2021届北京市昌平区高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届北京市昌平区高三数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.             B.             C.             D. 或
2.复数 ，那么 的共轭复数 的虚部为〔    〕
A. 2                                          B. 1                                          C. -1                                          D. -2
3.某四棱锥的三视图如下列图，该四棱锥的体积是〔    〕

A. 24                                        B. 36                                        C. 54                                        D. 108
4.双曲线 的离心率为 ，那么其渐近线方程为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
5.以下函数中，最小正周期为 的奇函数是〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
6.过原点且倾斜角为45°的直线被圆 所截得的弦长为〔    〕
A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 8
7.设 ， 为非零向量，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件
8.中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原那么.例如?周髀算经?里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长那么是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. ?周髀算经?中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么?周髀算经?中所记录的立夏的晷影长应为〔    〕
A. 3.4尺                                B. 4.36尺                                C. 5.32尺                                
9.将函数 〔 〕的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，那么 的最小值是〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 
10.棱长为1的正方体 ， 是 的中点，动点 在正方体内部或外表上，且 平面 ，那么动点 的轨迹所形成区域的面积是〔    〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 2
二、填空题
11.向量 ， ，那么 ________.
12.在 的展开式中， 的系数为 ________.〔用数字作答〕
13.以下列图是国家统计局发布的2021年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；那么给出以下三个结论：①2021年11月居民消费价格低于2021年同期；②2021年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2021年7月的消费价格低于2021年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是________.

说明：⒈在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2021年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2021年4月与2021年3月相比较.
⒉同比增长率= ，环比增长率= .
14.在 中， ， ，那么 ________； ________.
15.抛物线 与椭圆 有一个公共焦点 ，那么点 的坐标是________；假设抛物线的准线与椭圆交于 两点， 是坐标原点，且 是直角三角形，那么椭圆 的离心率 ________.
三、解答题
16.数列 的前 项和为 ， ， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为，并完成解答.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
条件①： ；条件②： ；条件③： .
17.某大学为了解学生对 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反响，总分值为100分，得到的相应数据整理如下表：
分数





A图书频数
2
2
8
20
18
B图书频数
2
10
10
12
16
学生对图书的“评价指数〞如下表：
分数



评价指数
1
2
3
〔1〕从 两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对 图书“评价指数〞为2的概率；
〔2〕从对 图书“评价指数〞为1的学生中任选3人进一步访谈，设 为3人中评分在 内的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
〔3〕试估计学生更喜好 哪一本图书，并简述理由.
18.如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形， ， .

〔1〕求证： ；
〔2〕求二面角 的大小；
〔3〕在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?假设存在，求 的值；假设不存在，说明理由.
19.椭圆C： 过点 ，且离心率为 .
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕设直线 与椭圆C有两个不同的交点 ，当 时，求实数k的取值范围.
20.函数 .
〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕假设 对于任意的 都成立，求实数 的取值范围.
21.对于有限数列 ， ， ， ，定义：对于任意的 ， ，有〔1〕 ；〔2〕对于 ，记 .对于 ，假设存在非零常数 ，使得 ，那么称常数 为数列 的 阶 系数.
〔1〕设数列 的通项公式为 ，计算 ，并判断2是否为数列的4阶 系数；
〔2〕设数列 的通项公式为 ，且数列 的 阶 系数为3，求 的值；
〔3〕设数列 为等差数列，满足-1，2均为数列 的 阶 系数，且 ，求 的最大值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】由题设， ，即 ，其虚部为-1。
故答案为：C

【分析】利用条件结合复数乘法运算法那么，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的共轭复数 的虚部。
3.【解析】【解答】由三视图可复原几何体如以下列图所示：

其中四边形 为边长为6的正方形，四棱锥的高 ，
∴四棱锥的体积 。
故答案为：B.

【分析】由三视图可复原几何体为四棱锥，其中四边形 为边长为6的正方形，四棱锥的高 ，再利用四棱锥的体积公式，从而求出该四棱锥的体积。
4.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以其渐近线方程为 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合双曲线的离心率公式，再结合双曲线中a,b,c 三者的关系式，从而求出的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的渐近线方程。
5.【解析】【解答】A． 的最小正周期为 ，不符合；
B．记 ，所以 ，且定义域为 ，所以为偶函数，不符合；
C． ，显然为偶函数，不符合；
D． 最小正周期为 ，且为奇函数，符合，
故答案为：D.

