2020-2021学年河北省保定市高一（下）7月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省保定市高一（下）7月月考数学试卷人教A版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知z−1=41+i，则|z|=（ ）
A.13B.13C.10D.213

2. 设平面向量a→=x,2， b→=2,1，若a→⊥b→，则x=（ ）
A.1B.2C.−1D.3

3. 小明和小红5次考试数学成绩统计如下：
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（ ）
A.110B.108C.22D.4

4. 炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.121,120B.121,121C.17,16D.17,17

5. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段BC1的中点，则直线DP与B1C1的夹角的余弦值为（ ）

A.36B.34C.−66D.66

6. 如图所示，平行四边形ABCD中，BE→=2EC→，点F为线段AE的中点，则AC→=（ ）

A.34AE→+12BF→B.34AE→+BF→
C.54AE→+12BF→D.54AE→+BF→

7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊（亡：丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖：书童）追之．杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧路：岔路口）．”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”．曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也．”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ）
A.732B.716C.764D.316

8. 用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′C′=32，A′B′=1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（ ）

A.53πB.2πC.3πD.103π
二、多选题

以下四种说法正确的是（ ）
A.i3−2i=i
B.复数z=3−2i的虚部为−2i
C.若z=1+i2，则复平面内z¯对应的点位于第二象限
D.复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数

以下结论不正确的是（ ）
A.对立事件一定互斥
B.事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率
C.事件A与事件B互斥，则有PA=1−PB
D.事件A，B满足PA+PB=1，则A，B是对立事件

已知直线a，b与平面α，β，则下列说法不正确的是（ ）
A.若α∩β=a，b⊥a，b⊂β，则α⊥β
B.若a//α，b//β，a//b，则α//β
C.若a⊂α，a//β， α∩β=b，则a//b
D.若a，b为异面直线，a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，则α//β

三棱锥P−ABC中，已知PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（ ）
A.若|OA→|=|OB→|=|OC→|，则O为△ABC的重心
B.若PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PA→⋅PC→，则O为△ABC的垂心
C.若PA=PB=PC，则O为△ABC的外心
D.若PA⊥PB， PB⊥PC， PC⊥PA，则O为△ABC的内心
三、填空题

甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14,15，获得二等奖的概率分别为12，35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为________.

已知向量a→=λ,1，b→=−3,5，且a→与b→的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.

一艘货船从A处出发，沿北偏西50∘的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10∘，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55∘，那么B，C两点间的距离是________海里．

已知三棱锥S−ABC， SA⊥平面ABC，AB=SA=2,∠ACB=60∘，则该三棱锥外接球的半径为________；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为________.
四、解答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−ccsB=bcsC．
(1)求B；

(2)若b=22，△ABC的面积为334，求a+c．

工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平．某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20,40)， [40,60) [60,80),[80,100]．

(1)估计本单位员工话费的第90百分位数；

(2)若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；

(3)估计本单位员工通讯费用的众数和平均数．

已知a→=12,32， |b→|=1，且a→,b→的夹角为π3．
(1)求|2a→+b→|；

(2)若a→+kb→ // ka→+b→，求实数k的值．

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E是PB中点．

(1)求证：PD//平面EAC；

(2)若PA=AD=2,AB=2，求三棱锥P−ACD的表面积．

新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的．
(1)求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；

