2021届高考理数押题密卷A及答案

这是一份2021届高考理数押题密卷A及答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，〔二〕选考题， [选修4-5等内容，欢迎下载使用。
高考理数押题密卷A
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
1.集合 ，那么图中阴影局部的集合为〔    〕

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2. 〔其中i为虚数单位〕，那么复数 〔   〕
A.                                           B.                                           C. 1                                          D. 2
3.为了丰富教职工业余文化生活，某校方案在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
4.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t〔天〕满足的函数关系式为 ．假设采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度〔 ，结果取整数〕〔    〕
A. 23天                                    B. 33天                                    C. 43天                                    D. 50天
5.过椭圆内定点 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 的“好弦〞．在椭圆 中，过点 的所有“好弦〞的长度之和为〔    〕
A. 120                                      B. 130                                      C. 240                                      D. 260



6. 、 、 均为单位向量，且满足 ，那么 的值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 



7.在 中， ，那么 的最大值为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
8.某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体积为〔    〕

A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 4
9.函数 ，那么以下说法错误的选项是〔    〕
A. 的一条对称轴为                                B. 在 上是单调递减函数
C. 的对称中心为                                    D. 的最大值为
10.设函数 ，直线 是曲线 的切线，那么a+b的最大值是〔    〕
A.                                      B. 1                                     C.                                      D. 
11.坐标原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点.假设点 ，那么 面积的最大值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 1
12.函数 ， ，假设 ， ，那么 的最大值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13.假设实数 满足约束条件 ，那么 的最大值是________．
14.的展开式的常数项是________．
15.四棱锥 的顶点均在球 的球面上，底面 是矩形， ， ， ，二面角 大小为120°，当 面积最大时，球 的外表积为________．
16. 是奇函数，定义域为 ，当 时， 〔 〕，当函数 有3个零点时，那么实数 的取值范围是________.
三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.己知数列 满足
〔1〕证明:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式;
〔2〕设 为数列 的前 项和，证明
18.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在 分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如下列图：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手〞．
〔参考公式： ，期中 〕
















〔1〕求 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；
〔2〕现采用分层抽样的方式从分数落在 ， 内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手〞的学生人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望；
〔3〕假设样本中属于“高分选手〞的女生有10人，完成以下 列联表，并判断是否有97.5％的把握认为该校学生属于“高分选手〞与“性别〞有关？

属于“高分选手〞
不属于“高分选手〞
合计
男生



女生



合计



19.如图，在五面体 中，面 为正方形，面 面 ， ， ．

〔1〕求证：CD∥平面ABFE；
〔2〕假设 ， ，求平面 与平面 所成的锐二面角的大小．
20.椭圆 ： .左焦点 ，点 在椭圆 外部，点 为椭圆 上一动点，且 的周长最大值为 .
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕点 ､ 为椭圆 上关于原点对称的两个点， 为左顶点，假设直线 ､ 分别与 轴交于 ､ 两点，试判断以 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.
21.函数 为 的导函数.
〔1〕求函数 的极值；
〔2〕设函数 ，讨论 的单调性；
〔3〕当 时， ，求实数 的取值范围.
四、〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 〔 为参数〕，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
〔1〕求曲线 的直角坐标方程
〔2〕点 的直角坐标为 ， 与曲线 交于 两点，求
五、 [选修4-5：不等式选讲]
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕设 、 、 ，且 .证明： .

答案解析局部
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
1.【解析】【解答】由维恩图可知，阴影局部为集合 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由集合的韦恩图结合交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 ．
故答案为：C．

【分析】 先利用等式求出z的表达式，然后利用模的运算性质求解即可．
3.【解析】【解答】设该校男老师的人数为 ，女老师的人数为 ，那么可得如下表格：
 
方案一
方案二
男老师


女老师


由题意， ，可得 ，所以 。
故答案为：B

【分析】设该校男老师的人数为 ，女老师的人数为 ，再利用实际问题中的条件结合两种方案，进而求出的值，从而求出该校全体老师中女老师的比例。
4.【解析】【解答】 ，故 ，故 ，
令 ，∴ ，故 ，
故答案为：B.

