2021届山东省德州市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届山东省德州市高三数学二模试卷及答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.命题 ， ，那么 为〔    〕．
A. ，                                       B. ，


C. ，                                       D. ，



2.集合 ， ，那么 〔    〕．
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，那么不同的安排方法共有〔    〕．
A. 120种                                   B. 90种                                   C. 80种                                   D. 60种



4.2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如以下列图所示，现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，那么从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为〔    〕．

A. 18                                          B. 24                                          C. 5                                          D. 9



5.函数 的局部图像大致为〔    〕．
A.                                           B. 


C.                                        D. 



6.在平行四边形 中， ， ， ， ，那么 〔    〕
A. -9                                       B.                                        C. -7                                       D. 



7.运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，假设截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球〔如图①〕放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体〔如图②〕，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体〔如图③〕，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于〔    〕．

A. 8π                                      B. 16π                                      C. 24π                                      D. 32π



8.定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且满足 ，那么关于 的不等式 的解集为〔    〕．
A.        B. 

       C.        D. 



二、多项选择题
9.复数 〔 为虚数单位〕，以下说法正确的选项是〔    〕．
A. 对应的点在第三象限

             B. 的虚部为


C. 

                                       D. 满足 的复数 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上



10.函数 ，假设函数 的局部图像如下列图，那么以下说法正确的选项是〔   〕．

A. 函数 的图像关于直线 对称
B. 函数 的图像关于点 对称
C. 将函数 的图像向左平移 个单位可得函数 的图像
D. 函数 在区间 上的值域为
11.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，点 是圆 关于直线 对称的曲线 上任意一点，假设 的最小值为 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕．
A. 椭圆 的焦距为2


B. 曲线 过点 的切线斜率为


C. 假设 、 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，那么直线 与 斜率之积为


D. 的最小值为2



12.函数 ，那么〔    〕．
A.                                          B. 假设 有两个不相等的实根 、 ，那么


C.                                             D. 假设 ， ， 均为正数，那么



三、填空题
13.假设随机变量 ，且 ，那么 ________．
14.假设 ，且 ，那么 的展开式中的常数项为________．
15. ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，那么点 到直线 的距离的取值范围是________．
16.三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，那么三棱锥 的体积为________，球 的外表积为________．
四、解答题
17.在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
数列 的前 项和为 ，假设 ，且满足______，设数列 的前 项和为 ，求 ，并证明 .
〔注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分〕
18.在锐角三角形 中，角A、 、 的对边分别为 ， ， ， ．
〔1〕求A；
〔2〕假设 ，求 的取值范围．
19.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形且 ， ，点 在底面上的射影为线段 上一点 ， ，且 ， 为 上的一点且 ，过 、 做平面交 于点 ， 于点 且 为 的中点．

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成角的余弦值．
20.抛物线 ，过抛物线上第四象限的点 作抛物线的切线，与 轴交于点 ．过 做 的垂线，交抛物线于 、 两点，交 于点 ．

〔1〕求证：直线 过定点；
〔2〕假设 ，求 的最小值．
21.2021年1月15日教育部制定出台了?关于在局部高校开展根底学科招生改革试点工作的意见?〔也称“强基方案〞〕，?意见?宣布：2021年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基方案，强基方案主要选拔培养有志于效劳国家重大战略需求且综合素质优秀或根底学科拔尖的学生，据悉强基方案的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．
参考公式：
①线性相关系数 ，一般地，相关系数 的绝对值在 以上〔含 〕认为线性相关性较强；否那么，线性相关性较弱．
②对于一组数据 ， ，… ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ．
〔1〕为了更好的效劳于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力 和判断力 进行统计分析，得到下表数据

6
8
9
10
12

2
3
4
5
6
请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 关于 的线性回归方程 ．
〔2〕现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，假设某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为 ，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为 ， ， ，其中 ，根据规定每名考生只能报考强基方案的一所试点高校，假设以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时 的取值范围．
22.函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为1．
〔1〕求实数 的值；
〔2〕设 在定义域内有两个不同的极值点 、 ，求实数 的取值范围；
〔3〕在〔2〕的条件下，令 且 ，总有 成立，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】对命题否认时，全称量词改成存在量词，即 ， ；
故答案为：B.

【分析】根据含有量词的命题的否认的变换原那么即可求解。
2.【解析】【解答】∵ ， ，
∴ 或 ，
∴ .
故答案为：C.

