设复数 〔i为虚数单位〕，假设 ，那么 ________.    5.假设 的展开式中的常数项为 ，那么实数a的值为________.    f﹣1〔x〕为函数f〔x〕＝log2〔4x﹣1〕的反函数，那么当f〔x〕＝2f﹣1〔x〕时，x的值为________．    7.某几何体的三视图如下列图(单位：cm)，那么该几何体的外表积(单位：cm2)为________.  8.一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为 ，当且仅当 且 时，称这样的数为“凸数〞(如341)，那么从集合 中取出三个不相同的数组成的“凸数〞个数为________.    9.椭圆 的右顶点为 右焦点为 以 为圆心， 为半径的圆与椭圆相交于 两点，假设直线 过点 那么 的值为________．    10.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．假设 ＝λ ＋μ ，那么λ＋μ＝________  11.点 是直线 ： ( )上的动点，过点 作圆 ： 的切线 ， 为切点.假设 最小为 时，圆 ： 与圆 外切，且与直线 相切，那么 的值为________    12.假设实数 ､ 满足 ，函数 的最大值为 ，那么 的最小值为________.    二、单项选择题13. 是关于x的方程  〔 〕的一个根，那么 〔   〕            A. -1                                          B. 1                                          C. -3                                          D. 314.设α、β是两个不同的平面，那么 的充要条件是〔    〕.            A. 平面α内任意一条直线与平面β垂直                     B. 平面α、β都垂直于同一条直线
C. 平面α、β都垂直于同一平面                                D. 平面α内存在一条直线与平面β垂直15. 、 分别是双曲线 ： ( ， )的左、右焦点，且 ，假设P是该双曲线右支上一点，且满足 ，那么 面积的最大值是〔    〕            A. 2                                           B.                                            C.                                            D. 216.设函数 ，假设两条平行直线 与 之间的距离为a，那么函数 零点的个数是〔    〕            A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4三、解答题17.函数 .〔a为实常数〕    〔1〕讨论函数 的奇偶性，并说明理由；    〔2〕当 为奇函数时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数u的最大值.    18.如图①，在菱形 中， 且 为 的中点，将 沿 折起使 ，得到如图②所示的四棱锥 ，在四棱锥 中求解以下问题：  〔1〕求证： 平面 ；    〔2〕假设 为 的中点，求直线 与平面 所成的角.    19.如图，某城市设立以城中心 为圆心、 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 正东方向上有一条高速公路 、西南方向上有一条一级公路 ，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆 相切的直道 ．通往一级公路的道路 每公里造价为 万元，通往高速公路的道路 每公里造价是 万元，其中 为常数，设 ，总造价为 万元．  〔1〕把 表示成 的函数 ，并求出定义域；    〔2〕当 时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？    20.直线 交抛物线 于 两点.    〔1〕设直线 与 轴的交点为 ，假设 ，求实数 的值；    〔2〕假设点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求证： 四点共圆：    〔3〕记 为抛物线 的焦点，过抛物线 上的点 作准线的垂线，垂足分别为点 ，假设 的面积是 的面积的两倍，求线段 中点的轨迹方程.    21.集合 ，集合 ，假设集合 中元素个数为 ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，那么称集合 为“好集合〞.    〔1〕判断集合 、 是否为“好集合〞；    〔2〕假设集合 是“好集合〞，求 的值；    〔3〕“好集合〞 的元素个数是否存在最大值？假设存在，求出最大值；假设不存在，请说明理由.   
答案解析局部一、填空题1.【解析】【解答】由题意，集合 ， 根据集合的补集的概念及运算，可得 .故答案为： . 
【分析】先化简求出集合A，再根据集合的补集的概念及运算可得答案。2.【解析】【解答】由题设有 ，故 ， 故函数的定义域为 .【分析】解不等式组 可得函数的定义域.3.【解析】【解答】因为等比数列 的首项为2，公比为 ， 所以前n项和记为 ，.故答案为：  
【分析】根据等比数列的前项和公式可得，再根据极限的运算公式即可求出。4.【解析】【解答】因为 ， 又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 .故答案为：1 
【分析】 先根据二阶行列式的定义写出算式，然后根据复数的模的定义式列出算式， 再进行化简整理，并利用同角三角函数根本关系式，并将弦化切，进行转化可得 的值。5.【解析】【解答】 的展开式中的通项公式为： ， 令 ，得 ，所以常数项为 ，因为常数项为 ，所以 ，.故答案为：  
【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值.6.【解析】【解答】f﹣1〔x〕为函数f〔x〕＝log2〔4x﹣1〕的反函数, 设y＝f〔x〕＝2f﹣1〔x〕,函数过〔x  ， y〕,反函数过〔x  ，  〕,所以f〔x〕同时过〔x  ， y〕,〔 ，x〕,代入 ,得 ,所以x＝1故答案为：1 
【分析】由题意可得设y＝f〔x〕＝2f﹣1〔x〕,函数过〔x，y〕,反函数过〔x， 〕,列出方程组解得即可求出x的值。7.【解析】【解答】该几何体的直观图如下列图， 外表积为：  故答案为：32 
【分析】 由三视图复原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，然后由直角三角形面积公式求出外表积。8.【解析】【解答】由题意可得y只能去3,4,5， 当 时，凸数有 132,231共2个；当 时，凸数有142,241,143,341,243,342共6个；当 时，凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12个；综上，共有20个凸数.故答案为：20 
【分析】 5个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数〞 ，可得答案。9.【解析】【解答】由 ， ，因为 过焦点 ，所以由对称性知 轴，所以 ， ，所以 。 故答案为： 。 
【分析】 椭圆 的右顶点为 右焦点为 再结合椭圆的标准方程，进而求出点A,F的坐标，因为 过焦点 ，所以由对称性知 轴，再利用圆与椭圆相交联立二者方程求出B,C两点的距离，再利用两点距离公式求出点A,F的距离，再结合勾股定理求出圆的半径的长。10.【解析】【解答】.因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝ BC． 因为点M为AH的中点，所以 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＝ ＋ ，又 ＝λ ＋μ ，所以λ＝ ，μ＝ ，所以λ＋μ＝ . 
