2021届天津市和平区高三下学期第三次质量调查数学试题及答案

这是一份2021届天津市和平区高三下学期第三次质量调查数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期第三次质量调查数学试题一、单项选择题1.集合 ， ，那么 〔    〕.            A.                                B.                                C.                                D. 2.“直线 与平面 内无数条直线垂直〞是“直线 与平面 垂直〞的〔    〕            A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不必要也不充分条件3.某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如以下列图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为： ， ， ， ， ， ， .为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，那么这样的试点社区个数是〔    〕.  A. 4                                         B. 10                                         C. 19                                         D. 404.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作?抱银鼠的女子?〔如下列图〕中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成比照.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题〞.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 的“双曲余弦函数〞相关.以下选项为“双曲余弦函数〞图象的是〔    〕  A.                                   B. 
C.                                   D. 5.设 ， ， ，那么 ，  ， 的大小关系为〔    〕.            A.                            B.                            C.                            D. 6.在圆柱 内有一个球 ，球 分别与圆柱 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.假设 ，那么圆柱 的外表积为〔    〕.            A.                                         B.                                         C.                                         D. 7.点F是双曲线 〔 ， 〕的一个焦点，假设双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点F恰好是直角三角形的三个顶点，那么双曲线的离心率为〔    〕.            A.                                  B.                                  C.                                  D. 8.函数 的图象的一条对称轴为 ，那么以下结论中正确的选项是〔    〕.            A. 是 图象的一个对称中心
B. 是最小正周期为 的奇函数
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，即可得到函数 的图象9.在 中， ， ， ，假设 ，那么实数 (    )            A.                                       B.                                       C.                                       D. 二、填空题10.i是虚数单位，复数 ，那么z的共轭复数 ________.    11.的展开式中常数项是________.    12.设 ，抛物线 的准线l与圆 相切，那么 ________.    13.假设正实数x，y，z满足 ，那么 的最小值是________.    14.函数 ，假设函数 使得方程 恰有3个不同根，那么实数a的取值范围为________.    15.某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋那么比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 ，两人和棋的概率是 ，那么乙战胜甲的概率是________；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，那么甲得分不少于2分的概率是________.    三、解答题16. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，假设 ，且 ， .  〔Ⅰ〕求 的长；〔Ⅱ〕求 的值；〔Ⅲ〕求 的值.17.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ．过点 做四棱锥 的截面 ，分别交 ， ， 于点 ， ， 为 的中点．  〔Ⅰ〕求证： 平面 ；〔Ⅱ〕求 与平面 所成角的正弦值．18.椭圆 的离心率 ，且经过点 .  〔Ⅰ〕求椭圆 的方程；〔Ⅱ〕点 和点 ，过点 的动直线 交椭圆 于 两点〔 在 左侧〕，试讨论 与 的大小关系，并说明理由.19. 是各项都为整数的等比数列， 是等差数列， ， ， .  〔Ⅰ〕求 和 的通项公式；〔Ⅱ〕设 表示数列 的前 项乘积，即 ， .〔ⅰ〕求 ；〔ⅱ〕假设数列 的前 项和为 ，且 ，求证： .20.函数 ．    〔1〕求函数 在 处的切线方程；    〔2〕证明：〔ⅰ〕 ；  〔ⅱ〕 ， ．
答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由题意，集合 ， ， 根据集合并集的运算，可得 。故答案为：A. 
【分析】利用绝对值不等式求解集的方法求出集合A，再利用并集的运算法那么求出集合A和集合B的并集。2.【解析】【解答】设命题 ：直线 与平面 内无数条直线垂直， 命题 ：直线 与平面 垂直，那么 ，但 ，所以 是 的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据充分必要条件的定义即可判断.3.【解析】【解答】解：日均垃圾量不少于14吨的组为 和 ，频率和为 ， 那么 个。故答案为：B. 
【分析】利用条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而求出日均垃圾量不少于14吨的组 和 的频率和，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出 这样的试点社区个数 。4.【解析】【解答】令 ，那么该函数的定义域为 ， ， 所以，函数 为偶函数，排除B选项.由根本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，所以，函数 的最小值为 ，排除AD选项.故答案为：C. 
【分析】利用 “双曲余弦函数〞 的定义，令 ，再利用偶函数的定义判断出其为偶函数，再利用偶函数的图像的对称性结合均值不等式求最值的方法，从而求出其最小值，进而结合排除法选出 “双曲余弦函数〞图象 。5.【解析】【解答】指数函数 分别是R上的增函数和减函数， ，那么 ， 对数函数 在 上单调递增， ，那么 ，所以有 ，即 。故答案为：D 
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。6.【解析】【解答】依题意可得圆柱的底面半径 ，高 ， 所以圆柱的外表积 。故答案为：C. 
