2021届辽宁省丹东市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届辽宁省丹东市高三数学二模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ， ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. ∅
2. ， ，假设 ，那么 〔    〕
A. -10                                         B. -5                                         C. 5                                         D. 10
3.在 的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，那么 〔    〕
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
4.费马数列 是以数学家皮埃尔·德·费马〔PierredeFermat ， 1601~1665年〕命名的数列，其中 ，例如 ．因为 ，所以 的整数局部是1位数；因为 ，所以 的整数局部是2位数；…；那么 的整数局部位数最接近于〔 〕〔    〕
A. 240                                     B. 600                                     C. 900                                     D. 1200
5.假设 为奇函数，当 时， ，那么 〔    〕
A. -3                                        B. 1                                        C. 3                                        D. 
6.在复平面内， 为坐标原点，复数 ， 对应的点都在单位圆 上，那么 的实部为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.球 的两个相互垂直的截面圆 与 的公共弦 的长度为2，假设 是直角三角形， 是等边三角形，那么球 的外表积为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
8.在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为 ，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为 ，且A，B两点距离为540m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，那么C点到塔底O的距离为〔    〕
A. 90 m                                 B. 100 m                                 C. 110 m                                 D. 270 m
二、多项选择题
9.晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，那么〔    〕
附： ，
P〔K2≥k0〕




k0




A. 衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高
B. 另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高
C. 有99.9%的把握认为“学生学习效率上下与晚上睡眠是否充足有关〞

10.设数列 的前 项和 〔 为常数〕，那么以下命题中正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么 不是等差数列
B. 假设 ， ， ，那么 是等差数列
C. 假设 ， ， ，那么 是等比数列
D. 假设 ， ， ，那么 是等比数列
11.双曲线 ： 的离心率为 ， ， 分别为 的左右焦点，点 在 上，且 ，那么〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
12. 为正方体 的棱 的中点，平面 过点 且与 垂直，且 与直线 相交于点 ，那么〔    〕
A. 直线 与直线 垂直                              B. 是线段 的三等分点
C. 直线 与平面 所成角的正弦值为            D. 平面 将正方体分割成体积比为 的两局部
三、填空题
13.设A是抛物线C： 上一点，假设A到C的焦点的距离为10，那么A到y轴的距离为________．
14. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，那么当 ________时，满足条件“ ， 〞的 有两个．〔仅写出一个 的具体数值即可〕
15.一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为 ，那么 的方差 ________．
16.设函数 ， 的极大值与极小值之和为 ，那么 的值域为________．
四、解答题
17.中药藿香产业化种植已经成为某贫困山区农民脱贫攻坚的重要产业之一，藿香在环境温度为15~28℃时生长旺盛，环境温度高于28℃或低于15℃时生长缓慢或停止．藿香的株高 〔单位：cm〕与生长期内环境温度 〔单位：℃〕中的 有关，现收集了13组藿香生长期内环境温度中的 和株高 〔 ，2，…，13〕观测数据，得到如下列图的 散点图．

根据散点图判断，可以利用模型 或 建立 关于 的回归方程，令 ， ，统计处理得到一些数据： 的线性相关系数 ， 的线性相关系数 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ．用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为 关于 的回归方程，并求这种模型的回归方程，由此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为20℃时的株高〔株高精确到1〕．
附：对于一组数据 〔 ，2，3，…， 〕，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．
18.在等差数列 中， ， ．
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕证明： ．
19.如图，在空间几何体 中，平面 平面 ， 平面 ， 与 都是以 为底的等腰三角形， 为 的中点， ， ．

〔1〕证明：点 在平面 内；
〔2〕 ， ，求二面角 的余弦值．
20.设 ，函数 在 上是减函数．
〔1〕求 ；
〔2〕比较 ， ， 的大小．
21.点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记 的轨迹为曲线 ．
〔1〕求 的方程，并说明 是什么曲线；
〔2〕经过点 的直线 与 相交于 ， 两点，求 的最大值．
22.函数 ．
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕当 时，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题知 ， 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】∵ ，
∴ 是线段 的中点，
∴ 。
故答案为：D

