2021届四川省内江市高三理数零模试卷及答案

 高三理数零模试卷

一、单项选择题

1.复数 满足 〔 为虚数单位〕，那么 的虚部为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

2.假设 ，那么 〔    〕           

A.

C.
 

3.假设双曲线 的离心率为 ，那么 〔    〕           

A.
B.
C.或3
 

4.命题 假设 ， ，那么 ；命题 假设 ， ，那么 .以下命题为真命题的是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

5.曲线 在 处的切线如以下列图，那么 〔    〕 

6.以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，那么椭圆 的标准方程为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

7.假设 的展开式中， 项与 项的系数和为-10，那么实数 〔    〕           

8.函数 ，那么“ 〞是“函数 为增函数〞的〔    〕           

9.空间三点 ， ， ，在直线 上有一点 满足 ，那么点 的坐标为.           

A.
B.
C.
D.

10.“二进制〞来源于我国古代的?易经?，该书中有两类最根本的符号：“─〞和“﹣﹣〞，其中“─〞在二进制中记作“1〞，“﹣﹣〞在二进制中记作“0〞．如符号“☱〞对应的二进制数011〔2〕化为十进制的计算如下：011〔2〕＝0×22+1×21+1×20＝3〔10〕 ． 假设从两类符号中任取2个符号进行排列，那么得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为〔    〕           

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

11.直线 ： 与抛物线 相交于 、 两点，假设 的中点为 ，且抛物线 上存在点 ，使得 〔 为坐标原点〕，那么抛物线 的方程为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

12.对于函数 ，假设存在区间 ，当 时， 的值域为 ，那么称 为 倍值函数．假设 是 倍值函数，那么 的取值范围为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

二、填空题

13.设随机变量 的分布列为 ， ， ， ， 为常数，那么 ________．   

效劳精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点〔敬老院、幼儿园和交警大队〕进行效劳，要求每个地点至少安排1名学生，那么有________种不同的安排方案〔用数字作答〕．   

15.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，A是椭圆上一点， ，假设原点 到直线 的距离为 ，那么该椭圆的离心率为________．   

16.假设对任意的 、 ，且 ， ，那么 的最小值是________．   

三、解答题

17.抛物线 ： ，坐标原点为 ，焦点为 ，直线 ： ．   

〔1〕假设 与 只有一个公共点，求 的值；   

〔2〕过点 作斜率为1的直线交抛物线 于 、 两点，求 的面积．   

18.函数 在 处有极值2．   

〔1〕求 ， 的值；   

〔2〕假设 ，函数 有零点，求实数 的取值范围．   

效劳国家重大战略需求且综合素质优秀或根底学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基方案．现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基方案课程学习的学生中，随机抽取了 名学生．   

〔1〕在某次数学强基课程的测试中，超过 分的成绩为优秀，否那么为合格．这 名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，现随机从这 名学生中抽取两名，记抽到成绩优秀的学生人数为 ，求随机变量 的分布列及期望； 

〔2〕学生的物理成绩 与数学成绩 是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩〔如下表〕．假设第6次测试该生的数学成绩到达132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？ 

附： ， ．

20.如图，四棱柱 中，面 面 ，面 面 ，点 、 、 分别是棱 、 、 的中点． 

〔1〕证明： 面 ．   

〔2〕假设四边形 是边长为2的正方形，且 ，面 面 直线 ，求直线 与 所成角的余弦值．   

21. ， 是椭圆 ： 上的两点.   

〔1〕假设直线 的斜率为1，求 的最大值；   

〔2〕线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.   

22.函数 ．   

〔1〕讨论函数 的单调区间；   

〔2〕假设函数 有三个不同的零点 、 、 ，求 的取值范围，并证明： ．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【答案】 B  

【解析】【解答】根据复数的运算法那么，可得 ，可得

故复数 的虚部为 .

故答案为：B.

 
【分析】根据复数的乘除运算化简复数 ， 即可得出答案。

2.【答案】 C  

【解析】【解答】因为 ，所以 .

故答案为：C

 
【分析】 根据求导公式和法那么求出f’(x) ，由特殊角的三角函数值求出   的值.

3.【答案】 D  

【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即 ， ，所以 ，因为离心率为2，即 ，解得

故答案为：D

 
【分析】 根据条件，结合双曲线的性质，以及离心率公式，即可求解.

4.【答案】 D  

【解析】【解答】解：命题 假设 ， ，

可知 ， ，

命题 是真命题；

又命题 假设 ， ，

，那么 与 不垂直，

命题 是假命题．

为真命题．

故答案为：D.

 
【分析】由复合命题的真假，对每一选项判断可得答案。

5.【答案】 C  

【解析】【解答】设曲线 在 处的切线方程为 ，那么 ，解得 ，

所以，曲线 在 处的切线方程为 ，所以， ， ，

因此， .

故答案为：C.

 
【分析】 写出切线方程的截距式，化为斜截式，可得f' (1),再求出f(1),那么答案可求.

6.【答案】 C  

【解析】【解答】解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，那么 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，
那么 ， ， .

那么椭圆的标准方程为： .

故答案为：C.

