2021届辽宁省朝阳市高三数学四模考试试卷及答案

 高三数学四模考试试卷

一、单项选择题

1. ，复数 的共轭复数 在复平面内对应的点在〔    〕           

A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限

2.集合 ，集合 ，那么 〔    〕           

A.                      B.                      C.                      D. 

3.假设圆 被直线 截得的弦长为6，那么 〔    〕           

A. 26                                         B. 31                                         C. 39                                         D. 43

4.函数 的图象大致为〔    〕           

A.       B.       C.       D. 

5.三星堆古遗址是迄今在西南地区发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰富的古城､古国､古蜀文化遗址.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源〞，考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减〞这一规律，建立了样本中碳14的含量，随时间x(年)变化的数学模型： ( 表示碳14的初始量).2021年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的68%，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是〔    〕(参考数据： )           

A. 2796年                               B. 3152年                               C. 3952年                               D. 4480年

6.等差数列 的前 项和为 ，那么 〔    〕           

A. 21                                        B. 11                                        C.                                         D. 0

7.展开式中 的系数为〔    〕           

A. -3                                         B. 3                                         C. -15                                         D. 15

8.在三棱锥 中，底面 是面积为 的正三角形，假设三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，且点 恰好在平面 内，那么三棱锥 体积的最大值为〔    〕           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

二、多项选择题

9.平面向量 ，且 ，那么〔    〕           

A.                             B.                             C.                             D. 

10.假设关于 的方程 在区间 上有且只有一个解，那么 的值可能为〔    〕           

A. -2                                          B. -1                                          C. 0                                          D. 1

11. ，且 ，那么〔    〕           

A.             B.             C.             D. 

12.设 同时为椭圆 与双曲线 的左右焦点，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点，假设〔    〕           

A. ，那么                      B. ，那么
C. ，那么 的取值范围是   D. ，那么 的取值范围是

三、填空题

13.假设 ，那么 ________.   

14.沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上､下两个圆锥组成，该圆锥的高为1，假设上面的圆锥中装有高度为 的液体，且液体能流入下面的圆锥，那么液体流下去后的液面高度为________. 

15.规定记号" "表示一种运算，即 ，假设 ，函数 的图象关于直线 对称，那么 ________.   

16.三分损益法是古代中国创造制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一"“三分益一"两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度 生得长度；而三分益一那么是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度 生得长度，两种方法可以交替运用､连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为 ，那么经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为________.   

四、解答题

17.在① 成等差数列；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.假设问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由. 

问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，    ▲   ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.在公比大于0的等比数列 中， 依次组成公差为4的等差数列   

〔1〕求 的通项公式；   

〔2〕设 ，求数列 的前 项和

19.如图，在四棱锥 中， ， ， ， 

〔1〕证明： .   

〔2〕假设平面 平面 ，经过 、 的平面 将四棱锥 分成左､右两局部的体积之比为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.   

20.抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， .   

〔1〕求抛物线 的标准方程.   

〔2〕直线 交抛物线 于点 ，且 ，证明：直线 过定点.   

21.某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：假设订单A约定交货时间为11天，订单B约定交货时间为12天.(将频率视为概率，当天完成即可交货) 

〔1〕为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A  ， B互不影响)；   

〔2〕甲､乙生产线的生产本钱分别为3万元､2万元，订单A  ， B互不影响，假设规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金，现订单A  ， B用〔1〕中所选的生产线生产产品，记订单A  ， B的总本钱为 (万元)，求随机变量 的期望值.   

22.函数

〔1〕讨论 的单调性；   

〔2〕当 时， 桓成立，求 的取值范围.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】 ，

复数 的共轭复数 在复平面内对应的点是 ，在第一象限.

故答案为：A.

 
【分析】利用复数除法先求得复数Z，再确定它在复平面所在的象限。

2.【解析】【解答】 ，即 ， ， ， ，

，即 ，解得 ， ，

那么 ，

故答案为：C.

 
【分析】先分别解A，B中的不等式，化简A,B，再求A与B的并集。

3.【解析】【解答】将圆化为 ，

所以圆心到直线 的距离 ，

该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，

所以 ，解得

故答案为：C

 
【分析】先将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径，再在成直角三角形中由勾股定理得到结果。

4.【解析】【解答】 为奇函数，排除A.

排除

当 时 当 时 函数存在单增区间，

排除C

故答案为：B.

 
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，得出结果。

5.【解析】【解答】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是 年，

那么 ，即 ，

所以 ，

解得

故答案为：B

 
【分析】根据指数与对数运算性质，计算。

6.【解析】【解答】由 ，得 ，

所以 ，那么 ，

所以 。

故答案为：D.

 
【分析】利用条件，得 ，再利用等差数列前n项和定义得出， 再利用等差数列的性质，从而求出等差数列第11项的值，再利用等差数列前n项和公式，从而结合等差数列的性质，进而求出等差数列前21项的和。

7.【解析】【解答】 ，含x的项只存在于 中，

的系数为

故答案为：D

 
【分析】将三项式结合成二项式，再由二项式定理解答。

8.【解析】【解答】由底面 是面积为 的正三角形，可知底面 的边长为 ，

因为三棱锥 外接球的球心 恰好在平面 内，

因为三角形ABC的外接圆半径为 ，

所以球 的半径为2，

所以当 平面ABC时，三棱锥 体积的最大.