【分析】利用条件结合向量共线定理，再结合中点的性质，从而得出点是线段 的中点，再利用数量积求向量的模的公式，从而求出数量积的值。
3.【解析】【解答】因为在 的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，
所以 ，
解得 。
故答案为：B

【分析】因为在 的二项展开式中，再利用二项式系数的性质，从而得出仅有第4项的二项式系数最大，进而求出n的值。
4.【解析】【解答】因为 与1相比都非常大，
所以 的整数局部位数近似于 的整数局部位数，
而 ，
，
，
所以 ，
而 ，
因为 的整数局部位数是n+1位，
所以 的整数局部位数是1233位，
的整数局部位数是1234位，
所以 的整数局部位数最接近1200位，
即 的整数局部位数最接近1200位，
故答案为：D

【分析】利用费马数列的定义结合条件 ， 从而结合整数局部位数的求解方法，从而求出 的整数局部位数最接近1200位。
5.【解析】【解答】因为 为奇函数，当 时， ，
所以 ，解得： ，
所以当 时， ，
所以 。
故答案为：C

【分析】利用奇函数的定义结合条件当 时， ， 从而结合转化的方法求出函数值。
6.【解析】【解答】设 ,那么 ，由题意可得： ，
即 解得： ，所以 的实部为 。
故答案为：B

【分析】设 ,那么 ，再利用条件结合复数的几何意义，从而求出复数 ， 对应的点的坐标，再利用复数 ， 对应的点都在单位圆 上， 结合代入法解方程组求出a,b的值，从而结合复数实部的定义，进而求出复数z的实部。
7.【解析】【解答】解：如图，过 作直线 平面 ，过 作直线 平面 ，

那么 与 相交于 ， 即为球心，连接 ，那么 为该球的半径，
取 的中点 ，连接 ，
因为 是直角三角形， ，
所以 ，
因为 是等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ∥ ，同理 ∥ ，
所以四边形 为矩形，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ,
所以球的外表积为 。
故答案为：D

【分析】过 作直线 平面 ，过 作直线 平面 ，那么 与 相交于 ， 即为球心，连接 ，那么 为该球的半径，取 的中点 ，连接 ，因为 是直角三角形， ，所以 ，因为 是等边三角形，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 平面 ，所以 ∥ ，同理 ∥ ，所以四边形 为矩形，所以 ，因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用勾股定理求出OA的长，从而求出球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出球O的外表积。
8.【解析】【解答】如以下列图所示，

设 ，那么 ， ，
那么 ，解得 ，
  ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
要使点 处测得塔顶的仰角为最大，那么需 最大，也即需 最小，所以 ，
又 ，即 ，
所以C点到塔底O的距离为 90m 。
故答案为：A.

【分析】设 ，再利用勾股定理，那么 ，，再利用二倍角的正切公式解得 的值和 的值 ，再结合勾股定理求出z的值，进而求出x,y的值，要使点 处测得塔顶的仰角为最大，那么需 最大，也即需 最小，所以 ，再利用三角形面积公式和等面积法，从而求出C点到塔底O的距离。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】设这100名学生中学习效率高的人数有n人，由题意有 ，得 .
所以某高中的50名学生中有30人学习效率高，另一所同类高中的50名学生中有10人学习效率高，所以某高中的前50名学生中有 的学生学习效率高，A符合题意，另一所同类高中的前50名学生中有 学习效率高，B不正确.
根据以上数据得到所下的列联表：
学校晚上休息时间
学习效率高人数
学习效率不高人数
总计
某高中
30
20
50
另一所同类高中
10
40
50
总计
40
60
100
，
所以C符合题意，D不正确.
故答案为：AC.