【分析】 待根据题意由待定系数法可以直接求出a，m的值，再代入直接可以得到结果.
5.【解析】【解答】解：由可得 ， ，
所以 ，故 为椭圆的右焦点，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直 轴时弦长最短，
所以当 时，最短的弦长为 ，
当弦与 轴重合时，弦长最长为 ，
那么弦长的取值范围为 ，
故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，
那么“好弦〞的长度和为 ，
故答案为：C．

【分析】 先求出a，b，c的值，利用椭圆的性质求出椭圆中过焦点的弦的最小值以及最大值，再根据“好弦〞的定义即可求解．
6.【解析】【解答】由于 、 、 均为单位向量，那么 ，
由 可得 ，所以， ，
即 ，所以， ，
由 ，可得 ，
即 ，解得 .
所以， .
故答案为：B.

【分析】由 可得 ， 可得出，可计算出，再由可求得， 进而可得出即可得解。
7.【解析】【解答】有正弦定理得 ，
所以 ，
所以



.
其中 ，
由于 ，所以 ，
故当 时， 的最大值为 .
故答案为：B

【分析】 根据题意首先由正弦定理得出， 再由两角和的正弦公式将表示为角的形式，结合正弦函数的单调性，求得的最大值.
8.【解析】【解答】解：根据三视图可得直观图为四棱锥 ，如图：

底面是一个直角梯形，
， ，
， ，
且 底面 ，
∴该四棱锥的体积为 ，
故答案为：D.

【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，再结合四棱锥的体积公式进一步求出几何体的体积即可.
9.【解析】【解答】由得，对于A， ，正确；
对于B，令 〔 〕，
又 ，那么 .
当 时， ，
因为 在 上是增函数， 在 上是减函数，
所以 在 上是减函数，正确；
对于C， ，错误；
对于D，令 〔 〕，
所以 ，
所以当 时， ，正确.
故答案为：C.

【分析】 根据题意首先判断函数是否满足f〔π-x〕=f〔x〕，即可判断出选项正确A，利用换元法，令t=sinx，那么t∈[-1，1]，通过复合函数的单调性的判断法那么，即可判断出选项B正确，判断函数是否满足f〔x〕+f〔π-x〕=0，即可判断出选项C错误，利用换元法，令t=sinx，那么t∈[-1，1]，转化为二次函数求最值，即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10.【解析】【解答】解：由题得 ，设切点 ， ，那么 ， ；
那么切线方程为： ，
即 ，又因为 ，
所以 ， ，
那么 ，
令 ，那么 ，
那么有 ， ； ， ，即 在 上递增，在 上递减，
所以 时， 取最大值 ，
即a+b的最大值为 .
故答案为：C.

【分析】 根据题意对函数求导再把点的坐标代入，计算出切线的斜率，由此求出曲线的切线方程，以及求出a、b的代数式，再利用函数的导数得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出a+b的最大值.
11.【解析】【解答】直线 方程为 ，代入椭圆方程得 ， ，
设 ，那么
，
点 到直线 的距离为 ，
所以 〔 〕，
记 ，那么 ，
当 时 ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， 取得唯一的极大值也是最大值 ．即△MAN面积的最大值为 ．
故答案为：A．

【分析】根据题意联立直线与椭圆的方程，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，由此得出三角形面积的代数式， 再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而求出面积的最大值。
12.【解析】【解答】由题意得， ， ，即 ，
令函数 ，那么 ，
所以， 时， ，f(x)在(-∞，-1)上单调递减， 时， ， 在(-1，+∞)上单调递增，
又当x∈(-∞，0)时，f(x)0，作函数 的图象如下列图.
由图可知，当t>0时， 有唯一解，故 ，且 ，

∴ .
设 ， 那么 ，令 解得t=e，
得 在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
∴ ，即 的最大值为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意由等式代入可得x，， 然后结合对数函数的性质及根本函数单调性可得， 代入到所求式子后再次构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13.【解析】【解答】作出可行域，如图 内部〔含边界〕，作直线 ，由 得 ，

