2021届陕西省高三下学期理数教学质量检测测评试卷（三）及答案

这是一份2021届陕西省高三下学期理数教学质量检测测评试卷（三）及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数教学质量检测测评试卷〔三〕
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.复数 满足 ，那么 〔    〕
A. 5                                         B.                                          C.                                          D. 2
3. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
4.二项式 的展开式中 的系数为〔    〕
A. -15                                         B. -3                                         C. 3                                         D. 15
5.函数 的图象大致是〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
6.曲线 的一条切线的斜率为1，那么该切线的方程为(    )
A.                              B.                              C.                              D. 
7.某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，假设他俩所选科目都有物理．其余2科均不同，那么甲不选历史，且乙不选化学的概率是〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.如下列图的程序输出的结果为 ，那么判断框中应填〔    〕

A.                                B.                                C.                                D. 
9.数列 的前 项和 满足 ，且 ，那么 〔    〕
A. 100                                      B. 110                                      C. 120                                      D. 130
10.筒车是我们古代创造的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在?农政全书?中用图画描绘了筒车的工作原理，如下列图，筒车的半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，筒车沿逆时针方向以角速度 转动，规定：盛水筒 对应的点 从水中浮现〔即 时的位置〕时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为 轴建立平面直角坐标系 ，设盛水筒 从点 运动到点 时经过的时间为 〔单位： 〕，且此时点 距离水面的高度为 〔单位：米〕，筒车经过 第一次到达最高点，那么以下表达正确的选项是〔    〕
 
A. 当 时，点 与点 重合                      B. 当 时， 一直在增大
C. 当 时，盛水筒有 次经过水平面       D. 当 时，点 在最低点
11.点 、 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，且 ，那么该椭圆的离心率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
12.函数 是定义在 上的单调递增函数， ，当 时， 恒成立，那么 的取值范围是〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
二、填空题
13.向量 ， ，那么 ________.
14.等比数列 的公比 ，前 项积为 ，假设 ，那么 ________．
15. ， 分别是双曲线 ： 〔 ， 〕的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的右支交于第一象限内的一点 ，假设 为 的重心，那么该双曲线的离心率为________.
16.如图圆锥内的球 与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为 ，那么圆锥侧面积的最小值为________．

三、解答题
17.等腰 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， 是 的中点．
〔1〕假设 ， ， ，求 的面积 ；
〔2〕假设 的面积 等于 ，求 的最小值．
18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， ．

〔1〕证明；平面 平面 ；
〔2〕假设 ，点 在 上，且 ，求二面角 的大小．
19.抛物线 〔 〕的焦点为 ，点 是抛物线内一点，假设该抛物线上存在点 ，使得 有最小值3.
〔Ⅰ〕求抛物线 的方程；
〔Ⅱ〕设直线 ，点 是 与 轴的交点，过点 作与 平行的直线 ，过点 的动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点 ， ，证明： .
20.甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华〞竞答游戏，活动的规那么为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的 ， ， 三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，那么按逆时针选择乙，如果是偶数，那么按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为 ， ， 且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数到达 场，游戏结束，该选手为晋级选手．

〔1〕求比赛进行了3场且甲晋级的概率；
〔2〕当比赛进行了 场后结束，记甲获胜的场数为 ，求 的分布列与数学期望．
21.函数 ， ．
〔1〕假设 在定义域内是减函数，求 的最小值；
〔2〕假设 有两个极值点分别是 ， ，证明： ．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 〔 为参数〕，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
〔Ⅰ〕曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕点 ，假设 和 的交点为 ， ，求 .
23.函数 .
〔Ⅰ〕当 时，求函数 的最小值 ；
〔Ⅱ〕当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，即 ，得 ，集合 ，
由 得 ，即 ，集合 ，
由数轴表示可得， 。

故答案为：D．

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用绝对值不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集的运算法那么求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】 ，那么 ，
所以， ，因此， 。
故答案为：D．

【分析】利用复数的混合运算法那么和虚数单位的运算法那么，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
3.【解析】【解答】根据换底公式 ， ，因为 ，
所以 ，故 ，
又因为 ，
所以 。
故答案为：B.

