2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知函数f(x)=x+1ax在(−∞, −1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.[1, +∞)B.(−∞, 0)∪(0, 1]C.(0, 1]D.(−∞, 0)∪[1, +∞)

2. 函数y=ex+csx在0,π2上取最大值时，x的值为( )
A.0B.π6C.π3D.π2

3. 设函数f(x)=xex−a(x+lnx)．若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[0,e]B.[0,1]C.(−∞,e]D.[e,+∞)

4. 设函数f(x)=lnx+ax2 − 32x，若x=1是函数f(x)是极大值点，则函数f(x)的极小值为( )
A.ln2−2B.ln2−1C.ln3−2D.ln3−1

5. 设函数fx是定义在0,+∞上的可导函数，其导函数为f′x，且有2fx+xf′x>x，则不等式x−20182fx−2018−4f2>0的解集为( )
A.0,2016B.2016,+∞C.0,2020D.2020,+∞
二、多选题

已知函数y=fx的导函数f′x的图象如图所示，则下列判断正确的是( )

A.函数y=fx在区间−3,−12上单调递增
B.当x=−2时，函数y=fx取得极小值
C.函数y=fx在区间−2,2上单调递增
D.当x=3时，函数y=fx有极小值
三、填空题

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：Cx=403x+5 0≤x≤10，设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．则总费用fx的最小值为________.

已知函数fx=13x3+mx2−23．若x=0是fx在[−1,+∞)上的极小值点，则实数m的取值范围是________.
四、解答题

已知函数fx=xlnx+mx2.
(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；

(2)当m0时，由f(x)≥0恒成立可得1a≥x+lnxxex.
令g(x)=x+lnxxex，x>0，
则g′(x)=(x+1)(1−x−lnx)x2ex，
令ℎ(x)=1−x−lnx，则ℎ′(x)=−1−1x0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1, +∞)时，ℎ(x)0，
则函数gx在区间0,+∞上为增函数.
即不等式(x−2018)2f(x−2018)−4f(2)>0⇒
⇒(x−2018)2f(x−2018)>22f2⇒gx−2018>g2.
因为g(x)在0,+∞上为增函数，
则有x−2018>2，解可得x>2020，
即不等式x−20182fx−2018−4f2>0的解集为(2020,+∞).
故选D．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的单调性与导数的关系
【解析】




【解答】
解：对于A，函数y=fx在区间−3,−12上有增有减，故A不正确；
对于B，当x=−2时，函数y=fx取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈−2,2时，恒有f′x>0，则函数y=fx在区间−2,2上单调递增，故C正确；
对于D，当x=3时，f′x≠0，无法取得极小值，故D不正确.
故选BC.
三、填空题
【答案】
70
【考点】
函数模型的选择与应用
利用导数研究函数的最值
【解析】
将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出fx，利用导数判断fx的单调性，根据单调性求出fx的最小值．
【解答】
解：设隔热层厚度为xcm，由题设，建造费用为C1x=6x，
得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
fx=20Cx+C1x=20×403x+5+6x
=8003x+5+6x0≤x≤10．
因为f′x=6−24003x+52，
令f′x=0，即24003x+52=6，
解得x=5，x=−253（舍去）.
当0