直线向下平移时，纵截距减小， 增大，
所以平移直线 ，当直线 过点 时， ．
故答案为：3．

【分析】 由题意画出约束条件表示的平面区域，目标函数  变形为，平移目标函数，找出最优解，求出最大值.
14.【解析】【解答】解：∵而项式 =〔x2+2〕•〔 • ﹣ • + • ﹣ • + • ﹣1〕，
故它的展开式的常数项为 ﹣2=3，
故答案为 3．
【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．
15.【解析】【解答】解：如图1，设矩形 的中心为 ， 的外接圆圆心为 ，
连接 ， ，取 中点 ，连接 ，

所以由球的截面性质可知， 平面 ， 平面
在圆 中，因为 ， ，
所以当 优弧 上运动，且在 中垂线与圆 的交点处时面积最大，如图2，

此时 ，故 必过圆 的圆心 ，
所以 ， ，所以
即当 面积最大时， 为等边三角形，
所以 ， ，
在矩形 中， 为 中点， 为 中点，
所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以在四边形 中，
， ， ， ， ，如图3，

所以 ， ，
所以
所以在直角三角形 中， ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以球 的外表积为 .
故答案为：28π

【分析】首先 设ABCD所在平面为圆O1面，△PAB所在的平面为圆O2面，作出立体图形进行分析然后分别分析圆O2 ， 圆O1 ， 以及四边形OO1EO2中的几何性质以及边角关系，从而逐步求出外接球的半径，由球的外表积公式求解即可．
16.【解析】【解答】当 时，易知函数 单调递减，且 时， ， 时， ，其大致图象如下，

在 的大致图象如下，

又函数 是定义在 上的奇函数，故函数 的图象如下，

要使函数 有3个零点，只需函数 的图象与直线 有且仅有3个交点，
由图象可知， ．
故答案为： ．

【分析】根据题意及函数图像的变换法那么，作出函数的图像，由图像观察即可得解。
三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.【解析】【分析】(1)首先结合条件整理数列的递推公式，由此得出即是等差数列，由等差数列的通项公式整理即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，结合裂项相消法求出数列的前n项和，然后由不等式的性质即可得证出结论。
18.【解析】【分析】(1)由条件频率直方图中的数据结合，平均数公式代入数值计算出结果即可。
(2)由分层抽样的定义即可求出满足题意的人数，由此得出 随机变量 的所有可能取值有0，1，2，3，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(3)把数据带入到观测值公式，计算出结果再与标准值进行比较，即可得出结论。
19.【解析】【分析】(1)首先根据题意结合五面体的几何性质，由此得出线线平行，再线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所成二面角 的大小。
20.【解析】【分析】〔1〕 椭圆 ： ，左焦点 ，进而求出右焦点的坐标，再利用两点距离公式结合条件得出 ， 所以， 再利用椭圆的定义得出， 所以， 即 点为 与椭圆的交点时，周长最大，因为
  从而求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 由〔1〕知 ，设 ，那么 ， 当直线 斜率存在时，设其方程为 ， 再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出点B,C的坐标，再利用点斜式求出直线AB的方程， 令 ，得进而求出点P的坐标，同理得出Q的坐标，再利用两点距离公式求出P,Q两点的距离， 设 中点为 ， 再利用中点坐标公式，进而求出S的坐标，进而求出以 为直径的圆的标准方程为， 再转化为圆的一般方程，令 ，得 ， 所以过点 和 且为定点，当直线 斜率不存在时，容易知道 ， 此时 ， 所以以 为直径的圆是以原点为圆心， 为半径的圆，显然也过定点 和 ， 综上所述，得出此圆过定点，并求出定点的坐标。
21.【解析】【分析】〔1〕两次求出  的导数，可得  在  单增， 又 ， 那么可判断出  的单调性，求出极值；
〔2〕可得 ， 由〔1〕得 ， 讨论  和   两种情况可得出单调性；
〔3〕两次求出   的导数，可得  在  单调递减 ，再讨论   和 的情况，得出的正负情况，判断 的单调性可得。
四、〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的直角坐标方程。
〔2〕利用参数方程与普通方程的转化方法求出直线的普通方程，再利用韦达定理结合条件，再结合两点距离公式和弦长公式，进而求出 的值。
五、 [选修4-5：不等式选讲]
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕利用条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而结合求和法证出不等式 成立。