2021届江苏省南通市高三下学期数学5月第三次适应性考试试卷及答案

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这是一份2021届江苏省南通市高三下学期数学5月第三次适应性考试试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学5月第三次适应性考试试卷
一、单项选择题
1.＝〔　　〕
A. ﹣1                                          B. ﹣i                                          C. 1                                          D. i
2.随机变量，假设，那么〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D.
3.1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲?没有共产党就没有中国?，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成?没有共产党就没有新中国?，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党〞是“没有新中国〞的〔    〕条件．
A. 充分                           B. 必要                           C. 充分必要                           D. 既非充分又非必要
4. ，那么a，b，c的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D.
5.的展开式中的系数为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D.
6.正三角形ABC的边长为3，且，那么 =〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D.
7.椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，那么〔    〕
A.                          B.                          C.                          D.
8.四棱锥的侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，且面面ABCD，假设，那么该四棱锥内可以放置最大的球的半径为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D.
二、多项选择题
9. ，那么以下不等式一定成立的是〔    〕
A.
B.
C.
D.
10.圆，点P在圆上且在第一象限内，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.             B.             C.             D.
11.正方体中，设与对角线垂直的平面α截正方体外表所得截面多边形记为M，那么关于多边形M的说法正确的选项是〔    〕
A. M可能为正三角形
B. M可能为正方形
C. 假设M为六边形，那么面积为定值
D. 假设M为六边形，那么周长为定值
12.声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．假设一个复合音的数学模型是函数，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 是的一个周期                                         B. 在上有7个零点
C. 的最大值为3                                               D. 在上是增函数
三、填空题
13. ，那么的最小值为________．
14.锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下四个判断：
甲：；乙：；丙：；丁：．
假设上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的选项是________．
15.圆周上等距离的排列着八个点，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，那么恰好能构成一个直角三角形的概率为________．
16.函数，那么当时，函数有最小值，那么 ________．此时 ________．
四、解答题
17. 中，，   ▲   ，求．
请从① ；② ；③ 三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答．
18.数列的前n项和为，假设．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕假设，求数列的前n项和．
19.某空调商家，对一次性购置两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购置两台这种空调，现需决策在购置时应购置哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数
0
1
2
3
空调台数
20
30
30
20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
〔1〕求购置这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
〔2〕请问小李选择哪种质保方案更合算．
20.如图，在三棱台中，面DEF，，．

〔1〕假设，证明：面面CDE；
〔2〕求二面角的余弦值．
21.椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，．假设的周长为6，面积为．

〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕椭圆的左、右顶点分别为A，B，过直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为，证明：为定值．
22.函数．
〔1〕证明：两函数图像有且只有一个公共点；
〔2〕证明：．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】＝
故答案为A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质，整理即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为随机变量，那么 .
故答案为：B.

【分析】利用随机变量中的数据代入数值计算出结果即可。
3.【解析】【解答】记条件p: “没有共产党〞，条件q：“没有新中国〞，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党〞是“没有新中国〞的充分条件.
故答案为：A.

【分析】由充分条件的定义结合条件就得出答案。
4.【解析】【解答】，因为函数在上单调递增，
所以，
因为函数在上单调递减，所以，
所以
故答案为：D

【分析】首先由对数的运算性质整理化简c结合对数函数的单调性即可比较出a与c，再由指数函数的单调性比较出a、b、c的大小即可。
5.【解析】【解答】，
的展开式通项为，的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
其中，，且、，
令，可得或或，
因此，的展开式中的系数为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意求出和的通项公式，由此得出的通项公式，结合题意令由此求出r和k的值，代入通项公式并把结果加起来即可。
6.【解析】【解答】解：∵正三角形ABC的边长为3，且，

，，，
，
，

.
故答案为：A.

【分析】利用向量加、减的运算法那么，以及数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】设、，由可得，
所以，，那么，即，变形可得，
故答案为：C.

【分析】由椭圆的简单性质求出即，再结合双曲线的性质以及离心率公式即可得出，整理即可得出答案。
8.【解析】【解答】取AD的中点E，BC的中点F，连接PE，EF，PF，那么由平面平面ABCD 可知平面ABCD， . 由对称性可知四棱锥内可以放置最大的球的半径即为直角△ 内切圆的半径，
其中， .

故答案为：B．

【分析】根据题意作出辅助线，由此即可得出对称性可知四棱锥内可以放置最大的球的半径即为直角△ 内切圆的半径，结合三角形的几何性质以及计算关系即可求出EF的大小，再由题意即可得出球的半径的最大值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A：由根本不等式可知显然成立 .A符合题意；
对于B：因为，
所以 .B符合题意；
对于C：为柯西不等式，显然成立.C符合题意；
对于D：对于，取，那么有，D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】由根本不等式的性质即可判断出选项A、B正确；再由柯西不等式即可判断出选项C正确；由特殊值法代入验证即可判断出选项D错误，由此得出答案即可。
10.【解析】【解答】设，那么，
对A，，A符合题意；
对B，当与圆相切时，到达最大值为，所以，B符合题意；
对C，因为，因为，所以当为直角或钝角时，显然有；当为锐角时，假设，那么有可得，所以假设成立，C符合题意；
显然D就错误；
故答案为：ABC.

