2021届贵州省遵义市高三理数第一次模拟试卷及答案

这是一份2021届贵州省遵义市高三理数第一次模拟试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三理数第一次模拟试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 中元素的个数为〔   〕
A. 3                                           B. 2                                           C. 1                                           D. 0
2.复数 满足 ，那么复数 的虚部是〔    〕
A. 1                                          B. -1                                          C.                                           D. 
3.以下4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：

在从他们四人中选一位开展较全面的学生，那么应该选择〔   〕
A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁
4.向量 为相互垂直的单位向量，假设 ，那么向量 与向量 的夹角为〔   〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
5.假设正数 满足 ，那么 的最小值为〔   〕
A. 9                                           B. 8                                           C. 5                                           D. 4
6.以下选项中，为“数列 是等差数列〞的一个充分不必要条件的是〔   〕
A.                                       B. 
C. 通项公式                                           D. 
7.某空间几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为〔   〕

A.                                B.                                C.                                D. 
8.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，那么以下说法错误的选项是〔   〕
A. 的图象的一条对称轴为              B. 在 上单调递增
C. 在 上的最大值为2                      D. 的一个零点为
9.函数 ，那么 〔   〕
A. 16                                         B. 8                                         C. -8                                         D. -16
10.数列 的前 项和 ，假设 为 和 的等差中项 ，那么 〔   〕
A. 3                                    B. 9                                    C. 27                                    D. 与A的取值有关
11.双曲线 上一点 到右焦点 距离为 ， 为左焦点，那么 的角平分线与 轴交点坐标为〔   〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
12.，不等式 恒成立，那么 的最大值为〔   〕
A. -2                                     B. 0                                     C.                                      D. 
二、填空题
13. ， 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，那么该二项式展开式中各项系数和为________.
14.设变量 满足约束条件 ，那么目标函数 的取值范围为________.
15.直线 与圆 交于 两点，那么 最小值为________.
16.如图，正方形 中， ，点 为 中点，现将 沿 折起形成四棱锥 ，那么以下命题中为真命题的是________.

①设点 为 中点，假设 ，那么在折起过程中， 四点可能共面；
②设 与 交于点 ，那么在折起过程中 与 可能垂直；
③四棱锥 体积的最大值为 .
三、解答题
17.在 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， ．
〔1〕假设 且 求 的面积；
〔2〕假设 求 .
18.2021年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机抽取3道分别作答，这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确作答每道题目的概率均为 ，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．
〔1〕求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；
〔2〕请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？
19.如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， .

〔1〕证明： ；
〔2〕假设 ，求二面角 的正弦值.
20.函数 ， 是 的导函数.
〔1〕假设 在 上单调递增，求 的取值范围；
〔2〕证明：存在 ，使得 在 上有唯一零点.
21.直线 ， 与 交点轨迹为 .
〔1〕求 的方程；
〔2〕点 是曲线 上的点， 是曲线 上的动点，且满足直线 斜率与直线 斜率和为 ，求直线 的斜率.
22.如图是美丽的三叶草图案，在以 为极点， 轴为极轴的极坐标系中，它由弧 ，弧 ，弧 组成.它们分别是方程为 ， ， 的圆上的一局部.

〔1〕分别写出点 的极坐标；
〔2〕设点 是由点 所确定的圆 上的动点，直线 ，求点 到 的距离的最大值.
23.函数 的最大值为4〔其中 〕.
〔1〕求 的值；
〔2〕假设 ，求 的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】依题意，集合A表示圆 上的点，集合B表示直线 上的点，
故集合 中元素表示直线与圆的交点，联立 ，
得 ，方程有两个根，故直线与圆有两个交点，故集合 中有2个元素.
故答案为：B.

【分析】由题意可得集合 中元素表示直线与圆的交点，联立 求解可得  中元素的个数 。
2.【解析】【解答】 ， 的虚部为1.
故答案为：A.

【分析】 把等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
3.【解析】【解答】通过雷达图不难发现乙同学没有偏弱，开展比较全面，其余同学都有缺乏的地方.
故答案为：B

【分析】通过雷达图不难发现乙同学没有偏弱，开展比较全面，其余同学都有缺乏的地方，可得答案。
4.【解析】【解答】
所以： ，
故答案为：C.

【分析】根据向量数量积的运算可求出向量  与向量  的夹角 。
5.【解析】【解答】由 ，有 ，所以 ，
那么 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：D.

【分析】由 ，有 ，所以 ， ， 根据根本不等式即可得出答案。
6.【解析】【解答】A选项为“数列 是等差数列〞的一个充分必要条件；
B选项为“数列 是等差数列〞的一个既不充分也不必要条件；
C选项通项公式 可以推出数列 是等差数列，是一个充分不必要条件；
D选项 推不出数列 是等差数列，是必要不充分条件.
故答案为：C.

【分析】对于等差数列的判断，主要根据等差数列的定义，结合充分、必要条件的定义即可得出答案。
7.【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体为棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，故其体积为： ，

故答案为：A.

