2021届上海市奉贤区高三上学期数学一模试卷及答案

 高三上学期数学一模试卷

一、单项选择题

1. ， ，那么 “ 〞是 “ 〞的〔    〕           

A. 充分非必要条件             B. 必要非充分条件             C. 充要条件             D. 既非充分又非必要条件

2.设 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个法向量，设向量 与向量 的夹角为 ，那么 为〔    〕           

A.         B.         C.         D. 

3.垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点 到两旗杆顶点的仰角相等,那么点 的轨迹是 (    )           

A. 椭圆                                    B. 圆                                    C. 双曲线                                    D. 抛物线

4.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数 为：当 〔 为正整数， 是既约真分数〕时 ，当 或 或 为 上的无理数时 . 、 、a+b都是区间 内的实数，那么以下不等式一定正确的选项是〔    〕           

A.                                         B. 
C.                                         D. 

二、填空题

5.椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，那么点 到另一个焦点的距离为________.   

6.在 展开式中，常数项为________.〔用数值表示〕   

7.假设实数 满足 ，那么 的最大值为________．   

8.复数 的虚部是________.   

9.设集合 ，那么 ________.   

10.函数 的图像关于直线 对称，那么 ________.   

11.等差数列 中，公差为 ，设 是 的前 项之和，且 ，计算 ________.   

12.假设抛物线 的准线与曲线 只有一个交点，那么实数 满足的条件是________.   

13.某工厂生产 、 两种型号的不同产品，产品数量之比为 .用分层抽样的方法抽出一个样本容量为 的样本，那么其中 种型号的产品有 件.现从样本中抽出两件产品，此时含有 型号产品的概率为________.   

14.对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、 的几何平均值.设 ， ，假设 、 的算术平均值是1，那么 、 的几何平均值〔 是自然对数的底〕的最小值是________.   

15.在棱长为 的正方体 中，点 分别是线段 〔不包括端点〕上的动点，且线段 平行于平面 ，那么四面体 的体积的最大值是________.   

16. 是奇函数，定义域为 ，当 时， 〔 〕，当函数 有3个零点时，那么实数 的取值范围是________.   

三、解答题

17.如图，在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， . 

〔1〕当四棱锥 的体积为 时， 求异面直线 与 所成角的大小；   

〔2〕求证： 平面 .   

18.在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度 〔单位： 〕和燃料的质量 〔单位： 〕，火箭〔除燃料外〕的质量 〔单位： 〕满足 〔 为自然对数的底〕.   

〔1〕当燃料质量 为火箭〔除燃料外〕质量 的两倍时，求火箭的最大速度〔单位： 〕结果精确到0.1〕；   

〔2〕当燃料质量 为火箭〔除燃料外〕质量 的多少倍时，火箭的最大速度可以到达 〔结果精确到0.1〕.   

19.在① ；② ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；假设问题中的三角形不存在，请说明理由.

问题：是否存在 ，它的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ，_______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.如图，曲线 的方程是 ，其中 、 为曲线 与 轴的交点， 点在 点的左边，曲线 与 轴的交点为 . ， ， ， 的面积为 . 

〔1〕过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点〔异于 点〕，点 在第一象限，设点 的横坐标为 、 的横坐标为 ，求证： 是定值；   

〔2〕过点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点，求直线 的倾斜角范围；   

〔3〕过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点〔异于 点〕，点 在第一象限，当 时，求 成立时 的值.   

21.数列 满足 恒成立.   

〔1〕假设 且 ，当 成等差数列时，求 的值；   

〔2〕假设 且 ，当 、 时，求 以及 的通项公式；   

〔3〕假设 ， ， ， ，设 是 的前 项之和，求 的最大值.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【答案】 A  

【解析】【解答】假设 ，那么 ，那么 成立，即充分性成立；

反之，假设 ，那么 ，当 时， ，此时 ，故必要性不成立，

所以“ 〞是 “ 〞的充分不必要条件.

故答案为：A.

 
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论。

2.【答案】 C  

【解析】【解答】由题意， 是直线 的一个方向向量，那么 ，

是直线 的一个法向量， ，

那么 ，

故 ，

故答案为：C.

