2021届重庆市高三下学期数学二模试卷及答案

这是一份2021届重庆市高三下学期数学二模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么〔    〕
A.                B.                C.                D. 
z满足 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.命题 ， ，那么命题P的否认为〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
4.公差不为0的等差数列 中， ， ，那么 〔    〕
A.                                           B. 5                                          C. 10                                          D. 40
5.函数 在 上单调递增，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
6.一组数据1，2，a ， b ， 5，8的平均数和中位数均为4，其中 ，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的〔    〕
A. 平均数不变                        B. 中位数不变                        C. 众数不变                        D. 标准差不变
a ， b ， c成等差数列，那么点 到直线 的最大距离是〔    〕
A.                                          B. 1                                         C.                                          D. 2
8.双曲线 的左焦点为F ， 直线 与双曲线C交于A ， B两点〔其中点A位于第一象限〕， ，且 的面积为 ，那么直线 的斜率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、多项选择题
9.函数 ，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 函数 的最小正周期为                               B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 的图象关于点 对称              D. 函数 在 上单调递增
10.函数 〔k为常数〕的图象可能是〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 中， ， ，C是边 的中点，Q为 所在平面内一点，假设 是边长为2的等边三角形，那么 的值可能是〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
12.函数 ，那么〔    〕
A. 存在a使得 恰有三个单调区间                    B. 有最小值
C. 存在a使得 有小于0的极值点                      D. 当 且 时，
三、填空题
13.假设平面向量 ， ，那么 的最小值为________．
14.某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号．对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为________．
15.多项式 ，假设 ，那么正整数n的值为________．
O的半径为 ，以球心O为中心的正四面体 的各条棱均在球O的外部，假设球O的球面被 的四个面截得的曲线的长度之和为 ，那么正四面体 的体积为________．
四、解答题
17.在 中，角A ， B ， C对应的边分别为a ， b ， c ， 假设 ，且__________．
〔1〕求a的值；
〔2〕假设 ，求 周长的最大值．
从① ；② ；③ 这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.数列 的前n项和为 ，且6， ， 成等差数列．
〔1〕求 ；
〔2〕是否存在 ，使得 对任意 成立？假设存在，求m的所有取值；否那么，请说明理由．
19.如图，三棱柱 中， ， ， 平面 .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
20.到2021年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为稳固脱贫成果，将继续实行“四个不摘〞，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．该经济农作物每年每亩的种植本钱为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该经济农作物市场价格〔元 〕
10
15
该经济农作物每年亩产量
400
600
概率


概率


〔1〕设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；
〔2〕当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率．
〔注：纯收入=种植收入-种植本钱〕
21.椭圆 的右焦点F恰为抛物线 的焦点， 是椭圆C与抛物线E的一个公共点．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A、B两点，线段 的中垂线分别交x、y轴于M、N两点，求 的取值范围．
22.函数 ．
〔1〕假设 在 上单调递增，求a的取值范围；
〔2〕假设 存在两个极值点 ，且 ，求a的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 ，A不符合题意；
或 ，B不符合题意；
或 ， 或 ，C不符合题意；
，D符合题意．
故答案为：D．

【分析】利用条件结合交集的运算法那么、并集的运算法那么、补集的运算法那么、集合间的包含关系，进而找出正确的选项。
2.【解析】【解答】由题意 ，所以 。
故答案为：B．

【分析】利用复数的模求解公式结合复数乘除法运算法那么，进而求出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而iuc复数z的共轭复数。
3.【解析】【解答】命题 ， 的否认是 。
故答案为：D．

【分析】利用特称命题与全称命题互为否认的关系，进而写出命题p的否认。
4.【解析】【解答】设数列公差为 ，那么由得 ，由于 ，故解得 ，
所以 。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列第十项的值。
5.【解析】【解答】解：因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 。
故答案为：C

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断出分段函数的单调性，再结合分段函数在 上单调递增，进入求出实数a的取值范围。
6.【解析】【解答】由平均数为4知， ，由中位数为4，那么 或 ，去掉最大数8后，根据平均数与标准差的意义，知平均数和标准差均变小，中位数可能是4，也可能是3，当 时，众数与原来一致，都为4，当 时，众数也与原来一致，都为5。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合平均数和中位数、众数、标准差的公式，进而找出正确的选项。
7.【解析】【解答】由得 ，点P到直线的距离 ，
由均值不等式知 ，当且仅当 时取等号，故 ，最大值为 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合等差中项公式，进而推出， 再利用点到直线的距离公式求出 点 到直线 的距离，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出点P到直线的距离的最大值。
8.【解析】【解答】设双曲线右焦点为 ，连接 ，由图形的对称性知 为矩形，那么有 ， ，

∴ ，在 中， ，
故答案为：A．

【分析】设双曲线右焦点为 ，连接 ，由图形的对称性知 为矩形，再利用双曲线的定义，那么有 ， ，再解方程组求出，在 中，利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而求出直线AF的斜率。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：对于A， 的最小正周期为 ，所以A符合题意；
对于B，因为 ，所以直线 为 的一条对称轴，所以B符合题意；
对于C，因为 ，所以点 不是 的图象的对称轴，所以C不符合题意；
对于D，由 ，得 ，所以 在 上不是单调递增，所以D不符合题意。
故答案为：AB

【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数在给定区间的单调性，从而找出说法正确的选项。
10.【解析】【解答】显然 有唯一零点 ，D不符合题意；
， ，
∴ 在 上单减， 上单增，
∴ ，且 时 ， 时 ，
故当 时， ， 单增，A可能；
当 时， 存在两个零点 ， 在 和 上单增， 上单减，B可能；
当 时， 存在唯一零点 ， 在 上单增，在 上单减，
C可能．
故答案为： ABC.

