2021届江苏省常州市高三下学期数学一模试卷及答案

这是一份2021届江苏省常州市高三下学期数学一模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学一模试卷
一、单项选择题
1. 为全集，集合 ， ，那么 〔    〕
A.            B.            C.            D. 
2.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
3.平面向量 ， ，且 ，那么以下正确的选项是〔    〕
A.                              B. 或4                             C.                              D. 
4. ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
5.过圆 ： 外一点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，那么 〔    〕
A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 3
6.函数 ，为了得到函数 的图象，只需〔    〕
A. 先将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位
B. 先将函数 图象上点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位
C. 先将函数 图象向右平移 个单位，再将点的横坐标变为原来的
D. 先将函数 图象向右平移 个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍
7.长方体 ，动点 到直线 的距离与到平面 的距离相等，那么 在平面 上的轨迹是〔    〕
A. 线段                        B. 椭圆一局部                        C. 抛物线一局部                        D. 双曲线一局部
8.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的根底上创造的，是中国古代一项伟大的、重要的创造，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算〞一词最早见于东汉徐岳所撰的?数术记遗?，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．〞北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3局部，上、下两局部是停游珠用的，中间一局部是作定位用的．以下列图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠〔简称上珠〕代表5，下面一粒珠〔简称下珠〕是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠〔上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨〕，那么算盘表示的整数能够被3整除的概率是〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
二、多项选择题
9. 为 所在平面内一点，那么以下正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么点 在 的中位线上
B. 假设 ，那么 为 的重心
C. 假设 ，那么 为锐角三角形
D. 假设 ，那么 与 的面积比为
10.函数 的所有极值点从小到大排列成数列 ，设 是 的前 项和，那么以下结论中正确的选项是〔    〕
A. 数列 为等差数列              B.               C.               D. 
11.函数 ，那么以下选项中正确的选项是〔    〕
A. 在 上单调递减                                  B. 时， 恒成立
C. 是函数 的一个单调递减区间        D. 是函数 的一个极小值点
12.曲线 上的点 满足方程 ，那么以下结论中正确的选项是〔    〕
A. 当 时，曲线 的长度为
B. 当 时， 的最大值为1，最小值为
C. 曲线 与 轴、 轴所围成的封闭图形的面积和为
D. 假设平行于 轴的直线与曲线 交于 ， ， 三个不同的点，其横坐标分别为 ， ， ，那么 的取值范围是
三、填空题
13.一组数据 的平均数为3〔其中 〕，那么中位数为________．
14.展开式中的常数项为________．
15. 为等边三角形， 底面 ，三棱锥 外接球的外表积为 ，那么三棱锥 体积的最大值是________．
16.函数 的导函数为 ，那么 ________；假设 ，那么 ________．
四、解答题
17.数列 满足： ， ．
〔1〕求证数列 是等比数列；
〔2〕假设数列 满足 ，求 的最大值．
18. 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
〔1〕求角 的大小；
〔2〕假设 ，求 的面积．
ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M ， 将△ABM沿着AM折起，如下列图形成四棱锥S- AMCD.

〔1〕假设M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为 ，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；
〔2〕假设将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM ， 求线段MC的长.
20.调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占 ，而当年选择耕种A作物的农户占 ，既选择A作物又收入提高的农户为180户．
〔1〕完成下面 列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关；

种植A作物的数量
未种植A作物的数量
合计
收入提高的数量



收入未提高的数量



合计



附： ， ．
P〔K2≥k〕






k






〔2〕某农户决定在一个大棚内交替种植 三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植 后会有 的可能性种植 ， 的可能性种植C；在每次种植 的前提下再种植 的概率为 ，种植 的概率为 ；在每次种植C的前提下再种植 的概率为 ，种植 的概率为 ．假设仅种植三次，求种植A作物次数 的分布列及期望．
F1 ， F2是椭圆E1： 〔a>b>0〕的左、右焦点，曲线E2： y2=4x的焦点恰好也是F2 ， O为坐标原点，过椭圆E1的左焦点F1作与x轴垂直的直线交椭圆于M ， N ， 且△MNF2的面积为3.

