2021届广西桂林、崇左市高三理数联合调研考试（二模）试卷及答案

这是一份2021届广西桂林、崇左市高三理数联合调研考试（二模）试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数联合调研考试〔二模〕试卷
一、单项选择题
1.假设集合 ，那么 〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
2.复数 的模为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 3
3.某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于病症指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如下列图的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是〔    〕

A.                               B.                               C.                               D. 
4.元朝著名数学家朱世杰在?四元玉鉴?中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?〞用程序框图表达如下列图，即最终输出的 ，那么一开始输入的x的值为(    )

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
5.数列 满足： ．将数列 的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列 ，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 0
6. 的展开式中含 项的系数为4，那么实数 〔    〕
A. 2                                          B. 4                                          C. -2                                          D. -4
7.向量 满足 ，且 ，那么 〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 4
8.将函数 的图像向右平移 个单位长度后与原函数图像重合，那么实数 的最小值是〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 6                                           D. 9
9.过双曲线 的一个焦点F做垂直于x轴的直线交C于 两点，坐标原点为O，且 为等腰直角三角形，那么此双曲线的离心率为〔    〕
A.                                        B.                                        C. 2                                       D. 
10.四面体 中， ，且 ，那么该四面体的外接球的体积为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
11.假设 ，那么〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
12.椭圆 的上顶点为 为椭圆上异于A的两点，且 ，那么直线 过定点〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
二、填空题
13.实数x，y满足 ，那么 的最小值是________．
14.等差数列 的前n项和为 ，且 ，那么 ________．
15.设点P是直线 上的动点，过点P引圆 的切线 〔切点为 〕，假设 的最大值为 ，那么该圆的半径r等于________．
16.函数 ，有以下命题：
①函数 的图像在点 处的切线为 ；
②函数 有3个零点；
③函数 在 处取得极大值；
④函数 的图像关于点 对称
上述命题中，正确命题的序号是________．
三、解答题
17.某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
5次
收费比率
1




该公司注册的会员中没有消费超过 次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:
消费次数
1次
2次
3次
4次
5次
人数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次,公司本钱为150元,根据所给数据,解答以下问题:
〔1〕某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
〔2〕以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员效劳的平均利润为 元,求 的分布列和数学期望 .
18.正方体 的棱长为2， 分别为 的中点．

〔1〕画出平面 截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19. 中， ，且 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设P是 内一点，且 ，求 ．
20.实数 ，设函数 ．
〔1〕当 时，求函数 的极值；
〔2〕当 时，假设对任意的 ，均有 ，求a的取值范围．
21.抛物线 的焦点为F，准线为 为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于 两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线 交于点M．
〔1〕假设直线m的斜率为 ，求 的值；
〔2〕设 的中点为N，假设 四点共圆，求直线m的方程．
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，假设极坐标系内异于 的三点 ， ， 都在曲线 上.
〔1〕求证： ；
〔2〕假设过 ， 两点直线的参数方程为 〔 为参数〕，求四边形 的面积.
23.实数 ，满足 ．
〔1〕假设 ，求证： ；
〔2〕设 ，求证： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 ，
所以 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由一元二次不等式的解法的解法求解出不等式的解集即可得出集合B，再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为：B

【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简再由复数的概念即可得出答案。
3.【解析】【解答】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数 ， 和 的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除ACD，而函数 图像单调递增且速度越来越缓慢，所以B符合题意，最能拟合y与t之间的关系.
故答案为：B

【分析】由条件的折线图中的数据即可得出函数的解析式，再由指数函数和对数函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】此题由于输出时x的值，因此可以逆向求解：
输出 ,此时 ；
上一步： ,此时 ；
上一步： ,此时 ；
上一步： ,此时 ；
故答案为：B.

【分析】根据题意由程序框图的循环特征代入数值计算出结果即可。
5.【解析】【解答】 数列 满足： ，
，
数列 的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列 为 ，
可得数列 构成一个周期为6的数列， .
故答案为：B
【分析】根据题意由条件的数列的递推公式代入数值求出数列的项，由此判断出数列 的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列，结合数列项的性质求出周期的值，进而计算出答案。
6.【解析】【解答】因为 ，所以其展开式中含有 项的系数有两局部：一局部是 展开式中 的系数 ，另一局部是 中 的系数与 的乘积即 ，所以 解得 .
故答案为：A

【分析】首先整理化简的多项式再由二项展开式的通项公式结合条件，计算出含 项的系数的代数式，由此求出a的值即可。
7.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量模的定义结合向量的线性运算整理得到由此求出， 从而计算出结果即可。
8.【解析】【解答】解：因为函数 的图像向右平移 个单位长度后与原函数图像重合，
所以 是 的周期的倍数，
设 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 最小，
故答案为：C

【分析】根据题意函数平移的性质即可得出函数平移之后的解析式，再由周期公式计算出对k赋值即可求出最小值即可。
9.【解析】【解答】过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，
交双曲线于 两点，由 可得 ，所以 ，
又因为 为等腰直角三角形，所以 ，可得 ，
即 ，可得 ，解得
故答案为：D.
【分析】根据题意条件结合双曲线的性质即可求出FA=FB，进而得出三角形为等腰三角形，由三角形的几何性质得到， 整理再结合双曲线的 a、b 、c 三者的关系以及离心率的个数由整体思想即可求出答案。
10.【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，

