2021届天津市和平区高三下学期数学一模试卷及答案

高三下学期数学一模试卷

一、单项选择题

1.集合 ， ， ，那么 〔    〕           

A. {0}                        B. 

                        C.                         D. 

2.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件 

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 

3.某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： ， ， ， .假设低于60分的人数是90，那么该校高三年级的学生人数是〔    〕 

A. 270                                      B. 300                                      C. 330                                      D. 360 

4.函数 在 的图象大致为〔    〕           

A.        B. 

C.        D. 

5.设 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

6.正方体 的棱长为2，那么三棱锥 的体积为〔    〕           

A.                                            B.                                            C. 4                                           D. 6 

7.抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的方程为〔    〕           

A.                      B. 

                     C.                      D. 

8.设函数 ，给出以下结论： 

① 的最小正周期为 ；② 在区间 内单调递增；③将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.

其中所有正确结论的序号是〔    〕

A. ①②                                    B. ①③                                    C. ②③                                    D. ①②③ 

9. ，设函数 ，假设关于 的方程 恰有两个互异的实数解，那么实数 的取值范围是〔    〕           

A.        B. 

       C.        D. 

二、填空题

10.设i是虚数单位，复数 的虚部等于________．   

11.在 的展开式中， 的系数是________.   

12.直线 与圆 相交于 ， 两点，那么线段 的长度为________.   

13.甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 ，乙同学一次投篮命中的概率为 ，假设两人投篮命中与否互不影响，那么甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是________.   

14. ， ，那么 的最小值为________.   

15.如图，四边形 中， ， ， ， ， ， ， 分别是线段 ， 上的点，且 ，那么 的最大值为________. 

三、解答题

16.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， .   

〔1〕求 的值；   

〔2〕求 ；   

〔3〕求 的值.   

17.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ，侧面 是正方形， 与 交于点 ， ， ， ， . 

〔1〕求证： 平面 ；   

〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值；   

〔3〕假设点 在线段 上，且 ，求二面角 的正弦值.   

18.椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .   

〔1〕求椭圆 的方程；   

〔2〕设经过点 的直线 不与坐标轴垂直，直线 与椭圆 相交于点 ， ，且线段 的中点为 ，经过坐标原点 作射线 与椭圆 交于点 ，假设四边形 为平行四边形，求直线 的方程.   

19.等比数列 的前 项和为 ， 是等差数列， ， ， ， .   

〔1〕求 和 的通项公式；   

〔2〕设 的前 项和为 ， ， . 

①当 是奇数时，求 的最大值；

②求证： .

20.函数 ， .   

〔1〕当 时，直线 与 相切于点 ， 

①求 的极值，并写出直线 的方程；

②假设对任意的 都有 ， ，求 的最大值；

〔2〕假设函数 有且只有两个不同的零点 ， ，求证： .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由 ，又 ， ， 

所以 ，那么 。

故答案为：C

 
【分析】利用绝对值不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集和并集的运算法那么，进而求出集合。

2.【解析】【解答】由 可得 ，即 ，

那么 是 的充分不必要条件，

故答案为：A.

 
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出 是 的充分不必要条件。

3.【解析】【解答】根据频率分布直方图可得低于60分的频率为： ，

故高三年级的总人数为 。

故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而结合频数等于频率乘以样本容量，进而求出高三年级的总人数。

4.【解析】【解答】由于正切函数有意义，故需 ，即可排除A，B；

由于 为奇函数，其图象应关于原点对称，即可排除C，

故答案为：D.

 
【分析】利用正切函数的定义域结合分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法那么求出函数的定义域，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数的图象对称性，进而结合排除法找出函数的大致图象。

5.【解析】【解答】因为 ， ，故 .

因为 ，故 ，

故答案为：C.

 
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合特殊值对应的指数与对数与a,b,c大小关系比较，进而比较出a,b,c的大小。

6.【解析】【解答】如图三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥

又因为 ，

，

所以 。

故答案为：B

 
【分析】因为三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥 再利用正方体的体积公式结合三棱锥的体积公式，再结合等体积法和作差法，进而求出三棱锥 的体积。

7.【解析】【解答】抛物线 的准线方程为 ，故双曲线的一个焦点坐标为 ，

而双曲线的渐近线方程为 ，故 即 ，故 ，

故 ，故双曲线标准方程为： 。

故答案为：D.

 
【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，进而求出焦点的坐标，再结合抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点， 得出双曲线的一个焦点坐标为 ，进而求出c的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法求出双曲线渐近线方程，再结合双曲线的两条渐近线相互垂直，利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出双曲线的标准方程。

8.【解析】【解答】由 ，所以 的最小正周期为 ，故①正确；要求 的单调增区间，即 ，而 故②正确；

将 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，故③错误．

故答案为：A．

 
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数的转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数在给定区间的单调性，再利用正弦型函数的图像变换结合条件得不出函数 的图象 ，进而找出结论正确的选项。

9.【解析】【解答】因为关于 的方程 恰有两个互异的实数解，

故 有两个不同的实数根且 无实根

或 、 各有一个实数根

或 无实根且 有两个实数根.

