2021届广东省汕头市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省汕头市高三数学二模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省汕头市高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，那么 〔    〕
A. -10                                         B. 10                                         C. -8                                         D. 8
R ， 集合 ，那么 =〔    〕
A.            B. 或            C. 或            D. 
3.交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通平安教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通平安知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，那么李明同学至少答对2道题的概率是〔    〕
A. 0.36                                   B. 0.576                                   C. 0.648                                   
4.数列 中各项为非负数， ， ，假设数列 为等差数列，那么 〔    〕
A. 169                                       B. 144                                       C. 12                                       D. 13
5.函数 ， 的图象如下列图，那么该函数的解析式可能为〔    〕

A.                                             B. 
C.                                             D. 
6.根据中央对“精准扶贫〞的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村假设要求这3人中既有男性，又有女性，那么不同的选法共有〔    〕
A. 35种                                    B. 30种                                    C. 28种                                    D. 25种
C： 的左､右焦点分别是 ､ ，过 的直线l与C交于A ， B两点，设O为坐标原点，假设 ，那么四边形 面积的最大值为〔    〕
A. 1                                        B.                                         C.                                         D. 
8.十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的根底.著名的“康托三分集〞是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的根底上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集〞．假设使去掉的各区间长度之和不小于 ，那么需要操作的次数n的最小值为〔    〕参考数据： ，
A. 6                                           B. 7                                           C. 8                                           D. 9
二、多项选择题
9.菱形 边长为1， ，E是 中点，F是 中点，M是 中点，延长 交 于N(如下列图)，设 ， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. .                  B.                  C.                  D. 
10.2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号〞探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号〞探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米､远火点n千米，火星半径为r千米，假设用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，那么以下关系中正确的选项是〔    〕

A.                                                   B. 
C. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长                 D. 
11.正方体 ，的棱长为4， 平面α ， ，那么关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的选项是〔    〕
A. α截得的截面形状可能为正三角形                       B. 与截面α所成角的余弦值为
C. α截得的截面形状可能为正六边形                       D. β截得的截面形状可能为正方形
12.抛物线方程为 ，直线 ，点 为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B ， 那么以下选项正确的选项是〔    〕
A. 当 时，直线 方程为                   B. 直线 过定点
C. 中点轨迹为抛物线                                        D. 的面积的最小值为
三、填空题
13.展开式的常数项为________.
14.假设 ，那么 的最小值为________.
15.在菱形 中， ， ，E为 中点，将 沿直线 翻折成 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球外表积为________.
16. ， ，假设方程 有四个不等实根，那么a的取值范围为________.
四、解答题
A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A ， B ， C ， D各地的示意图如下列图， ， ， ， ， ，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.假设小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： )，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保存3位小数)(参考数据： ， )

18.数列 的前n项和 满足： ， 且 ， .
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕 是等差数列，且 ， ， ，求数列 的前n项和 .
19.“十三五〞期间脱贫攻坚的目标是，到2021年稳定实现农村贫困人口不愁吃､不愁穿，农村贫困人口义务教育､根本医疗､住房平安有保障；同时实现贫困地区农民人均可支配收入增长幅度高于全国平均水平､根本公共效劳主要领域指标接近全国平均水平.脱贫攻坚已经到了啃硬骨头､攻坚拔寨的冲刺阶段，必须以更大的决心､更明确的思路､更精准的举措､超常规的力度，众志成城实现脱贫攻坚目标，决不能落下一个贫困地区､一个贫困群众.四川省某县贫困户有3400户，2021年开始进行了脱贫摘帽的规划，2021年至2021年脱贫户数逐年增加，如下表
年份
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
脱贫的户数y
60
110
210
340
660
1010
1960
根据以上数据，绘制了散点图.

参考数据：





621

25350


其中 ，
〔1〕根据散点图判断，2021年至2021年期间， 与 (c ， d均为大于零的常数)哪一个适宜作为脱贫户数y关于年份t的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)？
〔2〕根据〔1〕的判断结果及上表中数据，建立y关于t的回归方程，并计算该县2021年能脱贫攻坚成功吗？
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
20.如图，在三棱柱 中，四边形 为正方形，四边形 为菱形，且 ，平面 平面 ，点D为棱 的中点.

〔1〕求证： ；
〔2〕棱 (除两端点外)上是否存在点M ， 使得二面角 的余弦值为 ﹐假设存在，请指出点M的位置；假设不存在，请说明理由.
21.双曲线方程为 ， ， 为双曲线的左､右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 ， .
〔1〕求双曲线的标准方程；
〔2〕过点 作直线 交双曲线于 两点，那么在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值，假设存在，请求出 的值和该定值，假设不存在，请说明理由.
22.函数 ，
〔1〕假设函数 (其中： 为 的导数)有两个极值点，求实数a的取值范围；
〔2〕当 时，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 所对应的点关于虚轴对称， ,
,
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的几何意义整理，再结合复数代数形式的运算性质即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，解得 ，
∴ ，
∴ 或 ,
故答案为：B.

