2021届辽宁省铁岭市数学二模试卷及答案

 数学二模试卷

一、单项选择题

1. ， ， ，那么 〔    〕           

A. 或           B.           C. 或           D. 

2.复数 满足 ，那么在复平面内 对应的点位于〔    〕           

A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限

3.从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是〔    〕           

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

4.化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的 值，例如氢离子物质的量浓度为 的溶液，因为 ，所以该溶液的 值是1.0.现有 值分别为3和4的甲乙两份溶液，将 甲溶液与 乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反响且体积变化忽略不计，那么混合溶液的 值约为〔　　〕 

〔精确到0.1，参考数据： .〕

5.某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第 年该地区贫困户年人均收入 万元的局部数据如下表： 

根据表中所给数据，求得 与 的线性回归方程为 ，那么 〔    〕

6.中国古代数学名著?张邱建算经?中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.那么第一等人(得金最多者)得金斤数是〔    〕           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

7.的外接圆的半径等于3， ，那么 的取值范围是〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

8.函数 在 内有且仅有一个极大值点，那么 的取值范围为〔    〕           

A.                                B.                                C.                                D. 

二、多项选择题

9.为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次成绩Y〔单位：分〕的折线图：根据折线图〔　　〕 

A. 甲班的成绩分数呈上升趋势
B. 甲班乙班的成绩分数平均值均为7
C. 甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差
D. 从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数増量

10.设 ， 是不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，那么正确命题是〔    〕           

A. 假设 ， ， ，那么           B. 假设 ， ， ，那么
C. 假设 ， ，那么                            D. 假设 ， ， ，那么

11.设函数 那么〔    〕           

A. 是偶函数                                                    B. 值域为
C. 存在 ，使得                         D. 与 具有相同的单调区间

12.设 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过 作 轴的垂线与C交于A，B两点，假设 为正三角形，那么〔    〕           

A.               B. C的焦距为               C. C的离心率为               D. 的面积为

三、填空题

13.圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上，那么这个圆柱的侧面积为________.   

14.函数 的导函数 展开式中 的系数为________.   

15.设 定义域为 ， 在 上单调递减， 是奇函数，那么使得不等式 成立的 取值范围为________.   

16.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上在第一象限内的一点，点 在 上， ， ，那么直线 与 轴交点 的坐标为________.   

四、解答题

17.补充问题中横线上的条件，并解答问题.在① ，② ，③ 这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求b，c的值；假设问题中的三角形不存在，请明理由. 

问题：是否存在 ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且  ▲    ，   ▲    ，  ？

注：从条件①②③任意选择两个填入问题中解答即可，如果多组分别解答，按第一组解答计分.

18.为数列 的前 项和， .   

〔1〕设 ，证明： ，并求 ；   

〔2〕证明： .   

19.如图，四棱锥 中， ， ， 是正三角形. 

〔1〕求证：平面 底面 .   

〔2〕点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为30°，求二面角 的余弦值.   

20.一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取4个，对其一个一个地进行检测，假设这4个都为优质品，那么这批锂电池通过这次质量检测，假设检测出非优质品，那么停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测.假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为 .   

〔1〕设一次质量检测共检测了 个锂电池，求 的分布列；   

〔2〕设 ，每个锂电池的检测费用都是1000元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为 (单位：元)，求 的数学期望 的最小值.   

21.设函数 .   

〔1〕假设 ，求 ；   

〔2〕当 时， ，求 的取值范围.   

22.椭圆 的一个短轴的端点到一个焦点的距离为2.   

〔1〕求 的方程；   

〔2〕设 是 在第一象限内的一点，点 关于 轴､坐标原点的对称点分别为 ､ ， 垂直于 轴，垂足为 ，直线 与 轴､ 分别交于点 ､ ，直线 交 于点 . 

〔i〕求直线 的斜率 的最小值；

〔ii〕直线 交直线 于点 ，证明： 轴.

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为 或 ，所以 或 .

故答案为：A.

