2021届浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题及答案

 高三下学期4月适应性考试数学试题

一、单项选择题

1.集合 或 ， ，那么 〔    〕           

A.                               B.                               C.                               D. 

i是虚数单位，假设 ，那么 〔    〕           

A.                          B.                          C.                          D. 

x  ， y满足约束条件 ，那么 的最大值是〔    〕           

A.                                            B. 3                                           C.                                            D. 4

4.函数 的图象可能是〔    〕           

A. 
B. 

C. 
D. 

5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔    〕 

A.                                    B.                                    C.                                    D. 

6.设 ，那么“ 〞是“直线 和圆 有公共点〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件 

           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件 

7.无穷数列 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为 ，那么〔    〕           

A. 数列 不可能是等差数列
B. 数列 不可能是等差数列 

C. 数列 不可能是等差数列
D. 数列 不可能是等差数列 

8. ，那么a+b的最小值是〔    〕           

A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 4 

9.椭圆 和点 ，假设存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足 ，那么椭圆C的离心率取值范围是〔    〕           

A.                              B.                              C.                              D. 

a，b  ，  ，假设关于x不等式 的解集为 ，那么〔    〕           

A. 不存在有序数组 ，使得

B. 存在唯一有序数组 ，使得

C. 有且只有两组有序数组 ，使得

D. 存在无穷多组有序数组 ，使得

二、填空题

11.?九章算术?中的“两鼠穿墙题〞是我国数学的古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？〞题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， 为前n天两只老鼠打洞长度之和，那么 ________尺.   

12.如图，在棱长为4的正方体 中，M是棱 上的动点，N是棱 的中点.当平面 与底面 所成的锐二面角最小时， ________. 

13.平面向量 满足： ，那么 的最大值是________.   

14.函数 ，那么 ________；关于x的不等式 的解集是________.   

15.二项展开式 ，那么 ________； ________.(用数字作答)   

16.在锐角 中，内角A，B所对的边分别为a，b  ， 假设 ，那么 ________；边长a的取值范围是________.   

17.袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(假设摸得白球那么涂成黑球，假设摸得黑球那么不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为 ，那么 ________； ________.   

三、解答题

18.已领函数

〔1〕求 的值；   

〔2〕求 在区间 上的最大值和最小值.   

19.如图，在三棱柱 中， . 

〔1〕证明： 平面 ；   

〔2〕设点D为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.   

20.等差数列{an}的公差不为零，a4=1，且a4  ， a5  ， a7成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn  ， 满足Sn=2bn﹣4(n∈N*).   

〔1〕求数列{an}和{bn}的通项公式；   

〔2〕假设数列{cn}满足 ，cn+1=cn﹣ (n∈N*)，求使得 成立的所有n值.   

21.抛物线 和椭圆 如图，经过抛物线 焦点F的直线l分别交抛物线 和椭圆 于A，B，C，D四点，抛物线 在点A，B处的切线交于点P. 

〔1〕求点P的纵坐标；   

〔2〕设M为线段 的中点， 交 于点Q  ，  交 于点T.记 的面积分别为 . 

〔i〕求证：Q为线段 的中点；

〔ii〕假设 ，求直线l的方程.

22.函数 (其中 ，e为自然对数的底数).   

〔1〕求函数 的单调区间；   

〔2〕设函数 的极小值点为m  ， 极大值点为n  ， 证明：当 时， .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由题可知：集合 或 ，

所以

故答案为：C

 
【分析】 进行交集的运算即可.

2.【解析】【解答】由题可知：

所以

故答案为：D

 
【分析】 利用复数的乘法运算进行化简求解即可.

3.【解析】【解答】由约束条件作出可行域如图，

联立 ，解得 ， ，

令 ，得 ，由图可知，当直线 过 时，

直线在 轴上的截距最大， 有最大值为 ．

故答案为：C．

 
【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最大值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。

4.【解析】【解答】由 ，当且仅当 时，取等号

又 ，所以 ，故

所以只有A符合题意

故答案为：A

 
【分析】根据根本不等式以及排除法可得结果。

5.【解析】【解答】如图

所以四棱锥的体积为：

半个圆柱的体积为：

故该几何体的体积为：

故答案为：B

 
【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

6.【解析】【解答】圆 ，圆心 ，半径 ，

假设直线 与圆 有公共点，

那么圆心 到直线的距离 ，解得： ，

⫋ ，所以“ 〞是“直线 和圆 有公共点〞的充分不必要条件.

故答案为：A

 
【分析】根据条件先求m的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件。

7.【解析】【解答】由题可知： ， ，其中

对A， ，所以数列 是公差为 等差数列，A不符合题意

对B， ，当 时， ，

所以数列 可能是等差数列，B不符合题意

对C， ，当 时， ，

所以数列 可能是等差数列，C不符合题意

， 不可能转化为关于 的一次函数形式，

故数列 不可能是等差数列，D符合题意.