(2)求当选的3名同学中至多有2名男生的概率．

如图，梯形ABCD中，AB//CD，过A做AE⊥CD于E，沿AE把ADE折起，设点D折起后的位置为P，且PC=PE=22，AB=AE=12CE=2．

(1)求证：平面PAE⊥平面PBC；

(2)在棱PC上是否存在一点F，使直线BF//平面PAE？并说明理由；

(3)求直线PB与平面PAE所成的角．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省保定市高一（下）7月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
先化简复数，再利用复数的模的运算求解即可.
【解答】
解：由题意可得z=1+4(1−i)(1+i)(1−i)=3−2i，
∴ |z|=32+22=13.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
两向量垂直，两向量的数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：平面向量a→=x,2， b→=2,1，
若a→⊥b→，
则2x+2=0，
解得：x=−1.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
先根据方差是表示数据波动性大小的量，判断甲的方差小，再计算甲的方差．
【解答】
解：根据题意，得甲同学的5次成绩分布在107∼113间，数据较集中些，方差小些；
同学的5次成绩分布在99∼112间，数据较分散些，方差大些；
∵ 甲同学5次成绩的平均数是
x¯=15107+111+110+109+113=110，
∴ 甲同学方差为
S2=15[(107−110)2+(111−110)2+
(110−110)2+(109−110)2+(113−110)]2=4.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
等可能事件的概率
简单随机抽样
【解析】
在抽样过程中，个体A每次被抽中的概率是相等的，结合已知的样品总量，可得答案.
【解答】
解：在抽样过程中，个体A每一次被抽中的概率是相等的，
∵总体容量为21，
∴个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为121.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.
【解答】
解： 过点P作PO // B1C1交CC1于点O，
则点O为中点，且PO⊥面CDD1C1，
则△DPO为直角三角形，
故∠DPO即为所求夹角，
设边长为2，
则DO=22+1=5，PO=1，
则DP=6，
故夹角的余弦值为16=66.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由题意得到AE→=13AB→+23AC→，BF→=−56AB→+13AC→，求解即可.
【解答】
解：∵ AE→=AB→+BE→
=AB→+23(AC→−AB→)
=13AB→+23AC→，
BF→=12(−AB→+BE→)
=−12AB→+13(AC→−AB→)
=−56AB→+13AC→，
∴ AC→=54AE→+12BF→ .
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
当第n次分歧有S=2n条歧路，找到羊的概率为12n，七个人找到羊的概率之和．
【解答】
解：当第n次分歧有S=2n条歧路，找到羊的概率为12n，
当n=5时，每个人找到羊的概率为125，
故派出7个人去找羊，找到羊的概率是7×125=732.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法画直观图
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥，利用圆锥的表面积公式求解即可.
【解答】
解：由直观图可知，△ABC为直角三角形，且∠A=90∘，AB=1，AC=3，
∴ BC=2，
△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥，
∴ 该几何体的表面积为π×12+2π=3π.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
复数的运算
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】
利用复数的运算，概念以及几何意义逐一分析即可.
【解答】
解：A，i3−2i=−i+2i=i，该选项正确；
B，复数z=3−2i的虚部为−2，该选项错误；
C，若z=1+i2=2i，则复平面内z¯对应的点位于虚轴上，该选项错误；
D，复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，该选项正确.
故选AD.
【答案】
B,C,D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
利用对立事件，互斥事件的概念以及对立事件的概率公式求解即可.
【解答】
解：A，对立事件一定互斥，故该选项正确；
B，若B⊂A，则事件A与事件B的和事件的概率等于事件A的概率，故该选项错误；
C，事件A与事件B对立，则有PA=1−PB，故该选项错误；
D，事件A，B满足PA+PB=1，但A，B不一定是对立事件，故该选项错误.
故选BCD.
【答案】
A,B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用线面，面面，线线的位置关系逐一分析即可.
【解答】
解：A，若α∩β=a，b⊥a，b⊂β，则α，β不一定垂直，故该选项错误；
B，若a//α，b//β，a//b，则α//β或相交，故该选项错误；
C，若a⊂α，a//β， α∩β=b，则a//b，该选项正确；
D，若a，b为异面直线，a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，则α//β，该选项正确.
故选AB.
【答案】
B,C
【考点】
棱锥的结构特征
向量在几何中的应用
【解析】