【分析】由三视图可知，该几何体为棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，再根据棱锥的体积公式，即可得出答案。
8.【解析】【解答】解： ，那么 ，
对A，因为 ，A错误，符合题意；
对B，因为 解得
所以 在 上单调递增，B正确，不符合题意；
对C，因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，C正确，不符合题意；
对D， ，D正确，不符合题意.
故答案为：A.

【分析】根据三角恒等变型式可得，再平移可得，根据正弦函数的性质，逐项进行分析，可得答案。
9.【解析】【解答】 ，
故答案为：D.

【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而可得答案。
10.【解析】【解答】解析:
，且 也符合，
所以 是公比为3的等比数列，由 为3和 的等差中项知 ，
所以 .
故答案为：C.

【分析】 利用等比数列前n项和的一般形式 ， 结合等差中项知识，利用Sn公式求数列通项的方法.
11.【解析】【解答】解：记交点坐标为D，用面积法 ，化简可得角平分线定理： ，由双曲线定义知 ，所以交点到左焦点距离是右焦点距离2倍，由于左焦点 ，右焦点 ，D坐标 ， ，可得答案为
故答案为：D

【分析】记交点坐标为D，用面积法 ，化简可得角平分线定理： ,由双曲线定义知 ,即交点到左焦点距离是右焦点距离2倍，进行计算可得答案。
12.【解析】【解答】解：原不等式可化为 ，
构造 ， ，令 ，可得 ， 时， ， 时， ，
所以 是函数的最小值，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
有零点，所以 ，即 ．
故答案为：A．

【分析】 化简不等式为，利用换元法，通过函数的最小值,判断核对零点，然后求解a的最大值即可.
二、填空题
13.【解析】【解答】解： ， 的展开式中只有第7项的二项式系数 最大，
，
令 ，所以该二项式展开式中各项系数和为 .
故答案为： ．

【分析】 由题意利用二项式系数的性质，求得二项式展开式中各项系数和.
14.【解析】【解答】作出不等式组表示的平面区域，如以下列图. ，设 ，那么k的几何意义是可行域内的点到定点 的斜率，由图像可知CD的斜率最小，AD的斜率最大.

由 得 ，即 此时
由 得 ，即 ，此时 ，
即 ，那么 ，
即 .
故答案为：

【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案.
15.【解析】【解答】直线 过定点过 ，因为点 在圆的内部，且 ，由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得 ，
故答案为：

【分析】由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，结合垂径定理即可得出  最小值 。
16.【解析】【解答】平面 即为平面 ，又 ，故 为异面直线，
从而 不可能在同一平面内，故①错误.

假设 与 垂直，因为 ， ，那么 平面 ，
而 平面 ，故 ，而 为 的中点，
故 ，但 ，矛盾，故②错误.
当平面 平面 时，四棱锥 体积取得最大，
此时过 作 ，交 于 ，设 .
因为平面 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
故四棱锥 的高为 .
故在 ，由 ，可得 ，
故 ，故③正确.
故答案为：③.

【分析】根据点、线、面的位置关系，逐项进行分析，可得答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】 (1)由利用余弦定理可求bc的值,进而根据三角形的面积公式即可求解；
(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可求tanC的值,进而可求sinC的值.
 
 
18.【解析】【分析】 (1)甲、乙两校共答对两道题的可能有:甲校1道乙校1道;甲校2道乙校0道,根据超几何分布计算甲校答对题的概率,根据二项分布计算乙校答对题的概率,再根据相互独立事件的概率公式得出两校共答对2题的概率;
(2)分别计算甲、乙两校答对题目的期望和方差，比较即可的结论.
 
 
19.【解析】【分析】 (1)取AB的中点E,连结PE，DE，利用线面垂.直的判定定理证明AB⊥平面PED,从而可证AB⊥ED,即可证明AD=BD；
(2) 建立空间直角坐标系 ，利用向量法即可求出二面角  的正弦值。
20.【解析】【分析】 (1)求出函数g (x)的导数，利用  在  上恒成立 ，推出 ， 令 利用导数求出函数  的单调性即可求得m的取值范围；
(2) 由(1)，  时，  在  上单调递增，令  得 ， ， 令   ，    ， 利用导数求得 的单调性，利用零点存在性定理即可证明   在  上有唯一零点.
21.【解析】【分析】〔1〕由题意   得 ， 化简得  的方程；
〔2〕设直线  斜率为  ，那么直线  方程为  ，联立椭圆  ，得 ， 设 ，
结合韦达定理可得：  ，    ， 由于两直线斜率和为0，所以可设另一条直线斜率为   ， 同样方式联立椭圆可得    ，    ， 即可得出直线  的斜率。
 
 
22.【解析】【分析】 (1)联立极坐标方程，求解H, M, N的极坐标即可；
(2)利用极坐标以及圆的方程的关系，求解点P到L的距离的最大值即可.
23.【解析】【分析】〔1〕 ，求解可得
 的值；
〔2〕 由〔1〕知   ， 由柯西不等式求解可得   的最小值.