【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集由此得出集合A，再由补集的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】根据题意可得：3道题中至少答对2道题有答对2道和答对3题这两种情况，
那么3道题中至少答对2道题的概率为 .
 
故答案为：C.

【分析】由条件即可得出3道题中至少答对2道题有答对2道和答对3题这两种情况，再结合n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】解：由题意 ，
，又因为数列 是等差数列，
所以 ，且 满足各项为非负数，
那么有 ，
可得
故答案为：B

【分析】根据题意由等差数列的通项公式整理即可得出公差的值，再把数值代入到通项公式计算出结果即可。
5.【解析】【解答】取x=0,对于A： ；对于B： ；对于C： ；对于D： ，结合图象中f(0)=0,故排除BD.
取x= ,对于A： ,对于C： ,结合图象，可排除C.
故答案为：A.

【分析】由特殊值代入法对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】从7名党员选3名去甲村共有 种情况，3名全是男性党员共有 种情况，
3名全是女性党员共有 种情况，
3名既有男性，又有女性共有 种情况.
故答案为：B

【分析】根据题意由组合的定义即可得出：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男
2女两种情况，利用对立事件的定义即可得出答案。
7.【解析】【解答】由得假设 ，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令 , ,当 ,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时 面积取得最大值为 ，∴四边形AOBE的面积最大值为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由条件即可求出当△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ， 再联立直线与椭圆的方程消元后得到得到关于y的方程，结合二次函数的性质对判别式进行限制，再由三角形的面积公式整理得出， 令由根本不等式求出最大值，以及取得最值时t的取值，从而计算出面积的最大值即可。
8.【解析】【解答】记 为第n次去掉的长度，
，剩下两条长度为 的线段，第二次去掉的线段长为 ，
第 次操作后有 条线段，每条线段长度为 ，因此第 次去掉的线段长度为 ，
所以 ， ， ，
，n的最小值为9．
故答案为：D．

【分析】 根据题意先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n次操作去掉的区间的长度和为， 把n次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前n项和，求出前n项和Sn ， 再
求解不等式即可.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由F是 中点可得，
，A符合题意；
因为E是 中点，M是 中点，所以 ,又 ,
所以 错误，B不符合题意；
因为 ， ，
所以 ，C符合题意;
假设 ，那么 ，即 ,
即 ,由图形可知显然不成立，D不符合题意.
故答案为：AC

【分析】根据题意由向量的加、减运算性质以及数量积的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：对于A，由图可知，a1+c1>a2+c2 ， 故A错误；
对于B，由图可知，a1-c1=a2-c2 ， 故B正确；
对于C，由题意得a2+c2=n+r，a2-c2=m+r，
∴
∴
那么椭圆轨道Ⅱ的短轴长为， 故C正确；
对于D，∵a1-c1=a2-c2=|PF|>0，c1>c2>0，
∴
∴
∴a2c1>a1c2
故D错误.
故答案为：BC
【分析】根据椭圆的几何性质直接求解即可.
11.【解析】【解答】解：A选项：为正三角形的情况为△B1CD1 ， 故A正确；
B选项：不妨设截面a是△B1CD1 ， 由于直线与平面所成角的余弦值等于直线与平面法向量所成角正弦值，且AC1为平面B1CD1的法向量，那么∠A1AC1即为直线与法向量为夹角，
设夹角为θ，那么其正弦值为， 故B正确；
C选项：为正六边形的情况为A1D1 ， A1B1 ， B1B，BC，CD，D1D中点连线构成，故C正确；
D选项：由于直线AC1为体对角线，且， 在正方体上任找一点(排除A1C1)与A1C1可构成平面β，但无法得到正方形截面,故D错误.
故答案为：ABC
【分析】根据正方体的几何特征，利用向量法求直线与平面所成的角，结合正三角形及正六边形的几何特征求解即可.
12.【解析】【解答】 ， ，设 ，
那么 ，即 ，
同理 ， 都过点 ，
直线 ，即 ，
当 时， .A符合题意；
， ， 直线 过定点 ，B不符合题意；
联立 ，消去 得 ， ， ，
， 中点坐标为 ，故其轨迹方程为 ，C符合题意；
， ，
，
∴当 时， ，D符合题意；
故答案为：ACD

【分析】 根据题意首先对函数求导，由此得出切线的斜率，再设出点的坐标由此即可得出直线的方程，然后联立两个直线的方程求出和， 由特殊值法代入即可判断出选项A正确；由直线的性质即可得出直线过的定点，由此判断出选项B错误；联立直线与抛物线的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理即可得出， 再结合中点的坐标公式整理即可判断出选项C正确；由弦长公式结合三角形二面角公式代入，再由二次函数的性质整理即可得出面积的最小值，由此判断出选项D正确，由此得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】，
要得到常数项有以下方式：〔1〕5个式子都取-2相乘得 ；〔2〕5个式子取1个 ，余下的取1个 ，再余下的都取-2得 ；〔3〕5个式子取2个 ，余下的取2个 ，再余下的都取-2得 ，
所求常数项为 .
故答案为：-252.