【分析】由两点间的距离代入数值即可判断出选项A正确；由直线与圆的位置关系结合题意即可判断出选项B正确；由正弦定理结合三角形的几何性质即可判断出选项C正确、D错误；由此得到答案。
11.【解析】【解答】对于A，M为知M能为正三角形
对于B，截面要么与正方体的三个面相截，要么与正方体的六个面相截，从而截面为三角形或六边形知B不符合题意
对于C，D，当截面M为六边形时，如图，

由于截面与截面都与直线垂直，因此它们平行，它们与正方体的在同一外表上交线必平行，
如，，同理，
设正方棱长a．
，且

，同理，
所以为六边形时周长为为定值，但六边形变形时面积不为定值，当为各棱中点时面积最大为，当截面向平面靠拢时，是其极限位置，但的面积与最大值不相同，C不符合题意，D符合题意
故答案为：AD．

【分析】由正方体的几何性质即可判断出选项A正确；由正方体的几何性质即可判断出选项B错误，结合题意利用截面的几何性质以及平行的性质整理即可判断出选项C错误、选项D正确；由此得出答案。
12.【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；
对于B，令或，，
由，由，由，共7个零点，B符合题意；
对于C，，令，那么，
，且当时，，在上递增，
当时，，在上递减，当时，，在上递增，
而，即x=1时，，，C符合题意；
对于D，当时，，而在上单调递增且在上也单调递增，
所以在上单调递增，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】根据三角函数的周期性判断答案A，由三角函数的零点的定义判断答案B，根据三角函数的最值判断答案C，根据三角函数的单调性判断答案D.
三、填空题
13.【解析】【解答】，
等号成立当且仅当，即 .
故答案为： .

【分析】首先整理化简原式，再由根本不等式即可求出最小值。
14.【解析】【解答】假设甲说的对，即，故，由于在锐角中，故，即丁也正确；与题目矛盾，故甲不正确，丁不正确；
假设乙说的对，即，由于，故，所以，即，此时大小无法确定，故甲、丙、丁均无法确定，故满足题意；
假设丙正确，即，所以在锐角中，此时甲、丁均正确，故不满足条件；
假设丁正确，即，所以在锐角中，此时甲、丙均正确，故不满足条件.
故四个论断有且只有一个是正确的，为乙.
故答案为：乙

【分析】由合情推理结合余弦函数、正弦函数以及正切函数的性质，即可得出答案。
15.【解析】【解答】如图每一条直径均可构成6个直角三角形，可知构成直角三角形有种，

故恰好能构成一个直角三角形的概率为，
故答案为： .
【分析】根据题意由概率的几何意义，结合条件计算出结果即可。
16.【解析】【解答】，
，当且仅当时等号成立.
，当且仅当时等号成立.
，当且仅当时等号成立.
，当且仅当时等号成立.
将上面的式子相加得，
当且仅当时等号成立. ∴当时，有最小值
所以．
故答案为：1011；0．

【分析】由绝对值不等式的性质整理即可得出最小值，再把各个式子相加结合求和公式，求出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】选① 利用正弦定理得出，再由余弦定理整理得出关于c的方程求解出c的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
选② 首先利用余弦定理整理得到结合条件，即可得出从而求出三角形的面积值。
选③ 根据题意由同角三角函数的根本关系式计算出sinC的值，再由诱导公式结合两角和的余弦公式整理求出cosA的值，由此求出sinA的值，再由正弦定理代入数值计算出BC的值，并把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。

18.【解析】【分析】(1)据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列的奇数项与偶数项各自成等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论整理得出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和即可。

19.【解析】【分析】(1)根据题意由n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)结合题意由期望公式，代入数值分别计算出方案一和方案二的期望值，由此进行比较即可得出答案。
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，结合条件得出，再由线面垂直的性质定理得出线线垂直，从而得出四边形PCFE为正方形利用平行关系的传递性得出线面垂直，结合线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 ACE 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ACE的法向量的坐标，同理即可求出平面 CED 的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二角的余弦值。
21.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及条件即可得出，求解出a与b的值从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的公式以及条件整理即可得出，从而得证出结论。
22.【解析】【分析】(1)根据题意令，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可得出当且仅当时等号成立，由此得证出结论。
(2) 由〔1〕知对任意的恒成立，整理得到即当时，，取，从而得出，两边求和整理即可得证出结论。