2021届天津市南开区高三下学期数学一模试卷及答案

 高三下学期数学一模试卷

一、单项选择题

1.设全集为 ，集合 ， ，那么 等于〔    〕           

A. 0                        B.                         C.                         D. 

2. ， ，那么“ ， 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件 

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 

3.函数 的局部图象如以下图，那么 的解析式可能是〔    〕 

A.                     B.                     C.                     D. 

4.某校抽取100名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组 ，第二组 ， ，第五组 ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，假设成绩低于 即为优秀，如果优秀的人数为14人，那么 的估计值是〔   〕 

A. 14                                       B. 14.5                                       C. 15                                       D. 15.5 

5.一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的外表积大小，那么此球的体积是〔    〕           

A.                                     B.                                     C. 4π                                    D. 

6. ， ， ，那么〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

7.函数 满足 ，且 的最小值为 ，那么 的值为〔    〕           

A.                                        B. 1                                       C.                                        D. 2 

8.设直线 与 轴交于点 ，与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ．假设 为 中点，那么该双曲线的离心率是〔    〕．           

A.                                         B.                                         C.                                         D. 2 

9.函数 假设方程 有5个不等实根，那么实数 的取值范围是〔    〕           

A.                           B.                           C.                           D. 

二、填空题

10.是虚数单位，复数 的共轭复数为________．   

11.在 的展开式中，常数项为________．   

12.过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，那么 的最小值为________．   

13. ， ， ，那么 的最大值是________．   

14.对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，那么停止检测，否那么一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，那么检测2次停止的概率为________；设检测次数为 ，那么 的数学期望为________．   

15.在 中， ， ， ，那么 ________；假设 ， ， ，那么 的最大值为________．   

三、解答题

16.在 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ， ． ．   

〔1〕求角 的大小；   

〔2〕假设 ， ，求 的值．   

17.如以下图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ． 

〔1〕求 与平面 所成角的正弦值；   

〔2〕求二面角 的正弦值；   

〔3〕设 为 上一点，且 ，假设 平面 ，求 的长．   

18.椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为点 ，点 的坐标为 ，延长线段 交椭圆于点 ， 轴．   

〔1〕求椭圆的离心率；   

〔2〕设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点， ，直线 交椭圆于 ， 两点，假设 ，求椭圆的标准方程．   

19.等比数列 中， ， ．数列 满足： ， ．   

〔1〕求数列 的通项公式；   

〔2〕求证：数列 为等差数列，并求 前 项和的最大值；   

〔3〕求 ．   

20.曲线 与 轴交于点 ，曲线在点 处的切线方程为 ，且 ．   

〔1〕求 的解析式；   

〔2〕求函数 的极值；   

〔3〕设 ，假设存在实数 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为全集为 ，集合 ， ，

所以 ，而全集为 ，

因此 。

故答案为：B

 
【分析】利用条件结合并集和补集的运算法那么，进而求出集合。

2.【解析】【解答】当 ， 时，根据不等式的性质可得 ，故充分性成立；

当 时，假设 ， ，此时不能推出 ， ，故必要性不成立.

所以“ ， 〞是“ 〞的充分不必要条件.

故答案为：A

 
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ ， 〞是“ 〞的充分不必要条件。

3.【解析】【解答】对于A选项， ， ，解得 ，该函数的定义域为 ，

，该函数为奇函数，

当 时， ，与图象不符；

对于B选项，函数 的定义域为 ，与图象不符；

对于C选项， ， ，解得 ，该函数的定义域为 ，

，该函数为奇函数，

当 时， ，与图象相符；

对于D选项， ， ，解得 ，该函数的定义域为 ，

，该函数为偶函数，与图象不符.

故答案为：C.

 
【分析】利用函数的定义域、奇函数和偶函数的定义、特殊点排除法，进而结合函数的图像找出可能的函数解析式。

4.【解析】【解答】优秀人数所占的频率为 ，

测试结果位于 的频率为 ，测试结果位于 的频率为 ，所以， ，

由题意可得 ，解得 。

故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而求出a的估计值。

5.【解析】【解答】设球的半径为 ，圆锥的体积为 ，

由于球的体积大小等于某球的外表积大小，那么 ， ，

因此，该球的体积为 。

故答案为：D.

 
【分析】利用条件结合圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积，再利用球的体积大小等于某球的外表积大小，结合球的体积公式，进而求出球的半径，再利用球的体积公式，进而求出球的体积。

6.【解析】【解答】因为 ， ， ，

所以 ，

因此 ，

故答案为：C

 
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用特殊值对应得指数与对数与a,b,c三者的大小关系比较，进而比较出a,b,c的大小。

7.【解析】【解答】 ，那么 ， ，且 ，

设函数 的最小正周期为 ，那么 ， ，可得 ，

，因此， 。

故答案为：A.