【解答】
解：因为|OA→|=|OB→|=|OC→|，
即点O到△ABC三顶点距离相等，
则点O为△ABC的外心，故A错误；
因为PA→⋅PB→=PB→⋅PC→，
则PO→+OA→PO→+OB→=PO→+OB→PO→+OC→，
化简得OA→⋅OB→=OB→⋅OC→，
即CA→⋅OB→=0，即OB⊥CA，
同理得OA⊥BC，OC⊥AB，
则点O为△ABC的垂心，故B正确；
因为PA=PB=PC，
刻画一个圆锥，则点A,B,C均在圆锥底面圆上，顶点为P，
因为PO⊥平面ABC，
则点O为△ABC的外心，故C正确；
结合B可知点O为△ABC的垂心，但不一定是内心，故D错误.
故选BC.
三、填空题
【答案】
1920.
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
甲乙两人至少有一人获奖的对立事件是两人都没获奖，由此可求出答案.
【解答】
解：甲乙两人至少有1人获奖的对立事件是两人都没获奖，
甲没获奖的概率为1−14−12=14，
乙没获奖的概率为1−15−35=15，
甲、乙两同学是否获奖相互独立，则两人都没获奖的概率为14×15=120，
故甲乙两人至少有1人获奖的概率为1−120=1920.
故答案为：1920.
【答案】
λ<53或λ≠−35
【考点】
向量的共线定理
平面向量数量积
平面向量的夹角
【解析】
a→与b→的夹角为锐角，则两向量数量积大于零，且两向量不共线，据此求解.
【解答】
解：∵ a→与b→的夹角为锐角，
∴ −3λ+5>0且5λ≠−3，
解得：λ<53或λ≠−35.
故答案为：λ<53或λ≠−35.
【答案】
56
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：如图所示：
AB=30×2060=10(海里)，
∠CBA=90∘−50∘+90∘−55∘=75∘，
∴ ∠BCA=180∘−50∘+10∘+75∘=45∘，
∴ ∠BAC=60∘，
在△ABC中，
由正弦定理可得：BC=ABsinBACsinBCA=10×3222=56(海里).
故答案为：56.
【答案】
213,56219
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
点D为△ABC的外接圆圆心，O为外接球球心，
则底面外接圆半径根据正弦定理可知r=12ABsin∠ACB=233，
在Rt△ADO中，
R=OA=AD2+OD2=r2+12SA2=213；
当正方体的棱长等于外接球直径的时候，体积最小，
棱长l=2213，
故体积为l3=56219.
故答案为：213；56219.
四、解答题
【答案】
解：(1)2a−ccsB=bcsC，
由正弦定理，(2sinA−sinC)csB=sinBcsC，
即2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
所以2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB=sinB+C，
所以2sinAcsB=sinA（因为sinA≥0），
所以csB=12，
B∈0,π，B=π2．
(2)S△ABC=12ac⋅sinB=12ac32=334，ac=3，
由余弦定理，csB=a2+c2−b22ac．
即12=a2+c2−b22ac，
a2+c2+2ac=17，
则a+c=17．
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)2a−ccsB=bcsC，
由正弦定理，(2sinA−sinC)csB=sinBcsC，
即2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
所以2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB=sinB+C，
所以2sinAcsB=sinA（因为sinA≥0），
所以csB=12，
B∈0,π，B=π2．
(2)S△ABC=12ac⋅sinB=12ac32=334，ac=3，
由余弦定理，csB=a2+c2−b22ac．
即12=a2+c2−b22ac，
a2+c2+2ac=17，
则a+c=17．
【答案】
解：(1)本单位员工话费在80元以下的频率为：0.1+0.2+0.4=0.7，
本单位员工话费在[180,100]的频率为0.3.
因此，本单位话费的第90百分位数在80,100内，
由80+20×0.9−+403≈93.33．
可以估计本单位员工话费的第90百分位数为2803约为93.33.
(2)0.005:0.010:0.020:0.015=1:2:4:3 ，
采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，其个数分别为1，2，4，3.
(3)本单位员工通讯费用的众数为70，
平均数为：