【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性，所以 ，再结合指数函数的单调性，进而比较出a,b,c三者的大小。
4.【解析】【解答】由题意知，二项展开式中第r+1项的通项公式 ， ， ， ， ， ， ，令 得 ，
所以 的系数为 。
故答案为：A。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式 的展开式中 的系数。
5.【解析】【解答】由题知 的定义域为 ．
因为 ，
所以 是偶函数，函数图象关于 轴对称，排除B；
又 ，故排除C，D.
故答案为：A ．

【分析】利用偶函数的定义判断函数为偶函数，再利用偶函数的图像的对称性和特殊点法，从而结合排除法选出正确选项。
6.【解析】【解答】由题得 ，设切点为 ，
那么 ，而 ，那么 ，
令 ，那么 ，
0 ，f(x)在 上单调递增，那么 ，
所以方程 只有一个实根 ，代入原函数得 ，
故切点为 切线斜率为 ，所以切线方程为 。
故答案为：C.

【分析】设切点为 ，利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用曲线 的一条切线的斜率为1 ，进而求出切点的横坐标，再利用代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出切线的方程。
7.【解析】【解答】从6科中任选 科共 种不同的方案，两人分别从6科中任选3科，共有 种不同的方案．
因为他们都选了物理，其余2科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：
第 类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治 门中选 门，有 种方法，乙从剩余3门中选2门，有 种方法，所以一共有9种选法；
第2类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理3门中选2门，有 种方法，乙只能选剩下的2门，有1种方法，此时一共有3种选法．
综上所知，满足要求的选法共有12种，所以所求事件的概率 。
故答案为：B ．

【分析】利用条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理和古典概型求概率公式，进而求出 甲不选历史，且乙不选化学的概率 。
8.【解析】【解答】解：输入 ， ，那么第1次循环 ， ，继续循环；
第2次循环 ， ，继续循环；
第3次循环 ， ，继续循环，
…….由此推出第 次循环 .
令 ，解得 ，此时 ，满足条件，退出循环，所以判断框中应填“ 〞。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，从而填写出判断框。
9.【解析】【解答】对于 ：
当 时， ，解得 ；
①．又当 时， ②，所以① ②得 ③，当 时， ④，
所以④ ③得 ，
可得 ，所以数列 为等差数列，设其公差为 ，因为 ，解得 ．又 ，且易得 ， ，所以 ，故 。
故答案为：C ．

【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，再结合等差数列的定义推出数列 为等差数列，设其公差为 ，再利用等差数列的前n项和公式结合条件，进而求出公差，再利用 结合n=1求出等差数列的首项，再结合等差数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前10项的和。
10.【解析】【解答】设 ，依题意 ．又 ，所以 ．又 ，圆 的半径为 ，所以 点满足 ，当 时， ，解得 ，所以 ，故 ．该函数最小正周期为 ，所以当 时，点 与点 重合，A不符合题意；
令 ，解得 ，当 时， ，又因为 ，所以B不符合题意；
令 ，即 ，所以 或 ，解得 或 ．又 ，所以 可以取的值为 ， ， ， ， ，此时盛水筒有 次经过水平面，C符合题意；
当 时， ，所以D不符合题意，
故答案为：C ．

【分析】利用条件结合正弦型函数的最小正周期公式，得出当 时，点 与点 重合，A不符合题意；利用正弦型函数的图象判断出函数的单调性，解得 ，当 时， ，又因为 ，所以B不符合题意；令 ，解得 或 ，又因为 ，所以 可以取的值为 ， ， ， ， ，此时盛水筒有 次经过水平面，C符合题意；利用代入法结合诱导公式和函数解析式， 所以D不符合题意，进而选出表达正确的选项。
11.【解析】【解答】如图，连接 、 ， 是 的内心，可得 、 分别是 和 的角平分线，

由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，
那么 为 的角平分线，那么 到直线 、 的距离相等，
所以， ，同理可得 ， ，
由比例关系性质可知 ．
又因为 ，所以椭圆的离心率 。
故答案为：A．

【分析】连接 、 ， 是 的内心，可得 、 分别是 和 的角平分线，
由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，那么 为 的角平分线，那么 到直线 、 的距离相等，再利用三角形的面积公式得出 ，同理可得 ， ，由比例关系性质结合椭圆的定义得出可知 ，又因为 ，再结合向量共线定理，进而结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率。
12.【解析】【解答】令 ，那么 ，所以 在 上递增，
因为函数 是定义在 上的单调递增函数，
所以 ，
解得 ．
又当 时， 恒成立，
即 ，即 ，
当 时， ，显然成立；
当 时，化简可得 ．
令 ，那么 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得最小值0，所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 ,
综上可知， 。
故答案为：C ．

【分析】令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，得出函数 在 上递增，因为函数 是定义在 上的单调递增函数，再结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图像判断出函数的单调性，进而求出实数a的取值范围，当 时， 恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法和分类讨论的方法，令 ，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，进而求出函数h(x)的最小值，从而求出实数a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，进而求出向量的模。
14.【解析】【解答】因为 ，
解得 ，
由等比数列的通项公式得 ，
所以 。
故答案为：1。