【分析】先求出集合A,B，再求出A的补集，再根据交集的定义运算即可。
3.【解析】【解答】首先安排甲场馆的3名同学，即 ；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即 ；
最后安排2名同学到丙场馆，即 .
所以不同的安排方法有： 种.
故答案为：D.

【分析】首先安排甲场馆的3名同学，再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，最后安排2名同学到丙场馆，进行计算即可得出答案。
4.【解析】【解答】由条形统计图的数据，根据分层抽样的定义可以知道，
假设抽取60人，那么从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为 .
故答案为：A.

【分析】利用分层抽样的性质直接进行计算即可。
5.【解析】【解答】由 知，
为偶函数， ， ，故排除BC选项；
， ，易知 在随着x增大过程中出现递减趋势，且趋近于x轴，A符合题意.
故答案为：A.

【分析】 判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．
6.【解析】【解答】∵ ，
∴ ， ，
而 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
两式相减得 ，∴ .
∴ .
故答案为：B.

【分析】根据平面向量根本定理以及平面向量数量积的进行计算即可选出答案。
7.【解析】【解答】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
那么当截面与顶点距离为 时，小圆锥的底面半径为 ，那么 ，
，
故截面面积为 ，
把 代入椭圆 可得 ，
橄榄球形几何体的截面面积为 ，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积 ．
故答案为：B．

【分析】 构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积．
8.【解析】【解答】 为 上的奇函数， ，
令 ，那么 ，
为 上奇函数；
在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增，由奇函数性质知： 在 上单调递增；
， ，那么 ，
又 ，当 时， ，
当 时， 不成立，即 不成立，
由此可在坐标系中画出 与 大致图象如以下列图所示：

由图象可知：当 时， ，
即当 时， .
故答案为：C.

【分析】令 ，可得g〔x〕是奇函数，当x越大时，显然g〔x〕值越小．当x=1时，g〔1〕=0， 当 时， 不成立，即 不成立，当 时， ，根据奇函数的对称性质即可得解．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由题意，复数 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第三象限，所以A符合题意；
由 ，可得复数的虚部为 ，所以B符合题意；
由 ，所以C不正确；
由 ，
所以满足 的复数 对应的点在以原点为圆心，半径为 的圆上，所以D不正确.
故答案为：AB.

【分析】 由复数的除法法那么化简复数z，求得复数z的模、复数的虚部，即可得到结论．
10.【解析】【解答】结合函数 的图像易知，函数 的最大值 ，最小值为 ，
那么 ， ，
代入点 ，那么 ， ，
因为 ，所以 ， ，
，即 ，函数 关于 对称，A不符合题意；
，即 ，函数 关于点 对称，B符合题意；
函数 的图像向左平移 个单位，
得出 ，C符合题意；
当 时， ， ， ，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】 由函数 的局部图象求出 的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.
11.【解析】【解答】圆 关于直线 对称的曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为 ，

由椭圆定义有 知，

由图知 ，
， ，椭圆方程为
故焦距 ，A不符合题意；
，D不符合题意；
设曲线 过点 的切线斜率为k ， 那么切线方程为 ，
由圆心到切线方程的距离等于半径有 ，B符合题意；
设 ， ，
那么 ，
又 都在椭圆上，即 ，C符合题意；
故答案为：BC.

【分析】 对于A：由椭圆的定义可知，进而得， 解出c，即可判断A是否正确；
对于B：由圆心到切线方程的距离等于半径，解出k，即可判断B是否正确；
对于C：根据，又 都在椭圆上，得出 ，即可判断C是否正确；
对于D：，即可判断D是否正确．
12.【解析】【解答】解：
对于A： ，又 ， ， ，所以 ，那么有 ，A符合题意；
对于B：假设 有两个不相等的实根 、 ，那么 ，B不正确；
证明如下：函数 ，定义域为 ，那么 ，
当 时， ；当 时， ；，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，那么 且 时，有 ，所以 假设 有两个不相等的实根 、 ，有 ，
不妨设 ，有 ，要证 ，只需证 ，且 ，又 ，所以只需证 ，令
那么有
当 时， ， ，所以有 ，即 在 上单调递增，且 ，所以 恒成立，即 ，即 ，即 .
对于C：由B可知， 在 上单调递增，那么有 ，即 ，那么有 ，C不正确；
对于D：令 ， ， 均为正数，那么 ，解得： ， ， ，
由B可知， 在 上单调递增，那么有 ，即 ，即 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：AD.