【分析】利用条件结合正弦型函数和余弦型函数的最小正周期公式，再利用奇函数的定义，从而找出最小正周期为 的奇函数的函数。
6.【解析】【解答】由题意得：直线的斜率 ，且直线过原点，
所以直线的方程为 ，
圆的方程化为： ，即圆心为〔0,2〕，半径 ，
所以圆心〔0,2〕到直线 的距离 ，
所以直线被圆所截得弦长为 。
故答案为：A

【分析】利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相交的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而求出圆心〔0,2〕到直线 的距离，再利用弦长公式，从而求出过原点且倾斜角为45°的直线被圆 所截得的弦长。
7.【解析】【解答】 ， 为非零向量，“ 〞展开为：
∴“ 〞是“ 〞的充要条件.
故答案为：C.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞的充要条件。
8.【解析】【解答】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列 的前13项，那么
所以公差为 ，
那么立夏的晷影长应为 (尺)。
故答案为：B

【分析】利用条件设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列 的前13项，那么 ， 再利用等差数列的通项公式，从而求出公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出立夏的晷影长。
9.【解析】【解答】将 向右平移 个单位长度可得 ，
因为过点 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 的最小值是2。
故答案为：B

【分析】利用条件结合正弦型函数的图象变换，得出函数g(x)的图象，从而求出函数g(x)的解析式，再利用函数g(x)过点 ，从而结合代入法得出， 又因为 ，从而求出 的最小值 。
10.【解析】【解答】如下列图， E、F、G、M分别是 、 、 、 的中点，

那么 ， ，所以 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ，故点P的轨迹为矩形 ，
，所以 ，所以 。
故答案为：A

【分析】E、F、G、M分别是 、 、 、 的中点，那么 ， ，再利用线线平行推出线面平行，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面平行推出面面平行，所以平面 平面 ，故点P的轨迹为矩形 ，，所以 ，再利用三角形的面积公式，从而求出动点 的轨迹所形成区域的面积。
二、填空题
11.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 。
故答案为: 。

【分析】利用条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量求模的坐标表示，从而求出向量的模。
12.【解析】【解答】 展开的通项为 ，
令 ，得 ，
此时 的系数为 。
故答案为：-80。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数 。
13.【解析】【解答】对于①：由图可知2021年11月同比增长率为-0.5，由同比增长率的计算公式可得，2021年11月居民消费价格低于2021年同期，故①正确；
对于②：由图可知，2021年3月至6月的环比增长率为负，由环比增长率的计算公式可得消费价格下降，故②错误；
对于③：设2021年3月居民消费价格为 ，4月消费价格为 ，5月消费价格为 ，6月消费价格为 ，7月消费价格为 ，
由题意得： ，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
所以 ，
所以2021年7月消费价格低于2021年3月消费价格，故③正确.
故答案为：①③

【分析】利用条件结合折线图中的数据，再利用统计的知识，从而找出正确结论的序号。
14.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 〔或 舍去〕，
所以 。
故答案为：6； 。

【分析】利用条件结合余弦定理和一元二次方程求解集的方法，从而求出c的值；再利用二倍角的正弦公式结合正弦定理，从而求出的值。
15.【解析】【解答】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为 ，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点 ，且抛物线准线方程为 ，椭圆左焦点为 ，
联立 与椭圆 ，可得 ，
因为 是直角三角形，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
左右同除 可得 ，解得 ，
又 ，所以椭圆 的离心率 。
故答案为： ； 。