【分析】 根据向量的加法，将向量AM用AB，BC表示出来，由平面向量根本定理，便能求出答案.11.【解析】【解答】圆C的圆心为 ，半径为 ， 当 与 垂直时， 的值最小，此时点C到直线 的距离为 ，由勾股定理得 ，又 ，解得 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ，∵圆 与直线 相切，∴ ，解得 .故答案为： . 
【分析】 当PC⊥l时，切线长|PA|最小，结合圆C的半径和|PA|=2，可求出此时圆心C到直线  的距离，从而求出k的值，直线 的方程可求;再根据圆M与圆C外切，与直线 相切，就可以求出m的值.12.【解析】【解答】由 ，可得 ， 又由 ，可知其最大值 ，而当 最小值，即 取得最小值，而此式为 上的点 到原点的距离，所以当此点为 时， 取得最小值1，所以 .故答案为：2. 
【分析】 先将配方，求出b的取值范围,再求出a2+b2的取值范围，运用两角和的正弦公式，并化简函数f (x) =asin2x+ bcos2x+1,求出最大值，再根据a2+b2的范围，求出其最小值.二、单项选择题13.【解析】【解答】实系数的一元二次方程虚根成对〔互为共轭复数〕，所以 为方程两根， ， 故答案为：A. 
【分析】 利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a, b即可.14.【解析】【解答】假设 ，那么平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A不正确； 假设平面α、β都垂直于同一条直线，那么平面α与β平行，选项B不正确；假设平面α、β都垂直于同一平面，那么平面α、β可以平行，也可以相交，选项C不正确；假设平面α内存在一条直线与平面β垂直，那么根据面面垂直的判定定理，可知 ，假设 ，那么由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于平面β内的两条相交直线的直线一定垂直于平面β，应选项D正确；故答案为：D. 
【分析】当两个平面垂直时，一个平面内的一条直线可以与另一个平面成任意角，可判断A项不正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可判断B项不正确；垂直于同一个平面的两个平面可以成任意角可判断C项错误；利用面面垂直的判定定理可以得到D项正确，从而得到答案。15.【解析】【解答】设 ， ， ，由题意得 ， ， 由双曲线定义得 ，∴ ,所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，由余弦定理得 ，，当 时， 面积的最大值是 ，故答案为：B. 
【分析】设 ， ， ， 由双曲线定义得， 根据，得  ， ，根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于n2的函数，根据二次函数知识可求得结果。16.【解析】【解答】由题意两条平行直线那么 ，那么 ，那么根据这两条平行线间的距离为a得： ，解得 ，那么 ，的零点相当于 与 的两图像的交点，在同一坐标系中画出函数 及 的图象，如下列图， 与 有四个交点，函数 零点的个数是4.
故答案为：D. 
【分析】 利用平行线之间的距离求出a, b,画出函数y=f (x)， 图象，即可得到结果.三、解答题17.【解析】【分析】 (1)讨论当 时，当  时， 计算f (-x)和f (x) 的关系，即可判断函数f (x) 的奇偶性;
(2)求得 ， 由题意可得 ，运用换元法和指数函数的单调性，以及对勾函数的单调性，求得此不等式右边函数的最小值，可得所求u的最大值.18.【解析】【分析】 (1)首先在图①中，连接BD,由条件可得 ，  在图②中，根据勾股逆定理得到AE⊥ED,又因为BC⊥AE从而得到BC⊥平面ABE；
 (2)首先根据(1)易证AE⊥平面BCDE,再以E为坐标原点，EB, EDEA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解 直线  与平面  所成的角即可.19.【解析】【分析】(1)由题意可得   ，  ，可得   ， 由正切函数的定义域可得函数的定义域为: ；
(2)由(1)可得 可化为 ， 由根本不等式可得 ，由取等号的条件可得答案.20.【解析】【分析】〔1〕 设 ，把直线方程与抛物线联立，利用韦达定理可得 ， 由 解得    ， 从而   ，进而求出实数  的值；
〔2〕 设  由  两点关于直线  对称，得出 ，  ，再根据向量数量积的坐标运算，即可得证。   21.【解析】【分析】 〔1〕集合  对应的集合 符合题意，所以集合  为“好集合"， 集合  对应的集合    ，  ，  故集合  不是“好集合〞 ；
〔2〕根据 “好集合〞 的定义求解，即可得出m的值；
〔3〕 由〔2〕可知，  即为“好集合〞， 利用反证法即可得证。