2021届云南省昆明市高三上学期理数”三诊一模“摸底诊断测试试卷及答案

这是一份2021届云南省昆明市高三上学期理数”三诊一模“摸底诊断测试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三上学期理数〞三诊一模“摸底诊断测试试卷
一、单项选择题
1.如图，复数 在复平面内对应的点为〔    〕

A. E                                           B. F                                           C. G                                           D. H
2.集合 ，集合 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
3.向量 ， ， ，那么 与 的夹角为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
4.为等比数列，假设 ， ， 成等差数列，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 8
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，那么这个零件的体积等于〔    〕

A. 6π                                       B. 8π                                       C. 12π                                       D. 14π
6.双曲线 的顶点到渐近线的距离为〔    〕
A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 1
7.下边程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的"辗转相除法"，其中 表示不超过x的最大整数.执行该程序框图，假设输入的a ， b分别为196和42，那么输出的b的值为〔    〕.

A. 2                                          B. 7                                          C. 14                                          D. 28
8.假设函数 ( )的图象向左平移 个单位后，所得图象关于原点对称，那么 的最小值为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
9.在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，假设用 (单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.某算法的时间复杂度 ( )，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，那么要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，那么n的最大值为〔    〕
A. 40                                         B. 50                                         C. 60                                         D. 70
10. 是正方体 的中心O关于平面 的对称点，那么以下说法中错误的选项是〔    〕

A. 平面
B. 平面 平面
C. 平面
D. ， ， ， ， ， 六点在同一球面上
11.函数 ，假设 有四个不同的零点，那么a的取值范围为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
Ap固定不变，按“复利〞计算本息和，分n个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，那么此人每月还款金额为〔    〕
A. 元                        B. 元                        C. 元                        D. 元
二、填空题
x ， y满足约束条件 ，那么 的最大值等于________.
14.的展开式中 的系数为________(用数字作答)
15.随着?生物多样性公约?第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性〞的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到 ，假设将 的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有________株.附∶假设 ，那么 ， .
C∶ ( )的焦点为 ，第一象限内的A ， B两点都在C上，O为坐标原点，假设 ， ，那么点A的坐标为________.
三、解答题
17. 的三个内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， .
〔1〕求B；
〔2〕设 ， ，求c.
18.函数 .
〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕证明∶对任意的 ，都有 .
19.如图，在四棱台 中， 平面 ，H是 的中点，四边形 为正方形， .

〔1〕证明∶平面 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20.甲､乙两位选手在某次比赛的冠､亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负.甲､乙以往进行过屡次比赛，假设从中随机抽取20局比赛结果作为样本，抽取的20局中甲胜12局､乙胜8局，假设将样本频率视为概率，各局比赛结果相互独立.
〔1〕求甲获得冠军的概率；
〔2〕此次决赛设总奖金50万元，假设决赛结果为 ，那么冠军奖金为35万元，亚军奖金为15万元；假设决赛结果为 X的分布列和数学期望.
C∶ ( )的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为C上一点， 面积的最大值为 .
〔1〕求C的标准方程；
〔2〕点 ，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A ， B两点，且 .试问∶ 的面积是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；假设不存在，说明理由.
22.平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ( 为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
〔2〕设 ，假设直线l与曲线C交于A ， B两点，求 .
23.函数 .
〔1〕当 ， 时，求不等式 的解集；
〔2〕设 ， ，假设 的最小值为2，证明∶ .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，其复平面对应点坐标为 ，
故对应的点在第四象限。
故答案为：D.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。
2.【解析】【解答】由 得 ，所以 ，
所以 。
故答案为：B

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的交集。
3.【解析】【解答】由题设知： ，
∴ ，又因为 ，
∴ ，由 ，那么有 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合数量积的定义，进而求出两向量的夹角的余弦值，再利用向量夹角的取值范围，进而求出两向量的夹角。
4.【解析】【解答】设 的公比为 ，那么 ，而 ， ， 成等差数列，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ 。
故答案为：A.

【分析】利用等差中项公式结合等比数列通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的性质，进而求出的值。
5.【解析】【解答】由三视图可得，底面半径为2，高为3的圆锥体和底面半径为1，高为2的圆柱体组合而成的几何体，

∴ 。
故答案为：A.

【分析】由三视图可得，底面半径为2，高为3的圆锥体和底面半径为1，高为2的圆柱体组合而成的几何体，再利用圆柱和圆锥的体积公式，进而结合求和法求出这个零件的体积。
6.【解析】【解答】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，
由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，
∴ ，即顶点到渐近线的距离为 。
故答案为：C.

【分析】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，再利用点到直线的距离公式，进而求出顶点到渐近线的距离。
7.【解析】【解答】初始值为 ，
第一次循环后， ，
第二次循环后， ，
第三次经过处理框执行后， ，此时输出的b的值为14。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而求出输出的b的值。
8.【解析】【解答】由解析式，图象向左平移 个单位，那么 ，
∴ 图象关于原点对称，即 ，得 ， ，
∴当 时， 的最小值为 。
故答案为：B.

