2021届江苏省苏锡常镇四市高三下学期数学3月教学情况调研试卷（一）及答案

这是一份2021届江苏省苏锡常镇四市高三下学期数学3月教学情况调研试卷（一）及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学3月教学情况调研试卷〔一〕
一、单项选择题
1.设全集 ，集合 那么集合 〔    〕
A. ∞                               B. {2}                               C.                                D. 



2.“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件



3.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲〞起，地支由“子〞起，例如，第一年为“甲子〞，第二年为“乙丑〞，第三年为“丙寅〞 ，以此类推，排列到“癸酉〞后，天干回到“甲〞重新开始，即“甲戌〞，“乙亥〞，然后地支回到“子〞重新开始，即“丙子〞 ，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、荣耀、正确的中国共产党成立100周年，那么中国共产党成立的那一年是〔    〕
A. 辛酉年                                B. 辛戊年                                C. 壬酉年                                D. 壬戊年



4.展开式中 的系数为〔    〕
A. -15                                        B. -10                                        C. 10                                        D. 15



5.函数 的图象大致是〔    〕
A. 
B. 


C. 
D. 



6.过抛物线 上一点P作圆 的切线，切点为 ，那么当四边形 的面积最小时，P点的坐标是〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



7.假设随机变量 ， ，假设 ，那么 〔    〕
A. 0.2                                        B. 0.3                                        C. 0.7                                        D. 0.8



8.假设 那么满足 的x的取值范围是〔    〕
A. 
B. 


C. 
D. 



二、多项选择题
9.函数 ，那么〔    〕
A. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到


B. 函数 的图象关于直线 轴对称


C. 函数 的图象关于点 中心对称


D. 函数 在 上为增函数



10.O为坐标原点， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线右支上，那么以下结论正确的有〔    〕
A. 假设 ，那么双曲线的离心率


B. 假设 是面积为 的正三角形，那么


C. 假设 为双曲线的右顶点， 轴，那么


D. 假设射线 与双曲线的一条渐近线交于点Q，那么



11.1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如下列图的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，那么〔    〕

A. 

     B. 

     C. 新几何体有7个面

     D. 新几何体的六个顶点不能在同一个球面上



12.正数 ，满足 ，那么〔    〕
A.                        B. 

                       C.                        D. 



三、填空题
13.向量 ，假设 ，那么实数 ________．
14.复数 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数 的陈述如下〔 为虚数单位〕：甲： ；乙： ；丙： ；丁： .在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，那么复数 ________.
15.假设 ，那么 ________.
16.四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积________；这样的不同四面体的个数为________.
四、解答题
17.在 中， ，点D在边 上，满足 .
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕假设 ，求 的面积.
18.等比数列 的各项均为整数，公比为q，且 ，数列 中有连续四项在集合 中，
〔1〕求q，并写出数列 的一个通项公式；
〔2〕设数列 的前n项和为 ，证明：数列 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.
19.如图四棱锥 中， 是以AD为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ，E为PD的中点.

〔1〕求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
〔2〕设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.
20.某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，假设结果为阳性，那么表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；假设结果为阴性，那么对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，
〔1〕求这两种方案检测次数相同的概率；
〔2〕如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.
21.O为坐标系原点，椭圆 的右焦点为点F，右准线为直线n.
〔1〕过点 的直线交椭圆C于 两个不同点，且以线段 为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
〔2〕直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为 .直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证： 为定值.
22.函数 .
〔1〕当 时，一次函数 对任意 ， 恒成立，求 的表达式；
〔2〕讨论关于x的方程 解的个数.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：因为
所以 ，那么 ，所以 。
故答案为：B.

【分析】利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，进而求出集合B，再利用交集和补集的运算法那么，进而求出集合。
2.【解析】【解答】由 ，可得 或 ，
当 时，此时 ，即充分性不成立；
反之当 时，其中 可为 ，此时 ，即必要性不成立，
所以“ 〞是“ 〞的既不充分也不必要条件。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 〞是“ 〞的既不充分也不必要条件。
3.【解析】【解答】由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，
且 ， ，
因为2021年为辛丑年，那么100年前的天干为“辛〞，地支为“酉〞，可得到1921年为辛酉年，
故答案为：A.