【分析】利用条件可得圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的外表积公式求出圆柱 的外表积。7.【解析】【解答】如下列图：设A为实轴的一个端点，B为虚轴的一个端点， 那么 ，所以 得 ， 所以 ，解得 。故答案为：B 
【分析】设A为实轴的一个端点，B为虚轴的一个端点，那么 ，再利用余弦函数的定义得出， 再利用双曲线的离心率公式变形结合解一元二次方程的方法，从而求出双曲线的离心率。8.【解析】【解答】解： ，当 时， 取到最值，即 解得 ，．A： ，那么 是 图像的一个对称中心，A符合题意；B： ，故 不是奇函数，B不符合题意；C：当 时， ，又 在 上先增后减，那么 在 上先增后减，C不符合题意；D. 将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，得 ，D不符合题意．故答案为：A 
【分析】利用条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再结合正弦函数的图像求出正弦型函数的对称轴，再利用函数 的图象的一条对称轴为 ， 从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再结合正弦函数的图像求出正弦型函数的一个对称中心，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出正弦型函数的最小正周期，再结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再结合正弦函数的图像判断出正弦型函数的单调性，再结合正弦型函数的图象变换得出将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，进而得出函数f(x)的图像，从而选出正确结论的选项。9.【解析】【解答】由 ，知 为 的重心， 所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 ， .故答案为：D【分析】将 、 用 、 表示，再代入 中计算即可.二、填空题10.【解析】【解答】 ，因此， 。 故答案为： 。 
【分析】利用复数的乘法运算法那么求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。11.【解析】【解答】因为展开式的通项公式为，
令， 解得，
那么常数项为 ，
故答案为：-160
【分析】由得到二项展开式的通项公式， 令， 解得， 即可求出展开式中的常数项。12.【解析】【解答】抛物线 的准线l的方程为 ， 圆C的标准方程为 ，圆心为 ，半径长为 ，由于直线l与圆C相切，那么 ，解得 。故答案为：-1。 
【分析】利用条件求出抛物线 的准线l的方程为 ，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法从而求出a的值。13.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ， 即 ，设 ，因为 ，所以 ，令 ，定义域为 ，那么 ，令 ，解得 或 (舍去)，那么 随t的变化如下表，t  1 -0++ ↘ ↗ 所以当 时， 取最小值，此时 。故答案为: 。 
【分析】因为 ，所以 ，即 ，设 ，因为 ，所以 ，令 ，定义域为 ，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最小值，进而求出 的最小值 。14.【解析】【解答】由得 的图象如图(1). 〔1〕当 时，要使得方程 恰有3个不同根，那么需存在 ，使得 ，即 .又 ，当 时， ，此时函数单调递增，当 时， ，此时函数单调递减，当 时， 的图象如图(2)，故 .〔2〕当 时，由图(1)知 需与函数 相切.设切点为 ，那么 ，即 过点 ，故 ，解得 .因为 ，故 .所以 .〔3〕当 时，显然符合题意.综上，实数 的取值范围为 或 。故答案为： 或 。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分类讨论的方法结合方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，再结合条件函数 使得方程 恰有3个不同根， 从而结合求导的方法判断函数的单调性，再利用导数的方法求函数在切点处的切线方程，从而求出实数a的取值范围。15.【解析】【解答】由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 ，两人和棋的概率是 ， 那么乙战胜甲的概率是 ；由甲、乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，设甲得分不少于2分为事件A，那么事件 表示乙胜或甲负且甲乙和，可得 ,所以甲得分不少于2分的概率是 。故答案为： ； 。
【分析】由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 ，两人和棋的概率是 ，再利用对立事件求概率公式，得出乙战胜甲的概率，由甲、乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，设甲得分不少于2分为事件A，那么事件 表示乙胜或甲负且甲乙和，再利用二项分布求概率公式结合对立事件求概率公式，从而求出甲得分不少于2分的概率。三、解答题16.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理，从而得出a,c的关系式，再利用余弦定理求出a的值。
〔2〕由〔1〕 知 ，由余弦定理， 可知角C的余弦值，再利用同角三角函数的根本关系式，从而结合角C在三角形中的取值范围，从而求出角C的正弦值，再利用同角三角函数根本关系式，从而求出角C的正切值。
〔3〕利用等边对等角，那么由 知 ，再利用三角形内角和为180度的性质，得出 ，因此 ，再利用诱导公式结合二倍角的正切公式，从而求出 的值。17.【解析】【分析】〔Ⅰ〕在 上取点H，且满足 ，连接 ， ，可证 是平行四边形，即可证明结论；
〔Ⅱ〕建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用线面角公式计算即可求解18.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆的离心率公式结合条件，从而求出a,c的关系式，再利用代入法结合条件，从而求出a,b的关系式，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 依题意设直线 的方程为 ，设 ，再将直线与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出假设 ，那么 ， 与 矛盾，所以 ，同理 ，所以直线 和 的斜率存在，分别设为 和 ，再利用两点求斜率公式，得出 ，从而推出 。19.【解析】【分析】〔1〕设等比数列 的公比为 ，再利用条件结合等比数列的通项公式，从而利用数列 的各项都为整数，进而求出公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式，设等差数列 的公差为 ，再利用条件结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕 〔ⅰ〕 利用指数幂的运算法那么结合等差数列前n项和公式，从而求出 的值。 〔ⅱ〕 因为 ，所以结合排列数公式，得出 且 ， ，再利用分析法的证明方法结合与的关系，再结合分类讨论的方法，从而证出 。20.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
〔2〕 〔ⅰ〕 可化为 ，设 ，再利用求导的方法判断其的单调性，从而求出其的最大值， 设 ， 再利用求导的方法判断其的单调性，从而求出其的最小值， 因为 ，所以 ，从而证出 。 〔ⅱ〕由 ，得 ，令 ， ，得 ，所以 ，从而证出 成立。