〔1〕求椭圆E1的方程；
〔2〕过F2作直线l交E1于A ， B ， 交E2于C ， D ， 且△ABF1与△OCD的面积相等，求直线l的斜率.
22.函数 ．
〔1〕，求函数 的最大值；
〔2〕假设 恒成立，求 的取值集合；
〔3〕令 ，过点 做曲线 的两条切线，假设两切点横坐标互为倒数，求证点 一定在第一象限内．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： ，
，
又 ，
。
故答案为：D

【分析】利用条件结合交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，而 ，
“ 〞是“ 〞的必要不充分条件，
即“ 〞是“ 〞的必要不充分条件。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞的必要不充分条件。
3.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合向量共线的坐标表示，从而求出x的值，进而找出正确答案。
4.【解析】【解答】因为

又 ，
那么 。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。
5.【解析】【解答】如图，结合题意绘出图像：

因为圆 ： ，直线 、 是圆 的切线，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
根据圆的对称性易知 ，那么 ，
解得 ， 。
故答案为：C.

【分析】结合题意绘出图像，因为圆 ： ，直线 、 是圆 的切线，所以 ， ， ， ，因为 ，再利用勾股定理求出OP的长和PA的长，根据圆的对称性易知 ，再利用三角形面积公式结合的面积的方法，解得AC的长，从而求出AB的长。
6.【解析】【解答】对于A：先将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到 ，A不符合题意；
对于B：先将函数 图象上点的横坐标变为原来的 ，得到 ，再右移 个单位，得到 ，即为 ，B符合题意；
对于C: 先将函数 图象向右平移 个单位，得到 ，再将点的横坐标变为原来的 ，得到 ，C不符合题意；
对于D: 先将函数 图象向右平移 个单位，得到 ，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到 ，D不符合题意。
故答案：B

【分析】利用条件结合正弦型函数的图象变换，从而选出正确的图象变换方法。
7.【解析】【解答】如下列图长方体，

平面 ，
那么 ，即点 到 的距离为 ，
作 ，那么 为点 到平面 的距离，
在平面 中，动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，满足抛物线定义，
故点 的轨迹是抛物线的一局部。
故答案为：C

【分析】在长方体中，平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，那么 ，即点 到 的距离为 ，作 ，那么 为点 到平面 的距离，再利用条件结合抛物线的定义，从而推出点P在平面 上的轨迹。
8.【解析】【解答】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，
1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，
2，20，200，2000，6，60，600，6000，
其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，
那么算盘表示的整数能够被3整除的概率为 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合古典概型求概率公式，从而求出算盘表示的整数能够被3整除的概率。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，设 中点为 ， 中点为 ，
， ，
，即 ， 三点共线，
又 为 的中位线， 点 在 的中位线上，A符合题意；
对于B，设 中点为 ，由 得： ，
又 ， ， 在中线 上，且 ，
为 的重心，B符合题意；
对于C， ， 与 夹角为锐角，即 为锐角，但此时 有可能是直角或钝角，故无法说明 为锐角三角形，C不符合题意；
对于D， ， 为线段 上靠近 的三等分点，即 ，
，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】设 中点为 ， 中点为 ，因为，再利用中点的性质结合共线定理，得出 ，再结合三点共线的判断方法，所以 三点共线，又因为 为 的中位线，所以点 在 的中位线上；设 中点为 ，由 结合相反向量与向量的关系，得： ，又因为， 再利用平行四边形法那么 ，所以 ，所以 在中线 上且 ，再利用三角形重心的定义，所以点为 的重心；因为 ，再利用数量积求向量夹角公式，得出两向量 与 夹角为锐角，即 为锐角，但此时 有可能是直角或钝角，故无法说明 为锐角三角形；因为，所以 为线段 上靠近 的三等分点，再利用向量共线定理，即 ，再利用三角形的面积公式，从而得出两三角形 与 的面积比，从而找出正确的选项。
10.【解析】【解答】解： ，
令 可得 或 ， ，
易得函数的极值点为 或 ， ，
从小到大为 ， ，不是等差数列，A不符合题意；
，B符合题意；
，
，
那么根据诱导公式得 ，C符合题意；
，D不符合题意．
故答案为：BC．

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数 的所有极值点从小到大排列成数列 ，从而求出数列 ，再利用等差数列的定义推出数列 不为等差数列；再利用数列的通项公式结合代入法求出数列的第四项的值；再利用分组求和的方法结合诱导公式，从而求出的值；利用数列的通项公式结合代入法求出数列第三项和第七项的值，从而求出数列第三项和第七项的和，再结合诱导公式求出的值，进而选出结论的正确的选项。
11.【解析】【解答】解： ，
对于 ，当 时， ， ，
所以 ，故 正确；
对于 ，当 时， ， ， ，
所以 ，故 正确；
对于 ， ，又 ，所以 ，
， ，所以 ，
因 ，但此时有 ，故 错误；
对于 ， ，所以 不是函数 的极值点，故 错误．
故答案为：AB．