所以三棱锥 体积的最大值为

故答案为：B

 
【分析】先由三角形ABC是正三角形，求得底面边长 ，先由正弦定理，求得它外接圆的半径，进一步求解。

二、多项选择题

9.【解析】【解答】由 得 ，所以 ，那么 ，从而 .

故答案为：AD.

 
【分析】将的等式两边平方，然后求解。

10.【解析】【解答】 整理可得 ，

令 ，因为 ，那么 .

所以 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线 只有1个交点.

由图可知， 或 ，解得 或 .

故答案为：AC.

 
【分析】先进行三角变换，将等式化成， 再求出的范围，根据函数图象求解。

11.【解析】【解答】对于A，令 ，那么 ，A不正确；

对于B， ，当且仅当 ，即 时，等号成立；B符合题意；

对于C， ，当且仅当 时，等号成立，C符合题意；

对于D，由 ，所以 ， ，那么 ，D符合题意.

故答案为：BCD.

 
【分析】对于A：用取特殊值法，举反例说明不正确；
对于B：将右边的1换成 ，然后用求差比较法，证明是正确的；
对于C：利用对数的运算性质，先变形再由根本不等式所以C正确；
对于D：首先由 ， ，得出 ， ， 再用作差比较法，比较大小 ，得到D正确。
 

12.【解析】【解答】如图，设 ，焦距为 ，由椭圆定义可得 ，

由双曲线定义可得 ，解得 ， ，

当 时，那么 ，所以 ，

即 ，由离心率的公式可得 ，故 正确.

当 时，可得 ，即 ，可得 ，

由 ，可得 ，可得 ，即 ，那么 ，

可设 ，那么 ，

由 在 上单调递增，可得 ，那么 ，故 正确.

故答案为：BD

 
【分析】先用m,n表示|MF1|,|MF2|,那么 ， 那么 ，解得 ，
时，由直角三角形的性质，可得， 再由勾股定理列式，进而可得到， 从而A不成立，而B成立；
当时，那么有 ，即 ，可得 ， 再变形为
，然后分别讨论e1  ， e2的取值范围，利用函数的思想，通过换元，讨论函数的单调性，求相关函数的值域，得到 ， 故C不成立，D成立。

三、填空题

13.【解析】【解答】因为 ，

那么 .

故答案为： .

 
【分析】利用凑角的方法求解。

14.【解析】【解答】由题意可得， ，所以 ，

又上下两圆锥是对顶的相同圆锥，

所以液体流下去后的液面高度为 .

故答案为： .

 
【分析】先求出体积的比值，然后根据等积变形的思想求解。

15.【解析】【解答】由题意可得： ， ，

那么函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ，

因为函数 的图象关于直线 对称，

所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，

所以 ，解得

故答案为：1.

 
【分析】先根据定义写出  进一步求解。
 

16.【解析】【解答】设5次三分损益中有 次三分损一，所以 ，

解得

故所求概率为 .

故答案为：

 
【分析】设5次三分损益中有 次三分损一，所以 ，得k的值，即得解。

四、解答题

17.【解析】【分析】 在① 成等差数列；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在问题中并解答。 因为 ，由正弦定理得出 ，再利用余弦定理和三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。选择①，因为 成等差数列，再利用等差中项公式和正弦定理，所以，从而求出c的值。再利用余弦定理结合条件，从而求出ab的值，故存在满足题意的三角形 ，再利用三角形面积公式得出的值。选择②，因为 ，所以 ，这与 矛盾，所以 不存在。选择③，因为 ，再利用余弦定理得出，再利用勾股定理推出线线垂直，所以求出角B的值，此时 存在，又 因为，再结合三角形内角和为180度的性质，所以 ，再利用正切函数的定义，得出 的值 ，再利用三角形面积公式，从而求出 的值。

18.【解析】【分析】〔1〕先由条件 依次组成公差为4的等差数列，求出a1,q,进一步得到

〔2〕由〔1〕求出 ,再用错项相减的方法求Tn.

19.【解析】【分析】(1)取BC的中点O,通过证明 平面 ， 得到，
〔2〕建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，来求二面角的余弦值。

20.【解析】【分析】〔1〕由抛物线的定义及性质求解；

〔2〕先设 直线 的方程为 ， 并设交点 ，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理等知识求解。

21.【解析】【分析】〔1〕先计算各个相关事件的概率，然后作出判断；
〔2〕先列出X1,X2以及X＝X1+X2的分布列，再计算EX及.

22.【解析】【分析】〔1〕先求函数的导数，然后对m的取值分类讨论，求单调性；
〔2〕将给定的不等式进行等价变形，然后利用导数研究函数的单调性，最小值，进一步求得结果。