【分析】利用条件，将实际问题转化为数列的问题，再利用等差数列的定义得知天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而得出中国共产党成立的那一年为辛酉年。
4.【解析】【解答】 展开式通项公式为： ，
展开式中 的系数为： 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式中 的系数。
5.【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，可排除B、C选项；
又由
，
所以函数 为偶函数，所以排除选项D。
故答案为：A.

【分析】利用特殊值排除法结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的图象的对称性，进而找出函数的图像。
6.【解析】【解答】由题意可设 ，当四边形 的面积最小时，点P到圆心 的距离最小，即 ，可令 ，那么 ，那么 时， ，此时取得最小值，四边形 的面积为 ，所以 。
故答案为：C。

【分析】由题意可设 ，当四边形 的面积最小时，点P到圆心 的距离最小，再利用两点距离公式求出即，可令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而求出对应的a的值，再结合四边形的面积公式，进而求出对应的点P的坐标。
7.【解析】【解答】由题意， ，解得 ，那么 ，所以 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合二项分布求概率公式，再结合条件，从而求出的值。
8.【解析】【解答】①当 或0时， 成立；
②当 时， ，可有 ，解得 ；
③当 且 时， ，
假设 ，那么 ，解得 ；
假设 ，那么 ，解得 ，
所以 ，
那么原不等式的解为 。
故答案为：B

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像结合分类讨论的方法，再结合同号为正、异号为负的性质，进而求出 满足 的x的取值范围 。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由题意，对于A，函数 的图象向右平移 个单位可得到 ，所以A不符合题意；
对于B， ，取到了最大值，所以函数 的图象关于直线 对称，所以B符合题意；
对于C， ，所以函数 的图象关于点 中心对称，所以C符合题意；
对于D，函数 在 上为增函数， 时， ，单调递增，所以函数 在 上为增函数，所以D符合题意.
故答案为：BCD.

【分析】利用正弦型函数的图象变换得出函数 的图象可由函数 的图象变换的方法；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心和对称轴，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数在 上的单调性，进而得出正确的选项。
10.【解析】【解答】由题意，对于A，因为 ，所以 的中垂线 与双曲线有交点，即有 ，解得 ，A符合题意；对于B，因为 ，解得 ，所以 ，所以 ，B符合题意；对于C，由题意可得 显然不等， C不符合题意；
对于D，假设 为右顶点时，那么 为坐标原点，此时 ，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】利用 ，所以 的中垂线 与双曲线有交点，即有 ，再利用双曲线离心率公式变形，进而求出双曲线离心率的取值范围；利用条件三角形 是面积为 的正三角形，再结合正三角形的结构特征得出 ，再利用勾股定理求出 的值，再利用双曲线的定义求出a的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出b的平方值；利用点 为双曲线的右顶点， 轴， 可得 ， 从而得出的值不相等；因为点为右顶点时，那么 为坐标原点，再利用双曲线的定义结合， 从而得出与不符，进而找出结论正确的选项。 
11.【解析】【解答】由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即 ，

∴ ， ， ，A、B符合题意；
∴ 四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：ABD.

【分析】由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即 ，进而推出线线平行和线线垂直，所以， ， ，所以四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，从而选出正确的选项。
12.【解析】【解答】由题意，可令 ，由指对互化得： ，由换底公式得： ，那么有 ，B不符合题意；
对于A， ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，A符合题意；
对于C､D，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，那么 ，那么 ，所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：AC.

【分析】由题意，可令 ，再利用指数与对数的互化公式，得出 ，由换底公式得出， 再利用对数的运算法那么结合对数函数的单调性，再结合作差比较大小法，进而选出不等式成立的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意 ，又 ，∴ ，解得 。
故答案为：-3。

【分析】利用条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再利用共线向量的坐标表示，进而求出实数的值。
14.【解析】【解答】设 ，那么 ，
， ， ， 。
与 不可能同时成立， 丙丁不能同时正确；
时， ， 不成立， 乙丁不能同时正确；
当甲乙正确时： ， ，那么丙也正确，不合题意；
当甲丙正确时： ， ，那么乙也正确，不合题意；
当乙丙正确时： ， ，那么甲也正确，不合题意；
甲丁陈述正确，此时 ， 。
故答案为：1+i。