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而推出函数 在 上单调递减；再利用条件结合不等式恒成立问题求解方法，得出当 时， 恒成立；再利用条件结合特殊函数值比较法结合减函数的定义，从而推出 不是函数 的一个单调递减区间；再利用条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而选出正确的选项。
12.【解析】【解答】对于方程 ，
① 当 ， 时，方程变为 ，即 ，表示半圆弧 ；
② 当 ， 时，方程变为 ，即 ，表示射线 ；
③ 当 ， 时，方程变为 ，该圆不在 ， 范围内，故舍去；
④当 ， 时，方程变为 ，即 ，表示射线 .
综上可知，曲线 由三段构成：射线 ，半圆弧 和射线 .
对于A，当 时，曲线 由三段构成：线段 ，半圆弧 和线段 . 其长度为 ，A符合题意；
对于B，令 ，其表示曲线 上的动点 与定点 连线的斜率，
由图可知， ，但是其最小值是过点 且与半圆弧 相切的切线斜率，显然， ，B不符合题意；
对于C，由图可知，曲线 与 轴、 轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为 ，C符合题意；
对于D，设平行于 轴的直线为 ，要使 与曲线 有三个交点，那么 ，不妨设 与半圆弧 的交点为 ， ，显然， ， 两点横坐标之和 ， 与射线 的交点为 ，那么点 的横坐标 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】对于方程 ，再利用分类讨论的方法结合绝对值的定义，再利用配方法结合半圆弧 、射线 、圆不在 ， 范围内、射线 的轨迹，综上可知，曲线 由三段构成：射线 ，半圆弧 和射线 。当 时，曲线 由三段构成：线段 ，半圆弧 和线段 ，其长度为 ；令 ，再利用两点求斜率公式，得出其表示曲线 上的动点 与定点 连线的斜率， 再利用几何法结合两点求斜率公式可知， ，但其最小值是过点 且与半圆弧 相切的切线斜率，显然，结合两点求斜率公式，得出 ；利用几何法可知，曲线 与 轴、 轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，再利用弓形面积求解方法结合求和法，从而求出其面积和；设平行于 轴的直线为 ，要使 与曲线 有三个交点，那么 ，不妨设 与半圆弧 的交点为 ， ，显然， ， 两点横坐标之和 ， 与射线 的交点为 ，那么点 的横坐标 ，从而求出 的取值范围，进而选出结论正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】解：因为数据 的平均数为3，所以 ，解得 ，所以那么组数据分别是 ，按从小到大排列分别为 ，故中位数为 。
故答案为：3.5。

【分析】利用条件结合平均数公式，从而求出a的值，再利用中位数求解方法，从而求出这组数据的中位数。
14.【解析】【解答】通项 ，令 ，得 ，
∴展开式的常数项为 。
故答案为：12。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
15.【解析】【解答】解：设三棱锥 外接球的半径为 ，由 ，得 ，
设等边三角形 的外接圆的半径为 ，
，即 ，
， ，
，
，
．
令 ，那么 ，
，令 ，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
三棱锥 体积的最大值是 。
故答案为： 。

【分析】设三棱锥 外接球的半径为 ，再利用球的外表积公式，从而求出球的半径，设等边三角形 的外接圆的半径为 ，再利用勾股定理求出 ， 因为， 所以，再利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式得出，再利用三棱锥的体积公式求出 ， 令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而求出三棱锥 体积的最大值。
16.【解析】【解答】解： ，
，
令 ，得 ；
，
，
。
故答案为：1； 。

【分析】利用导数的运算法那么求出导函数，再利用代入法求出函数值；再利用条件结合代入法，从而求出函数值。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 数列 满足： ， ，再利用递推数列变形结合等比数列的定义，从而证出数列 是等比数列
〔2〕利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用放缩法结合作差比较大小的方法，从而判断出数列的单调性，进而求出数列的最大值。
 
 
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理和辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
〔2〕利用条件结合正弦定理得出a的值，再利用余弦定理，从而求出b,c的值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积 。
 