【分析】利用正弦型函数的图像平移，那么 ，再利用奇函数图象关于原点对称，再结合函数图象关于原点对称，从而求出， 又因为， 从而结合特殊值法求出的最小值。
9.【解析】【解答】由题意知：
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴满足1秒内完成一次运行，n的最大值为50。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合算法的顺序结构、条件结构和循环结构，进而求出满足1秒内完成一次运行的n的最大值。
10.【解析】【解答】对于A，如图：因为 为正方体的中心， 与 关于平面 对称，所以 ，
且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
 
对于B，以 为原点， 分别为 轴建立如下列图的空间直角坐标系：

设正方体的棱长为 ，那么 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，那么 ，所以 ，
由 ，得 ，取 ，那么 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以平面 平面 ，B符合题意；
对于C，以 为原点， 分别为 轴建立如下列图的空间直角坐标系：

设正方体的棱长为 ，那么 ， ， ， ， ，
， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 平面 ，C符合题意；
对于D，假设 ， ， ， ， ， 六点在同一球面上，根据 为正方体的中心， 与 关于平面 对称可知该球的球心为 的中点，设为 ，

设正方体的棱长为 ，那么 ，但是 ， ，不满足 ，
所以假设不成立，故 ， ， ， ， ， 六点不在同一球面上，D不正确.
故答案为：D

【分析】如图：因为 为正方体的中心， 与 关于平面 对称，所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，再利用平行四边形的性质推出线线平行，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，即平面 ，再利用条件结合空间向量的方法证出两向量垂直，进而结合法向量的性质，从而证出面面垂直，即平面 平面 ，再结合条件和空间向量的方法证出两向量垂直，进而结合线线垂直证出线面垂直，即平面 ，利用反证法，假设 ， ， ， ， ， 六点在同一球面上，根据 为正方体的中心， 与 关于平面 对称可知该球的球心为 的中点，设为 ，设正方体的棱长为 ，那么 ，但是 ， ，不满足 ，从而推出矛盾，所以假设不成立，故 ， ， ， ， ， 六点不在同一球面上，进而选出说法错误的选项。
11.【解析】【解答】由题意知： 有四个不同的零点，
∴ ，那么 有四个不同的解，
当 时， ，其零点情况如下：
1〕当 或 时，有 ；
2〕当 或 时， 或 ；
当 时， ，那么有如下情况：
1〕当 时 ，即 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；
2〕当 时，在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，而 有 ， 有 ，所以只需 ，得 时， 必有两个零点，
∴综上所述，当 时， 在 、 上各有两个零点，即共有四个不同的零点。
故答案为：A.

【分析】由题意知： 有四个不同的零点，再结合函数的零点与方程的解的等价关系，再利用，那么 有四个不同的解，当 时， ，再利用分类讨论的方法，结合求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，从而确定函数 的零点情况，从而求出满足要求的实数a的取值范围。
12.【解析】【解答】因为贷款金额为A元，月利率p固定不变，分n个月还清，所以本息和一共为 元，
设每一个月还款金额为Q元，那么 ，
由等比数列求和公式得 ，所以 ，
所以每月还款金额为 元。
故答案为：D.

【分析】因为贷款金额为A元，月利率p固定不变，分n个月还清，所以本息和一共为 元，设每一个月还款金额为Q元，那么 ，再利用等比数列前n项和公式，进而求出每月还款金额。
二、填空题
13.【解析】【解答】如图，画出可行域和目标函数，

可得 在点 处取得最大值，
此时 。
故答案为： 。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值。
14.【解析】【解答】 ，
令 ，所以 ，
其系数为 。
故答案为：40。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数。
15.【解析】【解答】由题意知： ，而 ，
∴ ，
∴10000株滇山茶建档的约有228株。
故答案为：228。

【分析】利用条件结合正态分布对应的函数图象的对称性，进而估算出10000株滇山茶建档的株树。
16.【解析】【解答】如图，过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，

设 ，由 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理 ，故在 中，
，
解得 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为： 。

【分析】过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，设 ，由 且 ，所以 ，再利用椭圆的定义结合条件求出， 再利用椭圆的定义求出AF的长，同理 ，在 中，利用余弦定理结合条件，进而求出p的值，从而求出点A的坐标。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理，再结合三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再利用两角和的正弦公式，进而结合同角三角函数根本关系式，进而求出角B的正切值再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
〔2〕利用条件结合余弦定理，进而得出 ， 再利用余弦定理求出c的值。
18.【解析】【分析】(1)利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
〔2〕利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最小值，进而证出 对任意的 ，都有 。
19.【解析】【分析】〔1〕 因为为正方形，即 ，又因为 面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面 平面 。
〔2〕 由题意， ， ， 两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系 ，设 ， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用频数除以样本容量等于频率的公式，结合用样本频率估计概率可知，进而求出每局比赛甲获胜的概率，再利用对立事件求概率公式，进而求出每局比赛乙获胜的概率，再结合二项分布求概率公式结合互斥事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式，进而求出甲获得冠军的概率。
〔2〕利用条件求出随机变量X可能的取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆的结构特征结合三角形 面积的最大值为 ，从而求出bc的值，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆离心率为 ，进而求出a,c的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b,c的值，从而求出椭圆的标准方程
〔2〕利用条件设直线 的方程为 ， ， ， 再利用直线l与C交于A ， B两点，联立二者方程结合判别式法得出 ， 再利用韦达定理结合 ，得 ， 再结合两点求斜率公式，进而得出 ， 所以直线l： 经过 ，且 恒成立， 再利用三角形面积公式结合三角形面积之间的关系，得出，令 ，那么 ，所以 ，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出三角形 的面积的最大值。
22.【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化公式，再结合参数方程与普通方程的转化方法，进而结合条件求出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
〔2〕 设 ，再利用直线l与曲线C交于A ， B两点，联立二者方程结合韦达定理，再结合两点距离公式，进而求出 的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a,b的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，进而求出不等式 的解集。
〔2〕利用绝对值的三角不等式，得出 ， 因为 的最小值为2且 ， ，所以 ，进而求出 ， 再利用均值不等式变形求最值的方法，进而证出 。