30×0.005×20+50×0.010×20+
70×0.020×20+90×0.015×20=68.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)本单位员工话费在80元以下的频率为：0.1+0.2+0.4=0.7，
本单位员工话费在[180,100]的频率为0.3.
因此，本单位话费的第90百分位数在80,100内，
由80+20×0.9−+403≈93.33．
可以估计本单位员工话费的第90百分位数为2803约为93.33.
(2)0.005:0.010:0.020:0.015=1:2:4:3 ，
采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，其个数分别为1，2，4，3.
(3)本单位员工通讯费用的众数为70，
平均数为：
30×0.005×20+50×0.010×20+
70×0.020×20+90×0.015×20=68.
【答案】
解：(1)∵ a→=(12,32)，|a→|=1，
∴ 易知a→⋅b→=12，
∴ |2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=7．
(2)a→+kb→ // ka→+b→，
则存在非零实数λ，使a→+kb→=λ(ka→+b→)=λka→+λa→，
由共面定理得kλ=1，λ=k，则k=±1．
【考点】
平面向量数量积的运算
平行向量的性质
【解析】
（1）法一：∵ a→=(12,32)，|a→|=1，
∴ 易知a→⋅b→=12，
∴ |2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=7．
法二：可设b→=(x,y)，|b→|=1，由a→，b→的夹角为π3，
可得b→=(1,0)或b→=(−12,32)，
当b→=(1,0)，|2a→+b→|=7；当b→=(−12,32)时，|2a→+b→|=7．
（2）方法一：(a→+kb→)//ka→+b→，
则存在非零实数λ，使a→+kb→//λ(ka→+b→)=λka→+λa→，
由共面定理得kλ=1λ=k，则k=±1．
方法二：由已知b→=(1,0)或b→=(−12,32)，
当b→=(1,0)，a→+kb→=(12+k,32)，ka→+b→=(k2+1,3k2)，
∴ (12+k)⋅3k2−(k2+1)⋅32=0，
则k=±1，
同理b→=(−12,32)时，k=±1，
综上，k=±1．
【解答】
解：(1)∵ a→=(12,32)，|a→|=1，
∴ 易知a→⋅b→=12，
∴ |2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=7．
(2)a→+kb→ // ka→+b→，
则存在非零实数λ，使a→+kb→=λ(ka→+b→)=λka→+λa→，
由共面定理得kλ=1，λ=k，则k=±1．
【答案】
(1)证明：连结BD交AC于点O，连接EO，
显然，O为BD中点，
又∵ E为PB中点，在△PBD中，
由中位线定理可得：EO//PD，
又∵ PD∉面EAC，EO⊂面EAC．
∴ PD//面EAC．
(2)解：∵ PA⊥底面ABCD，AD、AC⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AD，PA⊥AC，
∴ S△PAD=12×2×2=2，
易知AC=6，S△PAC=12×6×2=6．
∵ 四边形ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，
∴ PA⊥CD，AD⊥CD，AD∩PA=A，
∴ CD⊥面PAD，∴ CD⊥PD，
则△PDC为直角三角形，
在Rt△PCD中，易得PD=22，
∴ S△PCD=12×2×22=2，
∴ S△ACD=12×2×2=2，
∴ S三棱锥P−ACD=S△PAD+S△PAC+S△PCD+S△ACD
=2+6+2+2=4+2+6．
【考点】
直线与平面平行的判定
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
（1）证明：连结BD交AC于点O，连接EO，
显然，O为BD中点，又∵ E为PB中点，在△PBD中，
由中位线定理可得：EO//PD，又∵ PD∉面EAC、EO⊂面EAC．
∴ PD//面EAC．
（2）∵ PA⊥底面ABCD，AD、AC⊂平面ABCD，∴ PA⊥AD，PA⊥AC，
∴ S△PAD=12×2×2=2，
易知AC=6，S△PAC=12×6×2=6．
∵ 四边形ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，
∴ PA⊥CD，AD⊥CD，AD∩PA=A，
∴ CD⊥面PAD，∴ CD⊥PD，
则△PDC为直角三角形，
在Rt△PCD中，易得PD=22，
∴ S△PCD=12×2×22=2，