 
【分析】 由椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形可得 ， 再由椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,得,又a2= b2+c2,解得a, b, c,进而可得答案.

7.【答案】 A  

【解析】【解答】解：因为

因为 的展开式的通项公式为： ；

可得展开式中 ， ， 的系数分别为： ， ， ；

故 的展开式中 的系数为： ；

故 的展开式中 的系数为： ；

；

．

故答案为：A．

 
【分析】先求的展开式的通项公式，进而求得结论。

8.【答案】 A  

【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以当 时 ，函数在定义域上单调递增，因为 ，所以“ 〞是“函数 为增函数〞的充分不必要条件，

故答案为：A

 
【分析】 首先求出函数的导函数，求出函数f (x )为增函数时参数a的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.

9.【答案】 B  

【解析】【解答】由O〔0，0，0〕，A〔﹣1，1，0〕，B〔0，1，1〕，

∴ 〔﹣1，1，0〕，

且点H在直线OA上，可设H〔﹣λ，λ，0〕，

那么 〔﹣λ，λ﹣1，﹣1〕，

又BH⊥OA，

∴ • 0，

即〔﹣λ，λ﹣1，﹣1〕•〔﹣1，1，0〕＝0，

即λ+λ﹣1＝0，

解得λ ，

∴点H〔 ， ，0〕．

故答案为：B．

 
【分析】 根据中空间三点   ，  ，  ， 根据点H在直线OA上，我们可以设出H点的坐标(含参数) ,进而由BH⊥OA，根据向量垂直数量积为0，构造关于的方程，解方程即可得到答案.

10.【答案】 D  

【解析】【解答】根据题意，不同符号可分为三类：

第一类：由两个“─〞组成，其二进制为：11〔2〕＝3〔10〕；

第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00〔2〕＝0〔10〕；

第三类：由一个“─〞和一个“﹣﹣〞组成，其二进制为：10〔2〕＝2〔10〕  ， 01〔2〕＝1〔10〕  ，

所以从两类符号中任取2个符号排列，那么组成不同的十进制数为0，1，2，3，

那么得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P ．

故答案为：D．

【分析】分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列，那么组成不同的十进制数为0，1，2，3，即可计算得到概率．

11.【答案】 B  

【解析】【解答】设 ，联立方程组 ，整理得 ，

那么 ，可得 ，

由点 为 的中点，所以

设 ，因为 ，可得 ，

又由点 在抛物线 上，可得 ，

即 ，解得 或 〔舍去〕，

所以抛物线的标准方程为 .

故答案为：B.

 
【分析】 联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可推得， 再根据条件，可得 ，将M点代入到抛物线方程中，即可求解.

12.【答案】 C  

【解析】【解答】解：∵ ，定义域为 ，

函数 在 上为增函数，

∴由题意有， ， ，

即方程 有两个不同的实数根，

∴ ，

令 ，那么 ，

由 得 ，由 得 ，

∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，

∴函数 在 处取得极大值 ，

又当 时， ，当 时， ，

∴ ，

∴当 时，直线 与函数 的图象有两个不同的交点，

此时方程 有两个不同的解，

∴ 的取值范围为 ，

故答案为：C．

 
【分析】 由于f (x)在定义域{x |x > 0}内为单调增函数,利用导数求得g (x )的极大值为:， 当 时， ，当 时， ，因此当 时，直线 与函数 的图象有两个不同的交点，满足条件，从而求得k的取值范围.

二、填空题

13.【答案】

【解析】【解答】随机变量 的分布列为 ， ， ， ，

∴ ，即 ，解得 ，

∴ ，

故答案为： .

 
【分析】 根据条件，结合离散型分布列的性质,分布列中概率和为1,即可求解.

14.【答案】 150  

【解析】【解答】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，

由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为 种.

故答案为：150.

 
【分析】 根据题意,分2步进行分析:①将5名学生分为3组，②将分好的三组安排到三个地点，由分步计数原理计算可得答案.

15.【答案】

【解析】【解答】因为 ，不妨设点 ，其中 ，

代入椭圆方程 ，可得 ，解得 ，

所以 ，即 ，

过 作 ，因为原点 到直线 的距离为 ，即 ，

由 ，可得 ，即 ，

又由 ，整理得 ，即 ，

因为 ，解得 ，即椭圆的离心率为 .

故答案为： .

 
【分析】 由题设， 及F1(-c,0),F2(c,0)，设点，其中 ，那么,由此利用点到直线的距离公式结合条件得离心率.

16.【答案】

【解析】【解答】对任意的 、 ，且 ， ，易知 ，

那么 ，所以， ，即 ，

令 ，那么函数 在 上为减函数，

因为 ，由 ，可得 ，

所以函数 的单调递减区间为 ，

所以， ，所以， ，因此，实数 的最小值为 .

故答案为： .

 
【分析】 由条件可得， 令 ，那么函数 在 上为减函数，求出函数的递减区间,求出m的最小值即可.