 
【分析】进行交集、补集的运算即可。

2.【解析】【解答】 , ，对应点为 在第四象限，

故答案为：D.

 
【分析】 根据复数的元素法那么先进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可.

3.【解析】【解答】从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件，可能的事件共有 种，

其中两件都不是次品的事件有 种，

结合对立事件公式可得抽取的2件中至少有1件是次品的概率是： .

 
【分析】 抽取的2件中至少有1件是次品的对立事件是抽取的2件都是合格品，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2件中至少有1件是次品的概率.

4.【解析】【解答】由题意pH值为 时，氢离子物质的量浓度为 ，

混合后溶液中氢离子物质的量浓度为 ，

pH值为 ．

故答案为：C．

 
【分析】 由题意分别求出甲、乙两种溶液所含氢离子物质的量，作和后除以3，取常用对数后取其相反数得答案.

5.【解析】【解答】因为 ， ，由 ，

可得 ，C符合题意.

故答案为：C

 
【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可。

6.【解析】【解答】由题设知在等差数列 中， ， .

所以 ， ，解得 ，

故答案为：A

 
【分析】由题设知在等差数列 中， ， ， 由等差数列的通项公式，即可求出答案。

7.【解析】【解答】以 为坐标原点， 轴，建立坐标系，如图，

那么 ， ，

设 ，

，

那么 ，

故答案为：D

 
【分析】建立坐标系后，根据圆上一动点C的坐标，利用向量的坐标运算求解即可。

8.【解析】【解答】解法1：

因为 ，所以函数 在 内有且仅有一个极大值点等价于函数 在 内有且仅有一个极大值点.

假设 在 上有且仅有一个极大值点，那么 ，解得 .

A符合题意.

故答案为：A.

解法2：

令 ，可得 极大值点 ，其中 .

由 ，可得 ，

由题设这个范围的整数 有且仅有一个，因此 ，

于是正数 的取值范围为 ，A符合题意.

故答案为：A.

 
【分析】由可得， 结合三角函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解。

二、多项选择题

9.【解析】【解答】对于A，由频率分布折线图知，甲班的成绩分数呈上升趋势，A符合题意；

对于B，计算甲班成绩平均值为 ，

计算乙班成绩平均值为 ，所以甲班乙班的成绩分数平均值均为7，B符合题意；

对于C，根据甲班成绩数据比乙班成绩数据波动性更大些，所以甲班方差比乙班方差大些，C符合题意；

对于D，由频率分布折线图知，从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量，D符合题意.

故答案为：ABCD.

 
【分析】 由频率分布折线图，判断甲班的成绩分数呈上升趋势，计算甲、乙两班成绩平均值，估计它们的方差大小，判断成绩分数增量情况.

10.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，A符合题意.

当 ， ， 是某三棱柱的三个侧面时，可以满足 ， ， ，但是 与 相交，B不符合题意.

垂直于同一个平面的两个平面可以相交，C不符合题意.

因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，D符合题意.

故答案为：AD.

 
【分析】 对于A，先推导出m⊥β,再由n⊥β,得m//n；对于B, 与 相交或平行；对于C，与 相交或平行；对于D,先求出m⊥β,再由β//γ，得。

11.【解析】【解答】因为 .所以 ， 不是偶函数，故答案为：项A不符合题意.

当 时， ，当 时， ，所以 值域为 ，B符合题意；

因为 ， ，C符合题意.

因为 具有单调性的区间与 具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，D不符合题意(由 表达式也可以看出).

故答案为：BC

 
【分析】 根据f(-x)≠f(x),可对A选项进行判断，分别求出x≥0、x<0，f(x)的值域，即可对B选项进行判断，因为f(0)= 1,f(-2π)= 1,即可对C选项进行判断，f(x)具有单调性的区间与f(-x)具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，故D选项错误，即可求解.

12.【解析】【解答】设 ，那么 ， ，离心率 ，C符合题意.

因此 ， ，A符合题意.

