2021届湖南省永州市高三数学高考押题卷及答案
展开高三数学高考押题卷
一、单项选择题
1.设集合 ，集合 ，那么 等于〔 〕
A. B. C. D.
2.复数 ， ， 是虚数单位.假设 ，那么 〔 〕
D.
3.以下函数中， 的最小值为2的是〔 〕
A.
B.
C.
D.
4.以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心角为 的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，以以下列图为该螺旋线的前一局部，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面那么该圆锥的外表积为〔 〕
A.
B.
C.
D.
5.当 时，函数 取得最小值，那么 〔 〕
A. B. C. D.
6.“五一〞小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排 ， ， ， ， ， ，G，H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生 不安排看望老人甲，学生 不安排看望老人乙，那么安排方法共有〔 〕
A. 1260种 B. 2520种 C. 1440种 D. 1890种
7.实数 ， ，那么“ 〞是“ 〞的〔 〕
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. ､ 分别为双曲线 的左右焦点， 为双曲线左支上一点， 与 轴上一点 正好关于 对称，那么双曲线 的离心率为〔 〕
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.，随机变量 的分布列如下，那么以下结论正确的有〔 〕
0 | 1 | 2 | |
A.的值最大
B.
C.随着概率的增大而减小
D.随着概率的增大而增大
10.在 中，内角 的对边分别为 ，以下说法中正确的选项是〔 〕
A. 假设 为锐角三角形且 ，那么
B. 假设 ，那么 为等腰三角形
C. 假设 ，那么
D. 假设 ， ， ，那么符合条件的 有两个
11.函数 是奇函数， 是偶函数，并且当 ， ，那么以下选项正确的选项是〔 〕
A.在 上为减函数
B.在 上
C.在 上为增函数
D.关于 对称
12.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第 项与第 项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前 项，从而形成新的数列 ，数列 的前 项和为 ，那么〔 〕
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13.向量 ， ，假设 且方向相反，那么 ________．
14.抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上一点 满足 ，那么以点 为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为________．
15. ，那么 最小值为________.
16.假设用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，那么所制作的正三棱柱模型的高为________，体积的最大值为________.
四、解答题
17.在 中，内角 的对边分别为 ， .
〔1〕假设 ， ，求 的面积；
〔2〕假设 ，求角 .
18.各项为正数的数列 ，其前 项和为 ， ，且 .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，求 .
19.在四棱锥 中，四边形 是边长为4的菱形， ， .
〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕如图，取 的中点为 ，在线段 上取一点 使得 ，求二面角 的大小.
那么：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组〞，甲乙两名队员投进篮球的概率为别为 ， .
〔1〕假设 ， ，那么在第一轮游戏他们获“神投小组〞的概率；
〔2〕假设 ，那么在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组〞的称号16次，那么理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.
21.直线 经过椭圆 ( )左顶点和上顶点.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕假设 ， 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，直线 上存在一点 ，使得三角形 为正三角形，求 所在直线的方程.
22.函数 .
〔1〕假设 ，讨论 的单调性；
〔2〕 ，假设方程 在 有且只有两个解，求实数 的取值范围.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
2.【答案】 D
3.【答案】 C
4.【答案】 A
5.【答案】 C
6.【答案】 C
7.【答案】 D
8.【答案】 B
二、多项选择题
9.【答案】 B,D
10.【答案】 A,C
11.【答案】 B,D
12.【答案】 A,D
三、填空题
13.【答案】 -1
14.【答案】
15.【答案】 4
16.【答案】 ；
四、解答题
17.【答案】 〔1〕在 中，由正弦定理得 ，且 ，
，
转化为 ，
所以 ，
而 ，所以 ，即 ，
为 内角， ， .
， ，
由正弦定理得 ， ，
，
的面积为 .
〔2〕由 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，且 ，
，
， ，
，
，得 ，
， 或 ，
或 .
18.【答案】 〔1〕由 ，得 ，
将以上两式相减，可得 ，
那么 ，所以 ，
由于数列的各项均为正数，所以 ，
又 ，所以 .
〔2〕由题意可得 ①，
那么 ②，
由②–①可得
，
那么 .
19.【答案】 〔1〕因为 ， ，所以 ，所以 ，
又因为 为平行四边形，所以 ， ，
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 .
〔2〕由〔1〕知， ， ， 两两垂直，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如以下列图的空间直角坐标系，
在三角形 中， ，
那么 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
因为 ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
那么 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是取 ，
又由〔1〕知，底面 为正方形，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
设二面角 的大小为 ，那么 ，
所以二面角 的大小为 .
20.【答案】 〔1〕由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
〔2〕他们在一轮游戏中获“神投小组〞的概率为:
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
令 ，以 ，那么 ，
当 时， ，
他们小组在 轮游戏中获“神投小组〞次数 满足 ，
由 ，那么 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.
此时 ， ， .
21.【答案】 〔1〕因为直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
又直线 经过椭圆 ( )左顶点和上顶点，
可得 ， ，椭圆 的方程为 .
〔2〕设 ，那么 ，
当直线 的斜率为 时， 的垂直平分线就是 轴， 轴与直线 的交点为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∴直线 的方程为 ；
当直线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，
代入椭圆方程消去 ，得 ，
∴ ，那么 ，
设 的垂直平分线为 ，设它与直线 的交点为 ，
那么 ， ，所以 ，
∵ 为等边三角形，∴应有 ，
代入得到 ，解得 (舍)或 ，
此时直线 的方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 .
22.【答案】 〔1〕依题可得 ，
函数 的定义域为 ，
所以 .
当 时，由 ，得 ，那么 的减区间为 ；
由 ，得 ，那么 的增区间为 .
当 时，由 ，得 ，那么 的减区间为 ；
由 ，得 或 ，那么 的增区间为 和 .
当 时， ，那么 的增区间为 .
当 时，由 ，得 ，那么 的减区间为 ；
由 ，得 或 ，那么 的增区间为 和 .
〔2〕.
在 上有两个零点，即关于 方程 在 上有两个不相等的实数根.
令 ， ，那么 .
令 ， ，那么 ，
显然 在 上恒成立，故 在 上单调递增.
因为 ，所以当 时，有 ，即 ，所以 单调递减；
当 时，有 ，即 ，所以 单调递增.
因为 ， ， ，
所以 的取值范围是 .
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