假设 有两个不同的实数根，

那么 有两个不同的实数根，

因为 为增函数，

故 有两个不同的实数根不成立.

假设 、 各有一个实数根，

先考虑 有一个实数根即

有一个实数根，

因为 为增函数，故 ，

故 .

再考虑 有一个实数根即 有一个实数根.

令 ，

因为 ，故 有一个实数根.

故 时， 、 各有一个实数根.

假设 有两个不同的实数根且 无实根，

因为 无实根，那么由前述讨论可得 ，

因为 有两个不同的实数根，

故 ，解得 ，

综上所述， ，

故答案为：D.

 
【分析】因为关于 的方程 恰有两个互异的实数解，故 有两个不同的实数根且 无实根或 、 各有一个实数根或 无实根且 有两个实数根。再利用分类讨论的方法结合根与系数的关系和二次函数的图像，再利用函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。

二、填空题

10.【解析】【解答】解：复数 = = = 的虚部为 ． 

故答案为： ．

【分析】利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出．

11.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，

令 ，那么 ，故 的系数为 。

故答案为：-15。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的系数。

12.【解析】【解答】因为 的圆心为 ，半径 ，

圆心 到直线 的距离 ，

所以线段AB的长为 。

故答案为： 。

 
【分析】利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线 的距离，再利用弦长公式求出线段AB的长。

13.【解析】【解答】两个都不命中的概率为 ，

故至少有一人命中的概率是 。

故答案为： 。

 
【分析】利用独立事件乘法求概率公式结合对立事件求概率公式，进而求出甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率。

14.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，

，

当且仅当 时等号成立，

所以 最小值为2。

故答案为：2。

 
【分析】利用条件结合均值不等式求最值的方法得出 ，进而变形求出的最小值。

15.【解析】【解答】设

那么

那么 ， ，

，

即 ，

得 ，即 ，

过C作 过 作

那么 ，

那么

那么

，

那么

由

得

，

，函数 开口向下，对称轴 ，

当 时，

故答案为： 。

 
【分析】设 那么 再利用三角形法那么和共线定理，再结合平面向量根本定理求出再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而求出， 过C作 过 作 那么 ，再利用正弦函数的定义、余弦函数的定义和正切函数的定义得出AD的长，再利用得 再利用数量积的定义结合二次函数图象求最值的方法，进而求出 的最大值 。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合余弦定理，进而求出a的值。
〔2〕利用条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值。
〔3〕利用余弦定理求出角A的余弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，进而求出角2A的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式，进而求出 的值 。

17.【解析】【分析】〔1〕 分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，  那么 ， ， ， ，可知四边形 和四边形 均为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行， 所以 ， 再利用线线平行证出线面平行，即证出平面 。
〔2〕 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
〔3〕 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数根本关系式，从而求出二面角 的正弦值。

18.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆 的右焦点为 ，进而求出c的值，再利用条件椭圆的离心率为 ， 进而求出a,c的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用两种方法求解，方法一： 由题意，设直线 的方程为 ，且 ，再利用直线l与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，进而求出点M的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线OM的斜率，再利用斜截式设出直线OM的方程，再利用直线OM与椭圆相交，联立二者方程求出点N的横坐标，再利用平行四边形的性质结合中点的性质，进而求出k的值，从而求出直线 的方程 ；方法二： 求得 的过程同方法一， 再利用平行四边形法那么结合共线定理求出点N的坐标，再利用点 在椭圆 上结合代入法求出k的值，进而求出直线 的方程。

19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等比数列前n项和公式和等差数列通项公式以及等比数列通项公式，进而求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比，再结合等差数列和等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
〔2〕 ① 利用条件结合等差数列前n项和公式，再结合 和〔1〕中等比数列的通项公式，进而求出 ， 当 是奇数时， ，再利用数列的单调性得出 当 且 是奇数时， 随 增大而减小，再利用函数的单调性，进而求出 的最大值。 ② 由①知， ， 再利用裂项相消的的方法，进而结合放缩法证出 。

20.【解析】【分析】〔1〕 ① 利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线 的方程。 ②对任意的 都有 ，即 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法结合函数的单调性，进而求出函数的最值，从而求出 的最大值 。
〔2〕利用函数 有且只有两个不同的零点 ， ， 再结合函数零点与方程的根的等价关系，得出 ， 是方程 的两个不等实根，再利用代入法结合

， 再利用①､②相加和相减得出 ， 再结合分析法的证明方法结合增函数的单调性，进而证出 。