因为 ，所以 是以 为斜边的直角三角形，
因此 ， ，
因为 ，所以有 ，即 ，即 是以 为斜边的直角三角形，显然有 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 的中点是 ，所以 且 ，
因此 平面 ，而 平面 ，所以 ，即 是以 为斜边的直角三角形，所以 ，
于是有 ，所以点 是四面体 的外接球的球心，
所以四面体 的外接球的体积为 ，
故答案为：B

【分析】根据题意做出辅助线由中点以及等腰三角形的性质，即可得出线线垂直再由勾股定理结合线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，由此得到平面的垂线结合边的关系即可得出点 是四面体 的外接球的球心，由球的体积公式代入数值计算出结果即可。
11.【解析】【解答】

构造函数 ，求导得 ，
因为 ， ，又
所以 ，故函数 在 上单调递增的，
由于 ，即 所以
故 即 .
故答案为：C
【分析】首先整理不等式再构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出原函数的单调性，由条件即可得到结合函数的单调性即可得出， 然后由指数函数的单调性即可得出答案。
12.【解析】【解答】设直线 的方程为 ， ，那么由
整理得 ，

所以 ，
，
因为 ， ， ，
所以

解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线过 点而 ，而 不在同一直线上，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，直线过 ，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据题意由斜截式设出直线lBC：y=kx+m〔m≠1〕，以及点B和C的坐标，再联立方程直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合直线的斜率乘积求出m的值，由此即可求解直线BC过定点．
二、填空题
13.【解析】【解答】画出可行域如以下列图所示，

由图可知，平移基准直线 到可行域边界点 时，目标函数 取得最小值为 .
故答案为：-3
【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
14.【解析】【解答】等差数列 的前 项和为 且

解得 ,
故答案为：270.

【分析】根据题意结合条件由等差数列项的性质即可求出， 再由等差数列的前n项公式公式计算出答案即可。
15.【解析】【解答】解：设圆的圆心为 ，
因为点P是直线 上的动点，
所以当点 到点 的距离最小时， 取得最大值，此时 与直线 垂直，
因为 为 ，所以 ，
点 到直线的距离为 ，
在 中， ，
故答案为：1
【分析】根据题意首先设出圆心的坐标再由题意可得当点 到点 的距离最小时， 取得最大值，此时 与直线 垂直，由此求出角的大小再由点到直线的距离公式结合直角三角形变得关系计算出结果即可。
16.【解析】【解答】① ， ，且 ，
函数 的图像在点 处的切线为 ，①正确；
②令 解得 或 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
在 上各有一点 使 ，即函数 有3个零点，②正确；
③由②知函数 在 处取得极小值，③错误；
④令 ，因为 ，
所以函数 为奇函数，那么 的图像关于原点对称，
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数 ，
所以函数 的图像关于点 对称，④正确.
【分析】根据题意首先 求出f〔x〕的导函数，求出f′〔1〕和f〔1〕利用点斜式求得切线方程，即可判断①；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断③；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断②；令g〔x〕=f〔x+1〕-1，可得g〔x〕为奇函数，即可判断出④， 由此得到答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)由条件的图表中的数据结合平均值公式计算出答案即可。
(2) 求出各种情况对应的X的值和概率，再由互斥事件的概率加法公式求解．
18.【解析】【分析】 〔1〕根据题意做出辅助线利用线线平行，证明四点共面，进而得到五点共面，所以证明得到E，F，G，H，I，J六点共面；
〔2〕结合条件建立空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，求出所需向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解 即可 。
19.【解析】【分析】(1)根据题意由勾股定理以及余弦定理代入数值求出cos的值，再由角的取值范围求出结果即可。
(2)结合题意由正余弦定理以及两角和的正弦公式整理化简求出答案即可。
20.【解析】【分析】 〔1〕根据题意先求导函数，然后讨论导函数的符号，从而可得函数的单调区间；
〔2〕结合条件将原不等式进行化简变形，构造函数 ， 即F〔x〕≤0在〔-1，+∞〕恒成立，然后利用导数研究其单调性，求出a的取值范围即可．
21.【解析】【分析】 〔1〕首先由抛物线方程求得焦点坐标，得到直线m的方程，与抛物线方程联立，求得A，B的横坐标，再由焦半径公式求得|AF|，|BF|，那么答案可求；
〔2〕设直线m的方程为x=ty+1，由题意可得t≠0，代入y2=4x，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得N的坐标，求出直线n的方程从而求得M的坐标，再由线段垂直结合向量数量积为0求解t，那么直线m的方程可求．
22.【解析】【分析】(1)根据题意吧点的坐标代入到极坐标的方程再由两角和的余弦公式整理化简即可得出答案。
(2)由条件求出点的坐标由此得到， 结合四边形的面积公式代入整理计算出结果即可。
 
23.【解析】【分析】 〔1〕利用根本不等式的根本性质整理原式，再由根本不等式求出
由此即可证明结论；
〔2〕利用反证法证明，假设a+b≤1，将条件平方可得ab+bc+ac=0，再由条件可知a＞b＞c≥0，可得ab+bc+ac＞0，得出矛盾即可得证．