 
19.【解析】【分析】(1)利用两种方法求解。法一:取AM中点为H，连结HS， HB，因为 且AB=BM=1，所以三角形△ABM为等腰直角三角形，同理三角形△ASM也为等腰直角三角形，HS，HB均垂直AM于H，所以AM⊥平面BSH，所以二面角S-AM -B的平面角为 ， 因为SH=BH= ，所以三角形SHB为正三角形，取BH的中点Q，连结SQ，那么SQ垂直与BH，得出 的值，因为AM⊥平面BSH，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以AM垂直于SQ，又因为SQ⊥BH，再利用线线垂直推出线面垂直，所以SQ垂直于底面ABCD，连结AQ，∠SAQ 为AS与平面ABCD所成角，因为AS=1， 再利用正弦函数的定义，从而求出AS与平面ABCD所成角的正弦值。
法二∶取AM中点为H ，连接SH，BH ，因为△AMS和△AMB均为等腰直角三角形，所以SH，BH均垂直于AM，再利用线线垂直推出线面垂直，所以AM⊥平面BSH，以H为坐标原点，HB，HM 分别为x轴， y轴建系，那么点s在坐标平面xOz内，设其坐标为S〔a，0，c〕，〔a>0，c>0〕 由三角形△AMS为等腰直角三角形且AS=1，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，因为 ，再利用向量求模公式，所以 ①，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出二面角S-AM-B的大小，再利用二面角S-AM-B的大小为 ， 所以 ②由①②联立得出a,c的值，从而求出向量 的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出直线AS与平面ABCD所成角的正弦值。
〔2〕 用两种方法求解。法一∶在平面SAM内作SH⊥AM连结BH，DH，那么BH⊥AM，又因为SD⊥AM，AM⊥平面SHD ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以AM⊥DH，又因为AM⊥BH，又由AM，BH，DH都在平面ABCD内结合三点共线的判断方法，所以B，H，D三点共线，所以AM⊥BD，因为矩形ABCD中，BC=2AB=2，因为两三角形△ABM 与△DAB相似，再利用两三角形相似对应边成比例，所以求出 的长，进而求出MC的长。
法二∶作BH⊥AM于H，那么SH⊥AM，再利用线线垂直推出线面垂直，所以AM⊥平面BSH，以H为坐标原点，HB，HM分别为x轴，y轴建系，那么点s在坐标平面xOz内，设其坐标为S〔a，0，c〕，设D〔x，y，0〕，再利用向量的坐标表示设出， 取AM的方向向量为 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系结合数量积的坐标表示，从而求出y的值，即D在x轴上，再利用三点共线的判断方法，所以B，H，D 三点共线，所以AM⊥BD，因为矩形ABCD中，BC=2AB=2，因为两三角形△ABM 与△DAB相似，再利用两三角形相似对应边成比例，所以求出 的长，进而求出MC的长。
 
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件完成 列联表，再利用独立性检验的方法判断出有97.5%的把握认为收入提高与种植A作物有关。
〔2〕 设 表示第 次种植作物 的事件，其中 ，由条件结合条件概型求概率公式，得出， ， ， 的值 ，因为第一次必种植 ，从而求出随机变量 的取值，再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
 
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕 因为曲线E2：y2=4x的焦点恰好也是F2 ， 那么椭圆的右焦点F2(1，0)，得左焦点F1(-1，0)，从而求出半焦距，进而求出焦距，因为三角形△MNF2的面积为3，再结合三角形面积公式，从而求出|MN|的值，从而可得点M的坐标， 再利用半焦距的值、点在椭圆上结合代入法、椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 因为O为F1 ， F2的中点，所以O到l的距离为F1到l距离的一半，又因为三角形△ABF1与三角形△OCD的面积相等，再利用三角形面积公式，那么 ，显然直线l不垂直于y轴，设l的方程为x=my+1，A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，C(x3 ， y3)，D(x4 ， y4)，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式，从而求出 ， 再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式，从而求出 ， 再利用， 得出m的值，从而求出直线l的斜率。
 
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式， 再利用对数函数的定义域求出函数的定义域，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值
〔2) 令 ，再利用导数的运算法那么求出函数g(x)的导函数，假设 ，存在 ，与 恒成立矛盾，
所以必有 ，因为，再利用判别式法结合韦达定理，所以方程必有一正根记 ，从而判断出函数 的单调性，从而求出函数的最大值，注意到 ，那么有 ，代入〔 〕式，从而求出a的值，进而求出 的取值集合。
〔2〕 因为 ，设两切点为 ， ，不妨设A在 的右边，那么 ，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再结合点斜式求出A， 两点处的切线方程分别为 ， ，令 ，解得 ， ，因为 ，所以 ，再利用分析法证出 ， 设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，那么 ，所以 ，从而推出点 一定落在第一象限。