2021届浙江省绍兴市高三下学期数学5月高考适应性考试试卷及答案

 高三下学期数学5月高考适应性考试试卷

一、单项选择题

1.设集合 ，那么 〔    〕           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

ix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥〞．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(  )           

A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限

3.函数 在区间 上的图象大致为〔    〕           

A.                      B. 
C.                     D. 

4.直线 ，平面 ，那么〔    〕           

A. 假设 ，那么
B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么

5.某几何体的三视图〔单位：cm〕如下列图，那么该几何体的体积〔单位：cm3〕是〔    〕 

A.                                          B. 8                                         C.                                          D. 14

6.a，b是实数，那么“ 且 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件

7.设 ，随机变量 的分布列是 

假设 ，那么〔    〕

A.              B.              C.              D. 

8. 是双曲线 的右焦点，直线 经过点 且与双曲线相交于 两点，记该双曲线的离心率为 ，直线 的斜率为 ，假设 ，那么〔    〕           

A.                      B.                      C.                      D. 

9. ， ，设函数 ，假设对任意的实数 ，都有 在区间 上至少存在两个零点，那么〔    〕           

A. ，且                                      B. ，且
C. ，且                                            D. ，且

10.假设公比为 的无穷等比数列 满足：对任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 ，那么〔    〕           

A. 有最大值1                   B. 有最大值2                   C. 有最小值1                   D. 有最小值2

二、填空题

11.圆C的方程为 ，那么圆心C的坐标为________，半径 ________．   

12.角 的终边与单位圆相交于点 ，那么 ________， ________．   

13.设 表示函数 在闭区间 上的最大值．假设正实数 满足 ，那么 ________，正实数 的取值范围是________．   

14.假设实数 满足约束条件 那么 的最小值是________，最大值是________．   

15.展开式中 的系数为________．   

16. ，假设 ，那么 的最大值为________．   

17.平面向量 ，满足 与 的夹角为 ，且 ，那么对一切实数 的最小值是________．   

三、解答题

18.在 中，角 所对的边分别为 ．   

〔1〕求 的值；   

〔2〕假设 ，且 的面积为 ，求 的值．   

19.平行六面体 ，底面 是边长为2的菱形，且 ， ． 

〔Ⅰ〕证明：平面 平面 ；

〔Ⅱ〕求直线 与平面 所成角的正弦值．

20.设数列 的前 项和为 ，数列 满足： ，其中 ． 

〔Ⅰ〕证明：数列 是等比数列；

〔Ⅱ〕记 ，证明： ．

21.抛物线 ，过点 的直线 交抛物线 于 两点，交 轴于点 ，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，如图． 

〔1〕假设 〔 为坐标原点〕，求 的值；   

〔2〕过 作直线 的垂线交 于点 ．记 ， 的面积分别为 ．假设 ，求直线 的方程．   

22. ，设函数 ， ，其中 为自然对数的底数．   

〔1〕设 ，假设存在 、 且 ，使得 ，证明： ；   

〔2〕当 时，假设对 都有 恒成立，求实数k的取值范围．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由 ， ，那么

故答案为：D.

 
【分析】根据题意由并集的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．

∵2∈ ，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

故答案为：B.

【分析】由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.

3.【解析】【解答】 ， ，那么 是奇函数，C，D是不正确的；时， ，即 ，B是不正确的，A符合要求.
故答案为：A

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B，由此得到答案。

4.【解析】【解答】在长方体ABCD-EFGH中，如图示：

对于A：假设 ，那么 ,    取平面ABCD为 ，即直线AB为l  ， CD为m  ， 那么 ，但是 ，所以 不成立，A不正确；

对于B：因为 ， 作平面 ，使得 ，且 ，由线面平行的性质可得： .

因为 ，所以 ，又 ，所以 .B符合题意；

对于C：假设 ，那么 ，取平面ABCD为 ，平面ADHE为 ，直线EH为l  ， 此时满足“ 〞，但是 ，所以 不满足，C不正确；

对于D：假设 ，那么 ，取平面ABCD为 ，平面ADHE为 ，直线BC为l  ， 直线EH为m  ， 此时满足“ ，〞但是 相交，不满足 .D不符合题意.

故答案为：B

 
【分析】根据题题意由空间平面与直线、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。

5.【解析】【解答】该几何体是如下列图的三棱台，上底面的面积 ，下底面的面积 ，那么几何体的体积 .

故答案为：C

 
【分析】根据题意由三视图的性质即可得出该几何体是如下列图的三棱台，结合三棱台的体积公式代入数值计算出结果即可。

6.【解析】【解答】当 且 时, ,即 且 时 成立.

当 时,即 解得 且 ,或 且

综上可知, “ 且 〞是“ 〞的充分不必要条件

故答案为：A

【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.