【分析】设 ，利用复数与共轭复数的关系式结合复数的运算法那么，再结合演绎推理的方法，进而求出甲丁陈述正确，此时 ，进而求出复数z。
15.【解析】【解答】由题意可得 ，
令 ，那么 ， ，
所以原式 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而求出 的值。
16.【解析】【解答】由题意，可以构成一个底面为边长为1正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，
那么三棱锥的高 ，那么体积 ，
由1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，
边长为 的三角形除了已求体积的正三棱锥外，
还可以是四个 的三角形拼成的三棱锥、两个边长为2的正三角形和两个 的三角形拼成的三棱锥，所以满足题意的四面体共3个。
故答案为： 。

【分析】由题意，可以构成一个底面为边长为1正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，再利用勾股定理，进而求出正三棱锥的高，再利用正三棱锥的体积公式，进而求出四面体的体积；再利用分类讨论的方法结合条件，进而推出这样的不同四面体的个数。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕〔1〕利用条件结合正弦定理，进而求出 的值，再利用三角形中角的取值范围，进而求出 或 ， 再利用分类讨论的方法，进而求出角C的值。 
〔2〕利用 结合 ，所以 ， 再利用三角形法那么结合共线定理，从而利用平面向量根本定理求出 ，再利用数量积的运算法那么结合数量积的定义，从而结合条件 ， 进而求出BC的长，进而求出AB，AC的长，再利用三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
 
 
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件 ，且各项均为整数，所以连续四项为 ，再结合等比数列的定义求出公比和首项，再利用等比数列的通项公式求出数列 的一个通项公式。
〔2〕利用等比数列前n项和公式求出等比数列前n项的和，再利用分类讨论的方法结合等差中项公式，进而证出数列 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列。
19.【解析】【分析】〔1〕 直角梯形 中，由可得 ， ， 再利用勾股定理证出线线垂直，即 ，又因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以，取 中点 ，连接 ，那么 ， ，再利用两三角形全等的判断方法，得出 ，∴ ，又因为 ，所以 ，所以 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面 ，因此可以 为 轴，过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系 ， 进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线PB与平面PAC所成角的正弦值。
〔2〕 由〔1〕知 ， ， ， 再利用平面向量根本定理，设 ， 再利用向量的坐标表示，进而解方程组求出x,y的值，所以 ，所以 与 共面，所以点 在平面 内。
 
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件可设甲方案检测的次数是X，进而求出X的取值， 记乙方案检测的次数是 ，那么 ，再利用互斥事件加法求概率公式，进而求出这两种方案检测次数相同的概率。
〔2〕利用条件求出随机变量X和Y的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X和随机变量Y的数学期望，再通过比较法结合数学期望判断法，进而预测出乙方案检测总费用较少。
21.【解析】【分析】〔1〕利用点斜式设出过点 的直线为 ， 再利用直线交椭圆C于 两个不同点，联立二者方程结合韦达定理和代入法，得出， 又因为以线段 为直径的圆经过原点，进而推出线段DE对应的圆周角为直角，再利用两向量垂直数量积为0，进而结合数量积的坐标表示，从而求出直线的斜率，进而求出直线的方程。
〔2〕 利用椭圆的标准方程 确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出c的值，再利用椭圆的离心率公式和准线方程，进而求出椭圆的离心率为 ，右准线直线n的方程为 ，因为直线 上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为 ，所以直线 与椭圆相切， 设直线 的方程为 ， 再利用直线与椭圆C相交，联立二者方程结合判别式法，得出 ① ，再利用直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M，联立两直线方程求出点N的坐标，再结合两点距离公式和， 进而证出 为定值。
22.【解析】【分析】〔1〕liym的值求出函数的解析式， 可设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，
所以 ，又因为 ，所以 ，再利用条件一次函数 ，设 ，因为 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，再结合不等式恒成立问题的解决方法，进而求出a的值，从而求出函数的解析式， 又由 ， 结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，所以 ，综上所述，进而求出函数 的表达式。
〔2〕 由方程 ，整理可得 ，从而可得 ，令 ，可得，设 ，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出函数 在 上只有一个零点，即方程只有一个零点，再令 结合判别式法和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的极值，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，进而讨论出关于x的方程 解的个数。