，B不符合题意.

的面积为 ，D符合题意.

故答案为：ACD.

 
【分析】 由题意及  为正三角形可得a, c的关系，进而求出离心率的值，再由双曲线的方程可得b的值，及三角形ABF1的面积，判断出所给命题的真假。

三、填空题

13.【解析】【解答】由题设可知，圆柱的高2､底面圆周直径 ､球直径4组成以球直径长为斜边的直角三角形，可得 .

因此这个圆柱的侧面积为 .

故答案为：

 
【分析】 画出圆柱的轴截面图形，设圆柱的底面半径为r，利用直角三角形中的勾股定理列式求得r，代入圆柱的侧面积公式求解.

14.【解析】【解答】因为

所以 ，

故展开式中 的系数为 .

故答案为：-240

 
【分析】 先求出函数，再根据通项公式求得函数 的展开式中x2的系数。

15.【解析】【解答】因为 是奇函数，故 图像关于 对称，

由题设 ，因为 在 上单调递减，

所以 等价于 ，

因此不等式 等价于 ，

即 ，即 且 ，

解得 取值范围为 .

故答案为：

 
【分析】 由结合奇函数性质及函数图像的平移可得f (x)关于(1, 0)对称，然后结合对称区间上的单调性进行转化可求.

16.【解析】【解答】设 ，那么 ， ，由 可得 ，

设 在 上射影为 ，由抛物线定义， ，

因为 ，所以 ，

故 垂直平分 ，直线 经过线段 中点，

因为 轴，所以 中点在 轴上，因为 ， ，

所以点 的坐标为 .

故答案为： .

 
【分析】 由抛物线的方程可得焦点F及准线方程，设M的坐标，由|MF|和抛物线的性质可得M的坐标，由题意设N的坐标，由MF⊥NF,可得，进而得 垂直平分 ，直线 经过线段 中点，再由轴，可得P的坐标.

四、解答题

17.【解析】【分析】 利用正弦定理，两角和的正弦公式化简等式可得 ，结合范围A∈(0,π),可求 ， 假设选择条件①②，利用正弦定理可得 ， 可求B, C,进而可求c的值，利用正弦定理可求b的值；假设选择条件①③，由可求   ,可得 ，进而根据正弦定理可求c, b的值；
假设选择条件②③，由可求b的值，根据余弦定理可得 ， 解方程可得c的值.

18.【解析】【分析】 (1)由 ， 取n= 1可得数列{an}的首项，且有 与原递推式联立 ，结合 ， 即可证明  ，再由累加法求an
(2)由(1) 可知， 取倒数后利用裂项相消法求 ， 那么结论得证.

19.【解析】【分析】 (1)连接BD，由题设证明BD⊥AD，BD⊥PD，再由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，进一步得到平面PAD⊥底面ABCD ;
(2) 以  为坐标原点，  的方向为  轴正方向，建立如下列图的空间直角坐标系  .
设 设 ， 由直线CE与底面ABCD所成角为30°求得   ，可得  ，再求出  ，可求得平面EAC的一个法向量，取底面DAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角  的余弦值 .

20.【解析】【分析】 (1)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；
(2)求出E (X),从而求出E(Y) = 1000E (X),构造函数，利用函数的单调性求解最值即可。

21.【解析】【分析】 (1)由于f(x)≥0，f(1)=0, 故f' (1)=0，那么a=1,将a= 1代入验证符合题意；
(2)问题等价于  在(1, +∞)上恒成立，分  及  讨论即可.

22.【解析】【分析】 (1)由题意得到关于m的方程，求解m的值，即可得到答案；
(2) 〔i〕 设 ，表示出    ，    ，求出直线DG的方程与椭圆方程联立，设   ，求出x1, y1,求出直线BM的斜率，设 ，求出x2  ， y2，得到直线GM的斜率，利用根本不等式求解最值即可；
〔ii〕 求出GM的方程，表示出点N的纵坐标，化简即可证明。