7.【解析】【解答】由分布列可知： .，
，即
所以联立方程组得： ，解得：

故答案为：B

 
【分析】由条件解分布列中的数据求出， 再由期望和方差公式整理得出关于a、b、c的方程组，由此计算出答案即可。

8.【解析】【解答】由题意，设直线 的方程为 ，

联立方程组 ，整理得 ，

设 ，可得 ，

因为 ，即 ，可得 ，

代入上式，可得 ， 可得 ，

整理得 ，即 ，

又由 ，可得 ，即 ，

所以 ，可得 ，即 .

故答案为：C.

 
【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合向量的坐标公式整理得出， 结合条件即可得出， 整理即可得出答案。

9.【解析】【解答】 ，

假设 ，那么 或 ，假设 ，那么 ；

①当 时， 与 一定是函数的零点，满足题意；

②当 时，可能的零点是 与 ，

因为至少存在两个零点，

所以 ，而 ，所以 .

故答案为：B.

 
【分析】首先根据题意分情况讨论求出x的值，再由t的取值范围结合零点的定义即可得出由此求解出a与t的取值范围即可。

10.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，

因为对于任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 ，

所以 ，

因为 ,所以 有最大值 .

故答案为：B

 
【分析】根据题意由等比数列的通项公式得出， 再由条件整理得出， 结合k的取值范围即可得出答案。

二、填空题

11.【解析】【解答】由 可得 ，

因此其圆心坐标为 ，半径为 .

故答案为： ； .

 
【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，由此求出圆心坐标以及半径即可。

12.【解析】【解答】由题意，角 的终边与单位圆相交于点 ，

所以 ，解得 ，

由三角函数的定义，可得 ；

又由 .

故答案为： ； .

 
【分析】利用任意角的三角函数的定义求出， 再结合二倍角的余弦公式整理即可得出答案。

13.【解析】【解答】如图，画出函数 的图象，当 时， ，此时， ，不满足 ，所以 ，此时

因为 ，且 ，所以 ，

当 时，解得： ， ， ， ，

由图象可知 ，得 .

故答案为：2；

 
【分析】 首先画出函数f(x)的图象，由图象分析，可知a<4，即可计算；再由， 可知， 由此求出f(x)=1的的实数根，根据图象判断，列式求a的取值范围.

14.【解析】【解答】作出不等式组的可行域如下列图：

目标函数 表示函数在y轴上的截距，由图知在C点取最小值，A点取最大值；

那么C点满足 ，解得 ，即最小值 ；

A点满足 ，解得 ，即最大值 ；

故答案为：-1；8

 
【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最大值；同理经过点C时取得最小值，并由直线的方程求出点A和B的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z最值即可。

15.【解析】【解答】 展开式的通项公式是 ，

要求 ，只需 ，解得： .

∴ .

故答案为：-56.

 
【分析】根据题意由条件求出二项式的通项公式再由条件求出r的值，并代入到通项公式计算出结果即可。

16.【解析】【解答】由条件可知 ，那么 ，

， ，

，设 ，

，

当 ，即 时，等号成立，

所以 的最大值是 .

故答案为：

 
【分析】根据题意由条件整理得出， 再由x的取值范围设出， 整理得出再由根本不等式求出最大值即可。

17.【解析】【解答】由题知 ，那么 ，

那么 ，故假设使 取最小值，

那么只需向量 与向量 反向，

即

，当且仅当 时，等号成立.

故答案为：

 
【分析】首先由数量积的运算公式以及向量模的定义即可得出故假设使 取最小值，那么只需向量 与向量 反向，由绝对值的几何性质以及向量模的定义结合根本不等式计算出最小值即可。

三、解答题

18.【解析】【分析】(1)首先由两角和的余弦公式整理得出即可。
(2)由正弦定理整理得出， 再由三角形的面积公式整理得出， 由此求出a与b的值，再由余弦定理代入数值计算出c的结果即可。

19.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 首先由菱形的几何性质即可得出线线垂直，再由中点的性质以及线面垂直的性质定理得出线线垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。
〔Ⅱ〕 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再由诱导公式即可求出直线 与平面 所成角的正弦值。

20.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列。
〔Ⅱ〕 结合条件即可得出 要证明 ，即证明 ，即 ， 由数学归纳法结合指数函数的单调性即可得出得证出结论。

21.【解析】【分析】(1)根据题意由斜截式设出直线的方程以及点的坐标，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再结合数量积的坐标公式整理得出关于t的方程，求解出t的值即可。
(2)由(1)的结论即可得出， 设出直线的方程再点到直线的距离公式以及三角形的面积公式整理得出， 再由几何关系解条件整理得出， 联立两式得出， 然后由点在直线上代入点的坐标整理得， 求解出k的值由此得出直线的方程。

22.【解析】【分析】 (1)根据题意设分析可知，所证不等式等价于， 构造函数利用导数分析函数在上为增函数 上的单调性，即可证得结论成立；
(2)令， 由题意可知对任意的 恒成立 ，对实数k 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数t(x)在上的单调性，验证是否对任意的恒成立，综合可得出实数k的取值范围.