2021届河南高三下学期理数高考适应性考试试卷及答案

这是一份2021届河南高三下学期理数高考适应性考试试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期理数高考适应性考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                   B.                   C.                   D. 
2.复数 满足 〔其中 为虚数单位〕，那么复数 的虚部为〔   〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.假设函数 的最大值为 ，那么常数 的一个可能取值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
4.假设实数 满足 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
5.如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为 ，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，那么异面直线 所成角的余弦值为〔    〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
6.点 为抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点，那么 的最小值为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
7.“中国剩余定理〞又称“孙子定理〞，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，那么数列 各项的和为〔    〕
A. 137835                              B. 137836                              C. 135809                              D. 135810
8.从正方体的12条棱中任选3条棱，那么这3条棱两两异面的概率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
9.假设 的外心为 ，且 ，那么 等于〔    〕
A. 5                                          B. 8                                          C. 10                                          D. 13
10.假设函数 〔 为常数〕存在两条均过原点的切线，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
11.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，那么其不能到达的空间的体积为〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
二、多项选择题
12.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，以下说法正确的选项是〔    〕

A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;          B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;        D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
三、填空题
13. 那么 的最大值为________．
14.函数 的最大值为________.
15.双曲线 的左、右交点分别为 ，点 在双曲线上．假设 为直角三角形，且 ，那么双曲线的离心率为________．
16.在数列 中， ，记 ，假设对任意的 恒成立，那么实数 的取值范围为________.
四、解答题
17.在如下列图的空间几何体中，平面 平面 ， 与 均是等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在 的平分线上.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.在① ，② 这两个条件中任选一个作为条件，补充到下面的横线上并作答.
问题： 的内角 的对边分别为 ，             .
〔1〕求 ；
〔2〕假设 为 的中点， ，求 的面积的最大值.
19.直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2021年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．假设将销售主播按照年龄分为“年轻人〞〔20岁~39岁〕和“非年轻人〞〔19岁及以下或者40岁及以上〕两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户〞，使用次数为5次或缺乏5次的称为“不常使用直播销售用户〞，那么“经常使用直播销售用户〞中有 是“年轻人〞．

参考数据：独立性检验临界值表









30841


其中， ．
〔1〕现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系〞的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成 列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表

年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户



不常使用直播销售用户



合计



〔2〕某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品〞的工程上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ．
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
20.椭圆 ，直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 为坐标原点．
〔1〕假设 ，且 为线段 的中点，求椭圆 的离心率；
〔2〕假设椭圆长轴的一个端点为 ，直线 与 轴分别交于 两点，当 时，求椭圆 的方程．
21.函数 .
〔1〕当 时，讨论函数 的单调性；
〔2〕当 时，关于 的不等式 有解，求 的最大值.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 〔 为参数 〕．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程为 ．
〔1〕求半圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
〔2〕直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在半圆 上，且直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍， 的面积为 ，求 的值．
23. 是正实数，且满足 ．
〔1〕是否存在满足条件的 ，使得 ，试说明理由；
〔2〕求 的最大值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ， ，
所以 。
故答案为：D．

【分析】利用对数型函数的定义域求解方法结合交集的运算法那么，进而求出集合A，再利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用补集的运算法那么求出集合。
2.【解析】【解答】解：复数 满足 ，那么 ，
即复数 的虚部为 ，
故答案为：B.

【分析】利用复数的求模公式结合复数的乘除法运算法那么，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
3.【解析】【解答】 ，
，
，
，
因为函数 的最大值为 ，且 ，
所以 ，
化简得 ，所以常数 的一个可能取值为。
故答案为：D

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的最大值，再结合条件函数 的最大值为 ， 进而求出的值，从而求出常数 的一个可能取值。
4.【解析】【解答】设 ，那么 ， ， ， ，可排除ABD，
故答案为：C.

【分析】利用条件结合指数与对数的互化公式，进而求出x,y,z的值，从而比较出三者的大小。
5.【解析】【解答】由题意知 ， ，
取 中点 为底面圆圆心，连接 ， 为弧 中点，

那么 ，
是轴截面，那么平面 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又因为 是 中点，那么 ，
所以 是异而直线 所成角或其补角，
且 ， ，所以 ， ，
异面直线 所成角的余弦值为 。
故答案为：B．

【分析】由题意知 ， ，取 中点 为底面圆圆心，连接 ， 为弧 中点，那么 ，又因为三角形是轴截面，从而推出面面垂直，即平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理，进而推出线面垂直，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即，又因为 是 中点，那么 ，所以 是异而直线 所成角或其补角，再利用条件，进而求出异面直线 所成角的余弦值。
6.【解析】【解答】设 ，
那么 ，
，
，
当 时， ，
所以 。
故答案为：B

【分析】利用点 为抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点， 结合抛物线与圆的位置关系，再利用几何法结合两点距离公式，进而得出 的最小值。
7.【解析】【解答】由题意知， 被15除1，所以数列 是等差数列，公差 ，首项为 ，
，由 得， ．因此 ，
。
故答案为：D．