【分析】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为 ，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点 ，且抛物线准线方程为 ，椭圆左焦点为 ，联立 与椭圆 方程，从而求出交点的坐标，因为 是直角三角形，所以，又因为椭圆中a,b,c三者的关系式，所以 ，左右同除 结合椭圆的离心率公式，可得 ，再解一元二次方程结合椭圆的离心率的取值范围，从而求出椭圆的离心率。
三、解答题
16.【解析】【分析】 〔1〕数列 的前 项和为 ， ， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为，并完成解答。 (不能选择①③作为条件)，假设选择①②作为条件， 因为 ， ， 再利用等差数列的定义，得出数列 是以 为首项，公差 的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式；假设选择②③作为条件，因为 ，再利用等差数列的定义，得出数列 是以 为首项，公差为 的等差数列， 因为 ，再利用数列求和公式，所以 ， 再利用等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕 条件①： ；条件②： ；条件③： ， 设等比数列 的公比为 ，结合〔1〕可得 ， ， 再利用等差数列的性质从而求出公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而求出数列 的前 项和 。
17.【解析】【分析】〔1〕利用用统计结合古典概型求概率公式，从而求出估计出其对 图书“评价指数〞为2的概率。
〔2〕利用条件求出随机变量X的所有可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
〔3〕 设学生对 图书的“评价指数〞为 ，对 图书的“评价指数〞为 ，再利用条件求出随机变量和的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量和的数学期望，再利用数学期望比较法，从而估计出学生更喜好图书 。
18.【解析】【分析】〔1〕 在直四棱柱 中， 底面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，从而证出 。
〔2〕 因为 平面 ，且 ，所以 两两垂直，从而建立空间直角坐标系 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的大小 。
〔3〕 设 ，再利用三角形法那么结合平面向量根本定理和向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，由(2)知平面 的一个法向量为 ，    因为 平面 ，可得 ， 再利用向量共线的坐标表示，解得 ，所以，在线段 上存在点 使得 平面 ，从而求出 的值。
 
19.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C： 过点 ，结合代入法求出a,b的关系式，再利用条件椭圆的离心率为 ，再结合椭圆的离心率公式从而求出a,c的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕用两种方法解决。 解法1：当 时，此时 为椭圆的左右顶点，显然成立，当 时，① 时，显然不成立，
②当 ，即 时，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得 ，因为直线l与椭圆C有两个交点，从而结合判别式法得出， 再结合韦达定理和中点坐标公式，得出线段AB的中点M的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线MP的斜率，由 ，得 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，解得的值，将m的值代入到 中，解得实数k的取值范围。
解法2：利用直线与椭圆相交，联立二者方程得，因为直线l与椭圆C的有两个交点，从而结合判别式法得出， 再结合韦达定理，由 得 ，从而 ，由 得 ，解得k和m的值，将m的值代入到中，得出实数k的取值范围。
20.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
〔2〕利用两种方法解题。解法一， 由，对于任意的 ， 都成立，
即对于任意的 ， 都成立，当 时， 显然成立，当 时，对于任意的 ， 都成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，设 ，那么 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的极值，进而求出函数g(x)的最小值，所以 在区间 上恒成立,所以函数 在区间 上是增函数,从而求出函数f(x)的最小值， 即 对于任意的 都成立，从而求出实数a的取值范围。 解法二，设 ， 再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的极值，进而求出函数g(x)的最小值， 所以 在区间 上恒成立，所以函数 在区间 上是增函数，从而求出函数f(x)的最小值，即 对于任意的 都成立，从而求出实数a的取值范围。
21.【解析】【分析】〔1〕利用常数 为数列 的 阶 系数的定义结合数列 通项公式为 ，再利用等比数列的定义推出数列 为等比数列，且 ， 再利用数列求和公式得出 ，当 时，
， 从而判断出2是数列 的4阶 系数。
〔2〕 因为数列 的 阶 系数为3，所以当 时，存在 ，使 成立，设等差数列 的前 项和为 ，再利用等差数列前n项和公式得出       设等差数列 的前 项和为 ， ， 再利用等差数列前n项和公式得出， 再利用分类讨论的方法求出m的值。
〔3〕   设数列 为等差数列，满足-1，2均为数列 的 阶 系数， ，那么存在 ，使   成立，设数列 的公差为 ，构造函数 ，
由得 ，再结合函数零点的定义，所以，函数 至少有三个零点 ， ， ，由函数 的图象与性质，可知 为偶数，且满足 ， 从而解一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数m的取值范围，构造等差数列 为： ，可知当 时命题成立，从而求出 的最大值。