【分析】 利用导数判断出函数f〔x〕的单调性，利用单调性即可判断选项A；利用分析法逐步分析所需要证明的不等式，发现矛盾，即可判断选项B；利用函数f〔x〕的单调性可得即可判断选项C；利用指数与对数的关系，结合对数的运算性质与函数f〔x〕的性质，即可判断选项D．
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意，随机变量 ，且 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 ，
所以 .
故答案为：0.3.

【分析】 由条件根据正态分布曲线的对称性，求得μ=2，再由求得 的值．
14.【解析】【解答】 的通项公式为 ，
因为 ，
令 ，
解得 ，
所以 的展开式中的常数项为4
故答案为：4

【分析】由的通项公式为 ，结合，可求出n,r，即可求出的展开式中的常数项。
15.【解析】【解答】解：如图，

延长 交 于点 ，连接 ，因为 为 的平分线，且 ，所以 为 的中点， 为 的垂直平分线，所以 ，在 中， 、 分别为 、 的中点，所以 ，设 点坐标为 ，所以 ，圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，所以点 到直线 的距离的取值范围是
故答案为：[1,3]

【分析】 延长 交 于点 ，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点N的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离，即可得出点 到直线 的距离的取值范围．
16.【解析】【解答】如图， ， 是边长为2的正三角形，

所以三棱锥 为正三棱锥，
那么顶点 在底面的投影为底面三角形的中心 ，
连接 并延长，交 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
又∵ ， ， ，
∴ 平面 ，那么 ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 平面 ，
∴正三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，
且 ，∴ ，
将三棱锥补形成正方体，那么正方体外接球即为三棱锥的外接球，
所以直径为 ，
∴外接球的半径为 ，
故外接球的体积为 .
故答案为： ； .

【分析】 由题意画出图形，证明三棱锥P-ABC为正三棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出三棱锥  的体积 ，再由补形法求外接球球O的体积．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕选①：由 ， 当
  时，   两式
相减即可得出 ，再检验  满足上式 ，可得  ；
选②：由 ， 当  时，  ， 两式相除得  ， 当  时，  满足上式 ，可得   ；
选③：由   ， 当  时，  ， 两式相减得   ，利用等比数列的通项公式即可得出；
〔2〕 ，利用等比数列的求和公式即可得出．
18.【解析】【分析】〔1〕 由题意得  ，整理得  ，解出 ，进而求出角A；
〔2〕 由余弦定理可得   ，再由正弦定理得   ，  ，而C=  ，可得, 又 , 解得 ,进而得出   ，可得  的取值范围 。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕 解法一：取  的四等分点   ， 使   ， 连接   ，    ， 由    ， 得   ， 由面面平行的判定定理可得平面  平面  ，再由面面平行的性质定理得  平面 ；
解法二：取  的四等分点   ， 使   ， 连接   ，  ， 由    ， 得 ， 又因为   ， 所以 ，得   ，根据线面平行的判定定理可证得；
〔2〕 建立空间直角坐标系， 求出平面  的法向量和平面  的法向量，利用向量夹角的公式可求出平面  与平面  所成角的余弦值。
20.【解析】【分析】 〔1〕设切点A的坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到切线方程，从而求出直线BC的方程，即可证明；
〔2〕联立直线与抛物线的方程， 设  ，  ， 得到韦达定理，将   利用向量的坐标表示出来，得到t的取值范围，利用点到直线的距离公式以及两点间距离公式得到 关于t的表达式，由二次函数的性质求解最值即可．
21.【解析】【分析】〔1〕根据参考公式，求得相关系数r，并判断与1的接近程度；求出   即可得线性回归方程；
〔2〕 求出甲通过的考试科目的门数   ，那么  ， 设乙通过的考试科目的门数为Y， 那么  可能的取值为0，1，2，3， 分别求出Y取值的概率，利用相互独立事件概率乘法公式求出 ， 现由该考生更希望通过乙大学的笔试，能求出m的范围．
22.【解析】【分析】 〔1〕求出原函数的导函数，得到f′〔1〕，由f′〔1〕=1求得m值；
〔2〕求出函数g〔x〕的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；
〔3〕 由〔2〕知  ，  ， 由   成立得出  成立， 令  ， 求导，分  ，   ， ，根据函数的单调性求出t的范围即可．