【分析】利用条件结合频率等于频数除以样本容量的公式，得出衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高，再利用独立性检验的方法推出有99.9%的把握认为“学生学习效率上下与晚上睡眠是否充足有关〞。
10.【解析】【解答】对于A：数列 的前 项和 〔 为常数〕，
而 是等差数列，那么数列 的前 项和 ，不可能是 ，所以假设 ，那么 不是等差数列，A符合题意；
对于B：假设 ， ， ，那么 ，所以 时， ； 时 ，对 也成立，所以 ，所以 是等差数列.B符合题意；
对于C：假设 ， ， ，那么 ，所以 时， ； 时 ，对 也成立，所以 ，所以 是等比数列.C符合题意；
对于D：假设 ， ， ，那么 ，所以 时， ； 时 ， 所以 ，所以 不可能等比数列.D不正确。
故答案为：ABC

【分析】利用条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法结合等差数列和等比数列的定义，从而判断出假设 ，那么 不是等差数列，假设 ， ， ，那么 是等差数列， 假设 ， ， ，那么 是等比数列 ，进而找出正确命题的选项。
11.【解析】【解答】由题意有 ，可得 ，可知A不正确，而 ，
因为 ，所以点 在 的右支上，由双曲线的定义有：
，解得 ，B符合题意，
在 中，有 ，解得 ，
，所以 ， C，D符合题意.
故答案为：BCD.

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式，再利用条件，从而求出b的值，进而求出c的值，再利用 ，所以点 在 的右支上，由双曲线的定义，解出的值，在 中，利用余弦定理求出， 从而求出的值，再利用余弦定理求出的值，从而选出正确选项。
12.【解析】【解答】如图示，以D为原点， 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

不妨设正方体边长为1，那么
，所以
对于A：因为 ，所以 ，即直线 与直线 垂直，A符合题意；
对于B：平面 过点 且与 垂直，且 与直线 相交于点 ， 与直线 垂直，
即 ，而 ，所以 ，解得： ，所以M为 的中点；B不符合题意；
对于C：由题意可知： 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，那么
,C符合题意；
对于D：由A的判断过程可知：直线 与直线 垂直，即直线 与直线 垂直，又因为 与直线 垂直，所以 面BDM ， 所以面BDM即为平面 .取 中点为N ， 那么 ,，所以 ，即平面 与正方体的另一个交点为N.
正方体的体积为 ，而三棱台 的体积即为 ,那么 ，所以剩下局部的体积 ，所以 .D符合题意.
故答案为：ACD

【分析】以D为原点， 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为1，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，即直线 与直线 垂直，平面 过点 且与 垂直，且 与直线 相交于点 ， 与直线 垂直，即 ，而 ，再利用数量积的坐标表示求出t的值，所以M为 的中点，由题意可知， 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出的值 ,由A的判断过程可知，直线 与直线 垂直，即直线 与直线 垂直，又因为 与直线 垂直，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 面BDM ， 所以面BDM即为平面 ，取 中点为N ， 那么 ,所以 ，即平面 与正方体的另一个交点为N ， 再利用正方体的体积公式求出正方体的体积，又因为三棱台 的体积即为 ,再利用三棱台的体积公式，从而求出三棱台的体积，再利用作差法求出剩下局部的体积 的值 ，从而求出 的值，进而找出正确选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】设抛物线的焦点为F ， 因为点A到C的焦点的距离为10，
所以由抛物线的定义知 ，解得 ，
所以点A到y轴的距离为7。
故答案为：7。

【分析】设抛物线的焦点为F ， 因为点A到C的焦点的距离为10，所以由抛物线的定义知 ，进而求出的值，从而求出点A到y轴的距离。
14.【解析】【解答】由正弦定理得 ，所以 ，
假设满足条件的 有两个，那么 且 ，
所以 。
故答案为： 内任一数。

【分析】利用条件结合正弦定理得出， 假设满足条件的 有两个，那么 且 ， 从而求出a的取值范围，从而得出a在此范围取任意值都可以。
15.【解析】【解答】根据题意，摸得白球的个数 可能取的值为0，1，2，
计算 ，
，
，
所以随机变量 的数学期望为： ，
所以随机变量 的方差为： 。
故答案为： 。

【分析】根据题意，得出摸得白球的个数 可能取的值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式求出随机变量X的数学期望，再利用随机变量X的数学期望和随机变量X的方差公式，从而求出随机变量 的方差。
16.【解析】【解答】 ，
设 的两根为 ，且 ，
所以 ， 或 ， ， ，
所以 ，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减,
所以 ，
所以 ，
由 可得 或 ，由 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，因为 ，所以 的值域为 。
故答案为： 。