【分析】利用条件结合等比数列的性质，进而求出的值，由等比数列的通项公式得出等比数列的第五项的值，再结合等比数列的性质，进而求出等比数列前9项的积。
15.【解析】【解答】设 ， ， ，那么由重心坐标公式可得 解得
∴点 的坐标为 ，
∵点 在曲线 上，
∴ ，∴ ，
∵ 〔 〕，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 或 〔舍〕，
∴ 。
故答案为： 。

【分析】设 ， ， ，那么由重心坐标公式可得  ， 所以点 的坐标为 ，因为点 在曲线 上结合代入法和椭圆的标准方程，得出 ， 再利用双曲线的离心率公式，所以， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而解一元二次方程求出该双曲线的离心率。
16.【解析】【解答】设圆锥的底面圆半径为 ， ，
设球与侧面相切于点 ，在 中， ，
因为 ，那么 ，
即 ，所以 ，
在 中， ，
故圆锥的侧面积
，
令 ， ，那么 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号，所以圆锥侧面积 的最小值为 。
【一题多解】
解法一：设 ，在 中，
， ．
因为 ，
那么 ，即 ，
所以 ， ，
于是圆锥的侧面积
，
令 ，那么 ，那么 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以圆锥侧面积 的最小值为 ．
解法二：设 ， ．
，且 ，

即 ，
， ，
圆锥的侧面积 当且仅当 时等号成立，故圆锥侧面积 的最小值为 。

故答案为： 。

【分析】设圆锥的底面圆半径为 ， ，设球与侧面相切于点 ，在 中， 利用勾股定理求出SC的值，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，在 中，利用勾股定理求出SA的值，再结合圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积 ， 令 ， ，那么 ，故 ， 再利用均值不等式求最值的方法，进而求出圆锥侧面积 的最小值。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 在 中， ，再由 ，
结合同角三角函数根本关系式，进而求出 ， ， 再利用角之间的关系式结合两角差的正弦公式，进而求出角A的正弦值， 因为 ， 再结合三角形的面积公式，进而求出三角形 的面积 的值。
〔2〕利用条件结合三角形的面积公式，得出，所以 ， 在 中，由余弦定理结合辅助角公式得出 ，其中 ，又因为 ， 从而求出BD的取值范围，进而求出BD的最小值。
18.【解析】【分析】(1) 因为 ， ，所以 ，在 中，由余弦定理得出AB的长，再利用勾股定理证出线线垂直，即证出 ， 再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面 平面 。
〔2〕 由〔1〕可知 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，故以A为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示结合条件和向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，进而求出二面角 的大小 。
 
19.【解析】【分析】〔1〕 过点 作抛物线 准线的垂线，垂足为点 ，根据抛物线定义得 ，
于是 ，当 ， ， 三点共线时，进而求出 的最小值，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程。
〔2〕因为直线 ，再结合点 是 与 轴的交点， 令 ，得 ，所以点 ，因为直线 平行于直线 且过点 ，再结合两直线平行斜率相等和代入法，从而结合点斜式方程求出与 平行的直线 的方程， 再利用过点 的动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，联立直线与抛物线的方程，结合判别式法和韦达定理，再利用直线的斜截式方程求出直线PB的方程，再利用直线 ， 分别交直线 于点 ， ， 分别联立两直线的方程求出交点的横坐标，进而求出交点横坐标之和，即，因为 ，所以 ，再利用中点坐标公式，进而得出是 的中点，从而证出。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出 比赛进行了3场且甲晋级的概率。
〔2〕利用条件求出随机变量X可能的取值， 由〔1〕知 ， 再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
 
21.【解析】【分析】利用条件结合求导的方法判度函数的单调性，再结合函数 在定义域内是减函数，所以 在 上恒成立，所以 ， 令 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围，从而求出实数a的最小值。
〔2〕 由〔1〕知：假设 有两个极值点，那么 ，令 ，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，不妨设 ，那么 ；令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 上单调递增， 再利用函数的单调性得出，又因为 ，所以 ，因为，所以 ，又因为 ， 函数在 上单调递增，从而证出 。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程。
〔2〕利用条件结合直线l与曲线C相交，联立二者方程求出交点M,N的坐标，再利用两点距离公式，进而求出 的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再结合绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的图像求出分段函数的最小值。
〔2〕当 时， ，由 ，得 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合x的取值范围和同号为正、异号为负，进而求出a的取值范围。