 
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的最值，再利用 ，设函数 的最小正周期为 ，再利用条件 的最小值为 ， 进而结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而求出函数的解析式，再结合代入法求出函数值。

8.【解析】【解答】由 ，解得 ，即 ， 

为 中点且 ， ，

点 在渐近线 上，那么 ，解得 ，

。

故答案为：D

 
【分析】利用直线 与 轴交于点 ，与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，进而联立两直线方程求出点B,C的坐标，再利用A为BC的中点，再结合中点坐标公式，进而求出点A的坐标，再利用点 在渐近线上结合代入法，进而求出a,b的关系式，再利用双曲线的离心率公式结合双曲线中a,b,c三者的关系式，变形求出双曲线的离心率。

9.【解析】【解答】因为 ，所以 一定是方程 的一个实根，

当 时，由题意可知：此时方程 有四个非零实根，

由 ，设 ，问题转化为：函数 与函数

有四个不同交点〔交点不能在纵轴上〕，

⑴当 时， ，令 ，

那么 ，

当 时，函数 单调递减，且 ，此时 单调递增，且 ，所以 此时单调递减，且 ；

当 时，函数 单调递增，且 ，此时 单调递增，且 ，所以 此时单调递增，且 ；

⑵当 时， ，令 ，

那么 ，

当 时，函数 单调递增，且 ，此时 单调递减，且 ，所以 此时单调递减，且 ；

⑶当 时， ，

当 时，函数 单调递增，此时 ，因此函数 单调递减，

所以函数 也单调递减，

所以 ，

当 时，，函数 单调递减，此时 ，因此函数 单调递增，

所以函数 也单调递增，因此 ，

所以函数 在 时，与函数 的图象如以下图所示：

根据以上的分析函数 的性质，结合图象可知：要想函数 与函数

有四个不同交点〔交点不能在纵轴上〕，只需 或 ，

故答案为：D

 
【分析】因为 ，所以 一定是方程 的一个实根，当 时，由题意可知：此时方程 有四个非零实根，由 ，设 ，问题转化为：函数 与函数有四个不同交点〔交点不能在纵轴上〕，再利用方程 有5个不等实根结合分类讨论的方法，再利用函数的单调性结合函数 在 时与函数 的图象，再结合两函数的图像结合函数 的性质，进而求出实数a的取值范围。

二、填空题

10.【解析】【解答】 ，因此，复数 的共轭复数为 。

故答案为：i。

 
【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数， 再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数。

11.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ， 

由 得出常数项为 。

故答案为： 。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式得通项公式，再利用通项公式求出展开式中得常数项。

12.【解析】【解答】由 ，所以该圆的半径 ，圆心设为 ,

设 ，显然当过点 的直线与直线 垂直时， 有最小值，

因为 ， ，所以由圆的垂径定理可得：

。

故答案为： 。

 
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标和补给长，设 ，显然当过点 的直线与直线 垂直时， 有最小值，再利用条件结合两点求距离公式，进而求出圆的半径，再利用圆的垂径定理结合弦长公式，进而求出 的最小值 。

13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，代入 中，得 ，

由 〔当且仅当 时取等号〕，

于是有 〔当且仅当 时取等号〕，

因为 ， ，所以 ，

因此有 〔当且仅当 时取等号〕，

，〔当 时取等号，即 时，取等号〕，

所以有 〔当且仅当 时取等号〕，

即 〔当且仅当 时取等号〕，因此有 〔当且仅当 时取等号〕，所以 的最大值是-2。

故答案为：-2。

 
【分析】因为 ，所以 ，代入 中，得，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 的最大值 。

14.【解析】【解答】检测2次停止的概率为 ， 

检测次数 可取 ，

。

故答案为：0.16，2.44。

 
【分析】利用条件求出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。

15.【解析】【解答】①如图，作 ，垂足为 ，因为 ，

所以 ，所以 ，即 ，

又 ， ，所以 ，即 ,

所以 ；

②因为 ， ，所以 , ,

所以

，当且仅当 ，即 时，等号成立，

所以 的最大值为 。

故答案为： ； 。

 
【分析】作 ，垂足为 ，因为 ，再利用数量积的定义结合向量的模求解公式，进而求出线段AB的长；利用条件结合共线定理，再结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出数量积 的最大值 。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理和余弦定理，再结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
〔2〕利用条件结合正弦定理，进而求出角B的正弦值，再利用大边对应大角，从而结合同角三角函数根本关系式，进而求出角B的余弦值，再利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式，进而求出 的值 。

17.【解析】【分析】〔1〕 因为平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。

〔2〕以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数根本关系式求出二面角 的正弦值。
〔3〕以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示和向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用线面平行的定义结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标运算，进而求出线段BC的长。

18.【解析】【分析】〔1〕 由题意得在 中有 ，因为 为 中点，那么 为 的中点，因为 的坐标为 ，所以 ， ，令 ，得 ， 那么题意得 ，所以 ， 进而求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合椭圆的离心率公式变形，进而求出椭圆的离心率。
〔2〕利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程，再利用 为抛物线上一点， ，直线 交椭圆于 ， 两点和 ， 再联立直线与椭圆方程结合两点距离公式，进而求出b的值，从而利用〔1〕中a,b的关系式，进而求出a的值，从而求出椭圆的标准方程。

19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕 在等式 两边同时除以 可得 ， 再利用等差数列的定义证出数列 为等差数列，再结合等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用数列求和的方法求出数列 前 项和的最大值 。
〔3〕利用错位相减的方法求出 的值。

20.【解析】【分析】〔1〕利用条件 结合代入法求出点P的坐标为 ，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，再结合条件曲线在点 处的切线方程为 ， 进而求出m的值，从而求出函数的解析式。
〔2〕利用〔1〕求出的函数的解析式结合 ， 进而求出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值。
〔3〕 因为 ，故不等式 等价于 ，因为 ，故存在实数 使 成立，所以只需 成立即可，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数h(x)的单调性，进而求出函数h(x)的最值，从而求出实数a的取值范围。