故答案为：D

 
【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式，判断各选项即可.

8.【解析】【解答】因为 ，

，

令 ，

那么 ，

因为 ，

所以 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

，

，

，

因为 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

解得 ，

所以 ，那么 ，

所以 ，

所以a+b的最小值是3，

故答案为：B

 
【分析】 由进行三角换元，然后结合辅助角公式进行化简后，结合不等式及正弦函数的性质可求.

9.【解析】【解答】设 是椭圆上的任一点，

，

对称轴为 ，所以 在 上单调递减，

设 ，由题知：只要 即可，

，所以 .

故答案为：C.

 
【分析】 设 是椭圆上的任一点，求出，根据其单调性，将问题转化为 ，其中，得出a，c的关系式，由此即可求解.

10.【解析】【解答】由题意不等式 的解集为 ，

即 的解集是 ，

那么不等式 的解是 或 ，不等式 的解集是 ，

设 ， ， ，

所以 ， ，

和 是方程 的两根，

那么 ， ，

又 ，

所以 是 的一根，

所以存在无数对 ，使得 ．

故答案为：D．

 
【分析】根据x1>0，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论。

二、填空题

11.【解析】【解答】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,

所以大老鼠前 天打洞长度之和为 ,

同理小老鼠前 天打洞长度之和为 ,

所以

所以

故答案为：

 
【分析】 由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列，小老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，以为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求.

12.【解析】【解答】如图

设 ，

设平面 的一个法向量为

令 ， ，那么

平面 的法向量的一个法向量为

设平面 与底面 所成的锐二面角为

所以

当 时， 有最大，那么 有最小，所以

故答案为：

 
【分析】 建立适宜的空间直角坐标系，MA=k求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的关系式，由余弦函数的单调性以及二次函数的性质求解即可.

13.【解析】【解答】由 ，又 ，所以可知

又 ，所以

设 的终点为 ， 的终点为 ，其中

由 ①，设 ，

那么 ，

所以 ， ②

将②代入①并化简可得

令设 ，

所以

当 时，

故答案为：

 
【分析】由 ，又 ，所以可知 ， 设 的终点为 ， 的终点为 ，那么 ， 令设 ，  进而求出  的最大值 。

14.【解析】【解答】由题可知： ，所以

① ，②

所以 的解集是〔16，+∞〕

故答案为：6，〔16，+∞〕

 
【分析】 把x=0直接代入函数解析式即可求解 ， 然后结合分段函数的解析式及二次函数及对数函数的性质可求.

15.【解析】【解答】由题可知： ， ， ，

， ，所以

故答案为：1，255.

 
【分析】 由题意令x=0，可得， 再利用组合数的计算公式求得 的值.

16.【解析】【解答】由题可知： ，所以

所以 ，由正弦定理可知 ,那么 ，

由 为锐角三角形，所以 ，即

所以 ，那么

故答案为：4,

 
【分析】 结合二倍角公式和正弦定理，可推出，从而得  的值；由锐角确定角B的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质，得解.

17.【解析】【解答】 所有可能结果为1，0

，所以

所以

故答案为： ，

 
【分析】得到 的所有值，并计算相应的概率，然后简单计算即可。

三、解答题

18.【解析】【分析】  〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得  ，代入即可得解；
〔2〕由题意可求范围   ，根据正弦函数的图像和性质即可求解.

19.【解析】【分析】〔1〕根据勾股定理逆定理可知  ，然后利用线面垂直的判定定理可知结果；
〔2〕 解法1：通过作辅助线，找到 直线  与平面  所成角 ，然后根据三角函数的知识进行求解即可； 解法2： 利用建系，求得平面 的一个法向量，然后按公式计算即可。

20.【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式结合条件即可得出 =a4a7 ，由此求出d的值，再由数列的通项公式即可得出数列的通项公式；由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列 {bn 为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2) 由cn+1=cn﹣ ，得cn+1﹣cn=﹣ ， 再错位相减法整理即可得到 Tn=﹣ ﹣ ，由此得到 cn=﹣ ﹣Tn= ， 结合条件整理即可得出 (n﹣2)(24﹣n﹣1) 0， 对n赋值即可求出答案。

21.【解析】【分析】  

 〔1〕设点   以及直线l的方程，求出过点A,B的切线方程，进而求出点P的坐标，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解；
〔2〕利用 〔i〕 得到点P,M,Q的坐标，然后根据中点坐标公式即可证明；
 〔ii〕由    得到  然后利用弦长公式求出进而可以求解.

22.【解析】【分析】〔1〕求出 的定义域，对 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
〔2〕由〔1〕可得  ，设 ， 利用导数求出单调递减，从而可得 ,即可得证.