 
【分析】根据题意分析可得 与的坐标，进而由数量积的计算公式计算可得答案。

3.【答案】 B  

【解析】【解答】如图，建立直角坐标系

依题意可得，

那么

设 ，因为 ，所以

那么 ，即

化简可得 ，即

所以 点轨迹为圆，

故答案为：B

 
【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹。

4.【答案】 B  

【解析】【解答】设 为正整数， 是既约真分数 ， 或 或 为 上的无理数 ，那么根据题意有：①当 时，那么 ， ，②当 时， ， ；③当 时， ， ；④当 时， ，

综上所述， 一定成立.

故答案为：B.

 
【分析】设 为正整数， 是既约真分数 ， 或 或 为 上的无理数 ，然后根据、 与集合A、B的关系分类讨论，计算与， 与的关系，即可得出答案。

二、填空题

5.【答案】 2  

【解析】【解答】利用椭圆定义 ， ，

可知 ，即

故答案为：2

 
【分析】先由椭圆的方程求出的值，然后根据椭圆的定义即可求解。

6.【答案】 -20  

【解析】【解答】 展开式的通项为 ，

令 ，可得 ，

所以常数项为 ，

故答案为：-20

 
【分析】利用二项式展开式的通项公式， 令x指数等于零，求出常数项即可。

7.【答案】 3  

【解析】【解答】画出可行域如下列图：

令 ，那么 ，易知截距越大，z越大，

直线 ，平移直线至 时， .

故答案为：3

 
【分析】先根据不等式组画出可行域，然后把看作找其在轴上的截距最大值即是的最大值。

8.【答案】 1  

【解析】【解答】 ，虚部为1．

故答案为：1．

 
【分析】利用复数的乘除运算求得结果即可。

9.【答案】 R  

【解析】【解答】要使函数 有意义，那么只需 ，又 ,

所以不等式 的解集为 ，故 .

故答案为：R.

 
【分析】要使函数 有意义，那么只需 即可。

10.【答案】

【解析】【解答】令 ，可得： ，

令 ，解得 ，

因为 ，所以 ， ，

故答案为：

 
【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果即可。

11.【答案】

【解析】【解答】因为 是等差数列，所以 ， ，

所以 ，

因为 ，所以 ，

所以 ，

故答案为：

 
【分析】写出等比数列的通项公式和前 项和，代入 并整理，再由数列的极限得出答案。

12.【答案】

【解析】【解答】抛物线 的准线为 ，

当 时， 表示椭圆在 轴上方局部以及左右顶点

所以 ，

假设 与曲线 只有一个交点，

那么 ，解得 ，

当 时， 表示双曲线的在 轴上方局部即上支，

此时 ，

此时满足 与曲线 只有一个交点，所以 ，

综上所述：实数 满足的条件是 或 ，

故答案为：

 
【分析】根据题意得抛物线的准线为 ， 分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解。

13.【答案】

【解析】【解答】设 种型号抽取 件，所以 ，解得： ， ，

从样本中抽取2件，含有 型号产品的概率 .

故答案为：

 
【分析】先由分层抽样抽样比求币种， 种型号抽取件数以及n，再根据古典概型公式求概率。

14.【答案】

【解析】【解答】因为 、 的算术平均值是1，所以 ，即 ，所以 ，

、 的几何平均值为 ，

由根本不等式可得： ，

当且仅当 时等号成立，

所以 、 的几何平均值的最小值是

故答案为：

 
【分析】由可得， 然后结合根本不等式即可求解。

15.【答案】

【解析】【解答】由线面平行的性质定理知 ， ∽ ， ，

设 ，那么 ， 到平面 的距离为 ，那么 ,

所以 ，所以四面体 的体积为 ，

当 时，四面体 的体积取得最大值： ．

所以答案应填： ．

 
【分析】由题意可得∽ ， 设 ，那么 ， 到平面 的距离为 ， 求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体体积的最大值。