∴ S△ACD=12×2×2=2，
∴ S三棱锥P−ACD=S△PAD+S△PAC+S△PCD+S△ACD=2+6+2+2=4+2+6．
【解答】
(1)证明：连结BD交AC于点O，连接EO，
显然，O为BD中点，
又∵ E为PB中点，在△PBD中，
由中位线定理可得：EO//PD，
又∵ PD∉面EAC，EO⊂面EAC．
∴ PD//面EAC．
(2)解：∵ PA⊥底面ABCD，AD、AC⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AD，PA⊥AC，
∴ S△PAD=12×2×2=2，
易知AC=6，S△PAC=12×6×2=6．
∵ 四边形ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，
∴ PA⊥CD，AD⊥CD，AD∩PA=A，
∴ CD⊥面PAD，∴ CD⊥PD，
则△PDC为直角三角形，
在Rt△PCD中，易得PD=22，
∴ S△PCD=12×2×22=2，
∴ S△ACD=12×2×2=2，
∴ S三棱锥P−ACD=S△PAD+S△PAC+S△PCD+S△ACD
=2+6+2+2=4+2+6．
【答案】
解：(1)将2名女生，3名男生分别用A，B，a，b，c表示，
则从5名疑选人中选3名同学的试验的样本空间为
Ω={(A,B,a)，(A,B,b)，(A,B,c)，(A,a,b)，
(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(a,b,c)}共10种，
设A=“恰好有一女生”，
则A={(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)}，
∴ P(A)=610=35，
(2)设B=“至多有两个男生”，C=“全部都是男生”，事件B，C为对立事件，
∵C={(a,b,c)}，
∴ P(C)=110，
∴ P(B)=1−P(C)=1−110=910．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
对立事件的概率公式及运用
【解析】
将2名女生，3名男生分别用A，B，a，b，c表示，则从5名疑选人中选3名同学的试验的样本空间为Ω={(A,B,a)，(A,B,b)，(A,B,c)，(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(a,b,c)}共10种，
（1）设A=“恰好有一女生”，
则A={(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)}，
∴ P(A)=610=35，
（2）方法一：设B=“至多有两个男生”，
则B={(A,B,a)，(A,B,b)，(A,B,c)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)}
∴ P(B)=910．
方法二：设B=“至多有两个男生”，C=“全部都是男生”，事件B，C为对立事件，
因为C={(a,b,c)}，∴ P(C)=110，
∴ P(B)=1−P(C)=1−110=910
【解答】
解：(1)将2名女生，3名男生分别用A，B，a，b，c表示，
则从5名疑选人中选3名同学的试验的样本空间为
Ω={(A,B,a)，(A,B,b)，(A,B,c)，(A,a,b)，
(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(a,b,c)}共10种，
设A=“恰好有一女生”，
则A={(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)}，
∴ P(A)=610=35，
(2)设B=“至多有两个男生”，C=“全部都是男生”，事件B，C为对立事件，
∵C={(a,b,c)}，
∴ P(C)=110，
∴ P(B)=1−P(C)=1−110=910．
【答案】
(1)证明：连接AC，
∵ PE=PC=22，CE=4，
∴ PE2+PC2=CE2，
∴ PC⊥PE，
在Rt△AEP中，PA=8+4=23，
在Rt△AEC中，AC=16+4=20=25，
∵ PA2+PC2=AC2，
∴ PC⊥PA，
∵ PA∩PE=P，
∴ PC⊥平面PAE，
∵ PC⊂面PBC，
∴ 平面PAE⊥平面PBC．
(2)解：存在，F为PC中点时，直线BF//面PAE．
证明：取PE中点O，PC的中点F，
连接OF，AO，BF．
∵ O，F分别为PE，PC中点，
∴ OF//CE，且OF=12CE，
∵ AB//CE，且AB=12CE，
∴ AB//OF，AB=OF，
∴ 四边形ABFO为平行四边形，
∴ BF//AO，
∴ AO⊂面PAE，BF⊄面PAE，
∴ BF//面PAE，
∴ 当F为PC中点时，直线BF//面PAE．
(3)取CE的中点H，连接BH、PH，作HG⊥PE，垂足为G，