三、解答题

17.【答案】 〔1〕解：依题意 消去 得 ，即 ， 

①当 时，显然方程只有一个解，满足条件；

②当 时， ，解得 ，

综上可得：当 或 时直线与抛物线只有一个交点；

〔2〕抛物线 ： ，所以其焦点为 ，设 ， ， 

所以直线方程为 ，那么 ，消去 得 ，那么 ，

所以

所以

【解析】【分析】 (1)联立直线方程与抛物线方程,然后分类讨论即可确定实数k的值；
(2)联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理和弦长公式即可确定三角形的面积.

18.【答案】 〔1〕由题意，函数 ，可得 ， 

因为函数 在 处有极值2，可得 ，解得 ，

所以函数 ，此时 ，

当 或 时， ， 单调递减；

当 时， ， 单调递增，

所以当 时，函数取得极大值2，符合题意，

所以 .

〔2〕由 ，函数 有零点，即 ，函数 有根， 

即 ，函数 与 的图象有交点，

又由〔1〕知，当 时，函数 单调递减；

当 时，函数 单调递增，

所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，

又由 ，可得 ，所以函数的最大值为 ，

即函数 的值域为 ，

要使得函数 与 的图象有交点，可得 ，

即实数 的取值范围是 .

【解析】【分析】〔1〕求得   ，根据函数  在  处有极值2，列出方程组，求得a，b的值，再结合函数极值的定义，即可得到答案；
〔2〕把     ， 函数  有零点， 转化为     ， 函数  与  的图象有交点， 根据函数的单调性，求得函数的值域即可。

19.【答案】 〔1〕这10名学生中，成绩优秀的学生人数为5，

所以，随机变量 的可能取值有0、1、2，

那么 ， ， .

所以，随机变量 的分布列如下表所示：

因此， ；

〔2〕， ， 

，

，

所以，物理成绩 与数学成绩 的回归直线方程为 ，

当 时， ，

估计第6次测试他的物理成绩大约为89分.

【解析】【分析】 (1 )由茎叶图可得10名学生中乘积优秀的有5名，合格的有5名,求出X值,由古典概型概率公式求概率，可得分布列，再由期望公式求期望;
(2)由表格中的数据求  的值，可得线性回归方程，取x = 132求得值即可得答案.

20.【答案】 〔1〕如以下列图，在底面 中，过点C分别作 ，

因为平面 平面面 ， ，且 平面 ，

由面面垂直的性质定理，可得 平面 ，

又由 平面 ，所以 ，

同理可证： ，

又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .

 
〔2〕因为四边形 是边长为2的正方形，且 ， 

可得四棱柱 为棱长为2的正方体，

延长 交 于点 ，连接 ，即为平面 平面 ，

那么直线 与 所成角即为直线 与 所成的角，

取 的中点 ，连接 ，可得 ，

那么异面直线 与 所成的角即为 与 所成的角，设为 ，其中 ，

在直角 中，可得 ，

在 中，可得 ，

即直线 与 所成角的余弦值为

【解析】【分析】〔1〕 在底面  中，过点C分别作    ，  ，  再结合面面垂直的性质定理,线面垂直的性质定理和判定定理,得证 ；
〔2〕 延长  交  于点    ， 连接    ， 即为平面  平面    ，  那么直线  与  所成角即为直线  与  所成的角， 在直角  中，可得   再利用余弦定理可求得直线  与  所成角的余弦值。

21.【答案】 〔1〕解：设直线 的方程为 ， ， ， 

联立方程 ，得 ，

所以 ， ， ，

所以 ，

当 〔满足 〕时， 取得最大值 .

〔2〕设 ， ， 的中点 ， 

第一种情况，假设直线 平行于 轴，那么线段 的垂直平分线为 轴，即 ，

第二种情况，假设直线 不平行于 轴，

又因为线段 的垂直平分线与 轴相交，所以直线 不平行于 轴，即 ，

由 ，两式相减整理得   ①，

因为 是 的中点，所以 ， ，

因为 ，所以 ，

所以①变形为 ，化简得 ，其中 或 ，

所以 或 ，

综上两种情况， 的取值范围为 .

【解析】【分析】 (1) 设直线  的方程为    ，     ，     ，  联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，结合二次函数的性质求解最大值即可；
(2) 设    ，     ，   的中点    ， 第一种情况,分析判断即可，第二种情况，假设直线AB不平行于x轴，直线AB不平行于y轴，即   ,利用平方差法，结合MN⊥AB，推出 ， 然后求解范围即可.

22.【答案】 〔1〕解：∵ ，∴

①当 时， ，那么 在 上单调递增，无递减区间；

②当 时，令 ，得

的解集为 ， 的解集为

那么 在 上单调递减，在 上单调递增

〔2〕由〔1〕知函数f(x)有三个零点，那么

∵ 在 上单调递减，在 上单调递增

∴ 的极大值为 ，且极大值大于 ，极小值为

∵ 有三个不同的零点 ，∴

解得 ，故 的取值范围为 ．

又∵ ，当 时，有 ，当 时，有 ．

∴设 ，由零点存在性定理知 ．

∴

又∵

∴ ，

因此 ．

【解析】【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论t的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)根据函数的单调性以及零点存在性定理求出   、  、   的范围，证明结论成立即可.