16.【答案】

【解析】【解答】当 时，易知函数 单调递减，且 时， ， 时， ，其大致图象如下，

在 的大致图象如下，

又函数 是定义在 上的奇函数，故函数 的图象如下，

要使函数 有3个零点，只需函数 的图象与直线 有且仅有3个交点，

由图象可知， ．

故答案为： ．

 
【分析】根据题意及函数图像的变换法那么，作出函数的图像，由图像观察即可得解。

三、解答题

17.【答案】 〔1〕解：由题意 ， ，  

分别以 为 轴建立空间直角坐标系 ，如图，

那么 ， ，

， ，

∵ ，而 ，

∴ ，∴异面直线 与 所成角为 ；

〔2〕证明：由〔1〕 ， ，此时 长度不定，可设 ． ，  

∵ ，∴ ，即 ，

同理 ， ，

， 平面 ．

∴ 平面 ．

【解析】【分析】〔1〕由题利用四棱锥的体积公式可求，  以  为  轴建立空间直角坐标系  ，可得  ，  ，利用平面向量夹角公式可求得 ， 进而求得异面直线  与  所成角的值；
〔2〕由〔1〕得  ， ，由 得 ，进而通过线面垂直的性质可证 ， 根据线面垂直的判定定理即可证明  平面   。  

18.【答案】 〔1〕解：因为 ，所以 ，  

当燃料质量 为火箭〔除燃料外〕质量 的两倍时，将 代入得：

；

〔2〕解：令 ，即 ，得 ，解得 .  

【解析】【分析】〔1〕将   化为 ， 然后将 代入中求解即可；
〔2〕将 代入得  ，然后进行指对互化求解  的值 。

19.【答案】 解：选①， ∵在 ， ，
∴由正弦定理得 ，即 ， 又 ，∴ ，
∴ ，
解得 ， ∴ ， ， ．
选②， ∵在 ， ，
∴由正弦定理得 ，即 ，
∵ ，
那么 ，∴ ， ， ，
∴ ， ．
选③，三边成等比数列， ∵在 ， ，
∴由正弦定理得 ，又 ，
∴ ， ， 即 ，
这与三边成等比数列矛盾．无解．  

【解析】【分析】 选①根据题意结合正弦定理可得  ， 结合  ，运用余弦定理即可求得 ， 进而可求B，A的值；  选②，根据题意，  ，  ， 由正弦定理得  ，进而得到 ， 运用余弦定理即可求得 ， 进而可求B，A的值； 选③， 由利用正弦定理可得  ，由余弦定理可得 ， 可得 ， 推出矛盾，可得问题中的三角形不存在。

20.【答案】 〔1〕证明：直线 方程为

时，由 ，解得 ，或 ，∴ ，

，由 ，解得 ，或 ，∴ ，

∴ ；

〔2〕解：由题意 ， ， ，解得 ，  

设过 的直线 的方程为 ，那么 只有一个解，

只有一解，

， ，由图知 ，易知直线 的方程为 也符合题意，双曲线 的渐近线为 ， 是此双曲线的右焦点，由双曲线性质知直线 的倾斜角的取值范围是 ；

〔3〕解： ，由〔1〕有 ，

那么 ，解得 ，

， ， ，

∴ ， ，

∴ ．

【解析】【分析】〔1〕设直线  方程为 ， 把直线与曲线联立  得出点P, Q的坐标计算即可得证；
〔2〕根据题意可得  ， 设过  的直线  的方程为  ，那么  只有一个解，可得 ，  易知直线  的方程为  也符合题意，进而得出结论；
〔3〕  ，利用数量积公式建立关于k的方程，解出k，进而得出答案。

21.【答案】 〔1〕解：假设 且 ，  

所以 ，即 ，

当 成等差数列时， ，

所以 ，解得： ；

〔2〕解： ，  

令 可得 ，即 ，

令 可得 ，即

所以 ，因为 ，所以 ，解得 ，

由 可得 ，

所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，

所以 ，

所以 ，

，

，

，

以上式子累乘得：

，

所以 ，

〔3〕解：由 可得 ，  

所以 ，

因为 ，所以 ，即 ，

所以 ，

因为 ，所以 ，所以 ，

因为 ，所以 即 ，

，

因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，

所以 ，可得 ，

所以 ，

令 ，设 ，

，对称轴为 ，是开口向上的抛物线，在 单调递增，

所以 时取得最大值，故 最大值为 ，

所以 最大值为 .

【解析】【分析】〔1〕根据等差数列的定义以及对应关系，求出k的值即可；
〔2〕由  及   、 求出   ，即可求出   是首项为  ，公比为  的等比数列， 累乘可求出  的通项公式 ；
〔3〕由得到  ，得出  ， 令  ，设 求出   时取得最大值，故  取最大值，从而求出的最大值即可。