【分析】利用函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，再结合分类讨论的方法，进而利用排除法找出函数可能的图象。
11.【解析】【解答】如下列图，假设Q与B位于 同侧，那么


；
假设Q与B位于 异侧，同理可得 。
故答案为：BD．

【分析】利用分类讨论的方法结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而求出 的值。
12.【解析】【解答】 ， ，
当 时， ， 单增，
又 ， ，∴ 在 内存在唯一零点，记为 ，那么 在 上单减，在 上单增， 既是极小值又是最小值；
当 时， 在 和 上单增，在 上单减， ， ，
假设 ，那么 ， 在 上有两个零点，记为 ，在 上有一个零点，记为 ，那么 在 和 上单减，在 和 上单增， 为小于0的极小值点， 和 中的较小者即为 的最小值；
假设 ，那么 ， 只在 上存在唯一零点，记为 ， 在 上单减，在 上单增， 为最小值；B、C符合题意，A不符合题意；
对于D，当 时， ，
，
取 ，那么有 ，D不符合题意．
故答案为：BC

【分析】利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而推出不存在a使得 恰有三个单调区间，再利用函数的单调性求出存在a使得 有小于0的极值点，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用比较法求出函数的最小值，当 时， ，取 ，那么有 ，从而选出正确选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】 以O为圆心、3为半径的圆上任一点与点 间的距离，
所以最小值为 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合向量的模求解公式，再结合向量的模的几何意义，得出 以O为圆心、3为半径的圆上任一点与点 间的距离，再利用几何法求出 的最小值 。
14.【解析】【解答】丙基站能接收到信号有两种可能，甲直接发送给它，概率为 ，或甲发送给乙，乙再传送给它，概率为 ，故丙能接收到的概率为 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合互斥事件加法求概率公式，进而结合古典概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率。
15.【解析】【解答】令 ，得 ，令 ，得 ，即 ，
，显然 ，∴ ，
又因为 ，
∴ ，即 ，故 。
故答案为：5。

【分析】利用赋值法得 ，再利用赋值法结合等比数列前n项和公式，得出，显然 ，进而求出n的取值范围，， 所以，进而结合指数函数的单调性求出n的取值范围，从而求出满足要求的n的值。
16.【解析】【解答】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为 ，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为 ，设正四面体棱长为a ， 如下列图，那么斜高 ，体高 ，在 和 中， ，

即 ，∴ ，
∴ 。
故答案为： 。

【分析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为 ，半径为1，从而利用勾股定理求出球心O到正四面体各面的距离，设正四面体棱长为a ， 再利用正四面体的结构特征求出斜高和体高，在 和 中，利用两三角形相似对应边成比例，从而求出a的值，再利用正四面体的体积公式，进而求出正四面体 的体积。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1) 假设选①，利用条件结合正弦定理和三角形中角C的取值范围，进而求出a的值； 假设选②， 利用条件结合正弦定理和三角形中角A和角B的取值范围且 ，从而求出a的值； 假设选③， 利用条件结合正弦定理和三角形中角A的取值范围且 ，从而求出a的值。
〔2〕 假设 ，那么由余弦定理得 ，再利用均值不等式求最值的方法，得出 ， 从而结合三角形的周长公式，进而求出三角形 周长的最大值。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等差中项公式，得出 ，再利用的关系式，再结合分类讨论的方法和等比数列的定义，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式，得出 ， 所以 对任意 成立等价于 ， 即 对 成立， 因为 且 时 ， 所以 ， 显然m为偶数， 成立， 当 时 ， 从而求出m的值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用 平面 结合线面垂直的定义，进而推出线线垂直，所以 ，因为，所以四边形 是菱形，再利用菱形的结构特征，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面 ，再利用线面垂直的定义，进而证出线线垂直，从而证出 。
〔2〕 与平面 所成角为 ， ，与平面 所成角为 ，因为平面 结合 ，直线 与平面 所成的角为 ， 所以，令 ，那么 ， ， ，以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件求出随机变量X的分布列，再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列。
〔2〕 纯收入超过12000元，即3亩地种植收入超过15000元，假设价格为10元 ，那么3亩地的总产量超过 ，因为 ，再利用二项分布求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率。
21.【解析】【分析】〔1〕 利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出椭圆的右焦点的坐标，再利用椭圆 的右焦点F恰为抛物线 的焦点结合代入法，进而结合抛物线的定义，进而求出 ，再利用勾股定理求出 的长 ，再结合椭圆的定义求出a的值，再由 结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕因为直线过点F且不与x轴平行， 设直线l的方程为 ，再利用直线l交椭圆C于A、B两点，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， ， 由 知 ， 再利用弦长公式求出 ， 设 中点坐标为 ， 再结合中点坐标公式，进而结合代入法求出AB中点坐标，再利用直线中垂线求解方法，进而设出直线 中垂线方程，再令 得点M的横坐标，再利用两点距离公式结合二次函数图象求值域的方法，进而求出 的取值范围。
22.【解析】【分析】(1)利用求导的方法判断函数的单调性，再利用条件函数 在 上单调递增，进而求出实数a的取值范围。
〔2〕利用函数 存在两个极值点 结合函数极值点的定义，可知 是方程 的两根，又因为 ，故 是 的两根，令 ，由(1)知， 在 和 上单增，在 上单减，从而结合函数h(x)的单调性，进而求出函数的最大值，所以 时，方程 有两根 ，其中 ，假设 ，那么 ， ；假设 ，那么 ，而 ，所以 ，故 ，那么， 进而求出实数a的取值范围。