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用函数 的极大值与极小值之和为 ， 从而求出函数 的解析式，再利用求导的方法判断其单调性，从而求出其最值，进而求出函数 的值域 。
四、解答题
17.【解析】【分析】利用条件结合最小二乘法求出 关于 的线性回归方程， 再结合线性回归方程预测出这种中药藿香在生长期内的环境温度为20℃时的株高。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等差数列的通项公式，从而求出公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用两种解法求解。 解法1：因为 ，再利用加减相消求出，再利用均值不等式求最值的方法，得出，所以 ，从而证出 。解法2：因为 ，再利用加减相消求出 ，因为 ，从而证出 。
 
19.【解析】【分析】〔1〕 连结 ， ，因为 与 都是以 为底的等腰三角形，那么 ， ，因为 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，于是 ， ， ， 四点共面，从而推出 的中点 在平面 内。
〔2〕 以 ， ， 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示结合三角形 都是以 为底的等腰三角形， ， ， 所以 ， 可设 ， 从而求出向量的坐标表示，再利用条件 结合数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出t的值， 所以 ， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示求出平面 的法向量和平面 的一个法向量，再利用量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出二面角 的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕 因为 ， ，所以 ，由题设可得 ， ，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出k的值，进而求出的值。
〔2〕 由〔1〕可知 图像关于 对称，所以 ，由〔1〕可得 最小正周期为 ，所以 ，进而求出函数值的关系为，因为 ， ， ， ， 又因为在 上是减函数，从而比较出 ， ， 的大小。
21.【解析】【分析】〔1〕 设动点 ，再利用条件点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ， 再结合两点求斜率公式，从而求出点 的轨迹曲线C的方程，再利用曲线C的方程结合椭圆的定义，推出曲线 是中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含上下顶点。
〔2〕用三种解法解答。解法1：设 ，由〔1〕可知 ， 不垂直于 轴时，可设直线 的斜截式方程为： ，代入 求出交点P的坐标，同理设 ，可设直线 的斜截式方程为 ： ，从而求出点Q的坐标，因为 ， ， 共线，再利用三点共线推出两直线重合，那么直线的斜率相等，所以 ，即 ，因为 ，可得 的值，再利用两点距离公式得出
，把 用 替换可得 ，不妨设 ，那么 ，设 ，由 ，得 ，当且仅当 时取等号，因为 ，设 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而求出 的最大值。
解法2：由〔1〕可知 不垂直于 轴时，可设直线 的斜截式方程为： ，代入 结合判别式法和韦达定理，得恒成立和， ，再利用数量积的坐标表示得出， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用求根公式结合弦长公式，所以，再利用点到直线的距离公式得出点 到直线距离，于是 ，再利用二次函数的图像求最值的方法，从而求出的最大值。
解法3：由〔1〕可知 不垂直于 轴，可设直线 的斜截式方程为： ，代入 结合判别式法和韦达定理，得恒成立和， ，再结合弦长公式求出 和 ，从而得出 ， 再利用点到直线的距离公式得出点 到直线距离，再利用二次函数的图像求最值的方法，从而求出的最大值。
22.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法讨论出函数的单调性。
〔2〕 用三种方法解答。解法1：不等式 等价于 ，设 ，再利用导数的运算法那么求出函数的导函数为，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而判断函数的单调性，所以，由〔1〕可知，当 时， ，得出 ，
所以，因此，当 时， 从而证出。
解法2：不等式 等价于 ，由〔1〕可知，当 时， ，得 ，从而 ，设 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以当 时， ，当 时， ，所以 ，因此 ，所以，当 时，从而证出 。
解法3：设 ，再利用导数的运算法那么求出函数的导函数为 ，因为 在 单调递增， ， ，再利用零点存在性定理，所以存在唯一 ，使 ，当 时， ，当 时， ，所以 ，由 可得 ，所以 ，因为函数 在 单调递增， ，所以 ，由〔1〕可知，当 时， ，得 ，因此，， 所以，当 时，从而证出 。