【分析】根据题意首先由二项式的通项公式展开，再由题意分情况讨论得出不同情况下的项的系数，最后把结果加起来即可。
14.【解析】【解答】解：由 的 ， 那么  ，
当时，  取得最小值为 .
故答案为：
【分析】根据两角差的余弦公式，结合余弦函数的性质求解即可.
15.【解析】【解答】如图，

由余弦定理可得 ，

所以 , ， 即 ,
取 的中点F ， M ， 连接 ,
所以 是 的外心，
因为 面积为定值，所以当平面 平面 时，棱锥的高最大，体积最大，
此时由 可得 平面 ,
由 分别为中点可得 ,所以 平面 ，又 ,
所以 是三棱锥 外接球的球心，所以 ，
所以外接球的外表积 .
故答案为：

【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出边的大小，再由勾股定理计算出直线垂直，由此得出是 的外心，再由题意即可得出当平面 平面 时，棱锥的高最大，体积最大，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合平行的传递性整理即可得出平面 ， 利用球的几何性质代入数值计算出R的值，再把数值代入到外表积公式计算出结果即可。
16.【解析】【解答】 ，两边除以 得
，即 ，
令 ，那么
令 ， ，那么 ，
当 ， ，当 时，
由 的单调性可知，假设原方程有四个不等实根，那么只需 式在 上有两个不等实根，
令 ，那么 ， .
故答案为：

【分析】由条件整理化简得到令， 整理得出构造函数姐导函数的性质得出函数h(x)的单调性，由函数的单调性结合方程根的情况即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合正弦定理代入数值计算出BC的值，然后由余弦定理代入数值计算出CD和AB的值，结合题意分情况讨论计算出路程，由此得出 最短送餐路径为 ，计算出时间即可。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)根据条件整理得出再设出数列的公差，由条件代入计算出从而求出公差的值，进而得到数列的通项公式， 从而得出， 由错位相消法即可得出答案。
19.【解析】【分析】(1)根据题意有散点图中的数据即可判断出， 是 关于 的回归方程类型。
(2)首先由代数的运算性质整理化简得到， 由公式代入数值计算出
，把 代入 ，得 ， 由此得出，把 代入上式， 计算出y的值，由此得出 关于 的回归方程 ，从而得出结论。
 
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即结合三角形的几何形状即可得出再由正方形的性质以及中点的性质即可得出， 由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)法一：利用面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此 以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴， 建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 或 ， 从而得出 点 为棱 的中点，或者点 为棱 的八等分点。
法二：利用面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴 建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 或 ， 点 为棱 的中点，或者点 为棱 的八等分点(靠近 端)。
21.【解析】【分析】(1)解法一：由双曲线的离心率公式，结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系整理求出
， 再由数量积的性质得出线线垂直，结合双曲线的定义以及勾股定理整理即可得出
求解出c的值，由此得出双曲线的方程。
解法二：由双曲线的离心率公式，结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系整理求出， 设出点的坐标，并代入到双曲线的方程， 再由数量积的坐标公式整理点到， 结合三角形的面积公式整理点到， 结合上式计算出a与b的值由此得出双曲线的方程。
(2)解法一： 当 斜率为0时 ，直接计算出结果即可； 当 斜率不为0时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式， 再由数量积的坐标公式代入整理，得到即求出m的值，由此代入计算出结果即可。
解法二： 当 斜率为0时， 直接计算出结果即可； 当 斜率不为0时， 由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式， 再由数量积的坐标公式代入整理得出， 假设 为定值，那么 求解出m的值，由此得到即。
解法三： 当 斜率不存在时， ，直接计算出结果即可；当 斜率不为0时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由数量积的坐标公式代入整理得出， 假设 为定值，那么 ， 求出m的值，由此得出点Q的坐标，从而得出结论即可。
22.【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数f(x)的导函数，由此得出函数g(x)的解析式，并对其求导然后令
 
结合题意由极值的定义即可得出， 在 有两个变号零点，结合一元二次方程根的情况 看得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
(2)法一：根据题意整理得出， 构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出 x>0时g(x)>0,即 . 令 , 对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出成立，从而得出， 再由当 ， ，得证出结论即可。
法二： 依题意，要证： , 对x分情况讨论， 即要证： , 令， 由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出， 即， 即由此得证出结论。