在四边形ABHE中，AB=AE，AB//EH，且AB=EH，AE⊥CE．
∴ 四边形ABHE为正方形，
∴ BH//AE．
∴ BN//面PAE．
点B到面PAE的距离即为点H到面PAE的距离．
∵ AE⊥CE，AE⊥PE，PE∩CE=E，
∴ AE⊥面PCE，
∴ AE⊥HG，BH⊥面PCE，BH⊥PH，
Rt△PBH中，PH=2，BH=2，PB=22；
在Rt△PEC中，HG=12PC=2，
∵ HG⊥PE，HG⊥AE，PE∩CE=E，
∴ HG⊥面PAE，
∴ H到面PAE的距离：HG=2，即点B到面PAE的距离d=2，
直线PB与面PAE所成的角的正法值：sinθ=dPB=222=12，
∴ 直线PB与面PAE所成的角为30​∘．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
【解析】
（1）证明：连接AC，
∵ PE=PC=22，CE=4，
∴ PE2+PC2=CE2，∴ PC⊥PE，
在Rt△AEP中，PA=8+4=23，
在Rt△AEC中，AC=16+4=20=25，
∵ PA2+PC2=AC2，∴ PC⊥PA，
∵ PA∩PE=P，∴ PC⊥平面PAE，
∵ PC⊂面PBC，∴ 平面PAE⊥平面PBC．
（2）存在，F为PC中点时，直线BF//面PAE．
证明：取PE中点O，PC的中点F，
连接OF，AO，BF．
∵ O，F分别为PE，PC中点，∴ PF//CE，且OF=12CE，
∵ AB//CE，且AB=12CE，∴ AB//OF，AB=OF，
∴ 四边形ABFO为平行四边形，
∴ BF//AO，
∴ AO⊂面PAE，BF∉面PAE，
∴ BF//面PAE，∴ 当F为PC中点时，直线BF//面PAE．
（3）法一：取CE的中点H，连接BH、PH，做HG⊥PE，垂足为G，
在四边形ABHE中，AB＝AE、AB//EH、且AB＝EH、AE⊥CE．
∴ 四边形ABHE为正方形，∴ BH//AE．
∴ BN//面PAE．
点B到面PAE的距离即为点H到面PAE的距离．
∵ AE⊥CE，AE⊥PE，PE∩CE=E，∴ AE⊥面PCE．
∴ AE⊥HG、BH⊥平面PCE、BH⊥PH，Rt△PBH中，PH=2、BH=2、PB=22；
在Rt△PEC中，HG=12PC=2，∵ HG⊥PE，HG⊥AE，PE∩CE=E，∴ HG⊥面PAE，
∴ H到面PAE的距离：HG＝2，即点B到面PAE的距离d=2，
直线PB与面PAE所成的角的正法值：sinθ=dPB=222=12．
∴ 直线PB与面PAE所成的角为30​∘．
法二：由（1）可知，PC=22，PC⊥面PAE．
∴ 直线PB与面PAE所成角的余角为∠BPC，
取EC的中点H，BH//AE，由（1）可得，AE⊥PC，AE⊥面PCE，BH⊥面PCE，
∴ 在Rt△PHB中，PH=BH=2，∴ PB=22，
在Rt△BHC中，BC=22，则△PBC是等边三角形，
∴ ∠BPC=60​∘．
∴ 直线PB与面PAE所成的角为30​∘．
【解答】
(1)证明：连接AC，
∵ PE=PC=22，CE=4，
∴ PE2+PC2=CE2，
∴ PC⊥PE，
在Rt△AEP中，PA=8+4=23，
在Rt△AEC中，AC=16+4=20=25，
∵ PA2+PC2=AC2，
∴ PC⊥PA，
∵ PA∩PE=P，
∴ PC⊥平面PAE，
∵ PC⊂面PBC，
∴ 平面PAE⊥平面PBC．
(2)解：存在，F为PC中点时，直线BF//面PAE．
证明：取PE中点O，PC的中点F，
连接OF，AO，BF．
∵ O，F分别为PE，PC中点，
∴ OF//CE，且OF=12CE，
∵ AB//CE，且AB=12CE，
∴ AB//OF，AB=OF，
∴ 四边形ABFO为平行四边形，
∴ BF//AO，
∴ AO⊂面PAE，BF⊄面PAE，
∴ BF//面PAE，
∴ 当F为PC中点时，直线BF//面PAE．
(3)取CE的中点H，连接BH、PH，作HG⊥PE，垂足为G，
在四边形ABHE中，AB=AE，AB//EH，且AB=EH，AE⊥CE．
∴ 四边形ABHE为正方形，
∴ BH//AE．
∴ BN//面PAE．
点B到面PAE的距离即为点H到面PAE的距离．
∵ AE⊥CE，AE⊥PE，PE∩CE=E，
∴ AE⊥面PCE，
∴ AE⊥HG，BH⊥面PCE，BH⊥PH，
Rt△PBH中，PH=2，BH=2，PB=22；
在Rt△PEC中，HG=12PC=2，
∵ HG⊥PE，HG⊥AE，PE∩CE=E，
∴ HG⊥面PAE，
∴ H到面PAE的距离：HG=2，即点B到面PAE的距离d=2，
直线PB与面PAE所成的角的正法值：sinθ=dPB=222=12，
∴ 直线PB与面PAE所成的角为30​∘．姓名
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
小明
107
111
110
109
113
小红
99
110
111
108
112