【分析】由题意知， 被15除1，所以数列 是等差数列，公差 ，首项为 ，进而结合等差数列的通项公式和条件，进而求出n的取值范围，从而确定题中满足要求的n的值，再利用等差数列的前n项和公式，进而求出数列 各项的和 。
8.【解析】【解答】从正方体的12条棱中任选3条棱，共有 种，
其中，每条棱都有4条棱与其异面，

例如， 与 异面，有 和 两组构成两两异面，
对于 构成的平面，每条棱都可以构成2组两两异面，
因此共有 种组合公式构成两两异面，
故这 条棱两两异面的概率为 。
故答案为：A.
【分析】利用条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而求出这三条棱两两异面的概率。
9.【解析】【解答】



。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合数量积的运算法那么，再结合数量积的定义，进而求出 的值。
10.【解析】【解答】由题意得 ，
设切点坐标为： ，
那么过原点的切线斜率： ，
整理得： ， ，
存在两条过原点的切线， ， ，存在两个不同解，
设 ， ，那么问题等价于 与 存在两个不同的交点，
又因为 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
，
的大致图象如下：

假设 与 存在两个不同的交点，那么 ，
解得： 。
故答案为：B

【分析】由题意结合导数的运算法那么和导数的公式，进而得出 ， 再设切点坐标为： ，再利用求导的方法求出函数在切点处的过原点的切线的斜率，整理得： ， ， 因为存在两条过原点的切线，所以 ， ，存在两个不同解，设 ， ，再利用方程的解与两函数的交点的横坐标的等价关系，那么问题等价于 与 存在两个不同的交点，又因为 ， 再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数的最小值，再画出两函数 与 的图像，进而结合两函数图象求出实数a的取值范围。
11.【解析】【解答】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余局部，其体积为 ，
小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为 ，高为2的圆柱剩下的局部，且有3个，那么其体积为 ，
那么小球不能到达的空间的体积为 。
故答案为：A.

【分析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余局部，再利用正方体的体积公式结合球的体积公式，再结合作差法，进而求出其体积，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为 ，高为2的圆柱剩下的局部，且有3个，再利用正四棱柱的体积公式和圆柱的体积公式，再结合作差法，进而求出其体积，再结合求和法求出小球不能到达的空间的体积。
二、多项选择题
12.【解析】【解答】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，A不符合题意；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，B不符合题意;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，C符合题意;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D符合题意;

【分析】利用条件结合某地连续11天复工复产指数折线图，进而结合统计的分析方法，进而选出说法正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】作出不等式组对应的可行域，如下列图，

因为 ，所以 ，
它表示斜率为 ，纵截距为 的直线系，
当直线 经过点 时，纵截距 最小， 最大，
联立 得 ,
所以 。
故答案为：8。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值。
14.【解析】【解答】 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 时， 取得最大值1， ，
所以 ， 时等号成立．所以 的最大值为 。
故答案为： 。

【分析】利用二次函数的顶点式求出二次函数的最小值，进而结合不等式的根本性质求出， 再利用正弦型函数的图像求出正弦型函数的最大值，进而求出函数 函数 的最大值。
15.【解析】【解答】根据双曲线的对称性，设点 在双曲线的右支上，
由三角形 为直角三角形，可知 或 ，
〔1〕假设 ，由 ，设 ，
由勾股定理知： ，又 ，即 ，
；
〔2〕假设 ，由 ，设 ，
由勾股定理知： ，
又 ，即 ，
  ，
综上可知，双曲线的离心率为： 或 。
故答案为： 或 。

【分析】根据双曲线的对称性，设点 在双曲线的右支上，由三角形 为直角三角形，可知 或 ， 再利用分类讨论的方法结合勾股定理和双曲线的定义，再结合双曲线的离心率公式，进而求出双曲线的离心率。
16.【解析】【解答】 ， ，即 ，
， ，即 ，
，
又因为对任意的 恒成立，即 ，
即 恒成立，
当 为奇数时， 恒成立，此时 的最小值为1，那么 ，
当 为偶数时， 恒成立，此时 的最大值为 ，即 ，
综上所述， 。
故答案为： 。

【分析】 在数列 中， ， 再利用递推公式变形结合等比数列的定义，进而结合等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用 ， 进而求出数列的通项公式，又因为对任意的 恒成立，即 ，即 恒成立，再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出的最值，从而求出实数 的取值范围。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 取 的中点 ,连接 ，由题意知, 为 的平分线,且 ，设点 是点 在平面 上的射影，再利用条件结合线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用面面垂直的性质定理，进而证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即平面 ，同理可得 平面 ，又因为 平面 , 所以推出线线平行，因为和平面 所成的角为 ,即 ,所以
，又因为 ，再利用平行四边形的定义推出四边形 为平行四边形，进而推出线线平行，即 ，进而证出线面垂直，即证出 平面 。
〔2〕 以 方向为 轴, 轴, 轴的正方向,建立如下列图的空间直角坐标系 , 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
18.【解析】【分析】〔1〕 在① ，② 这两个条件中任选一个作为条件，补充到横线上并作答。 选择条件① ，利用条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合三角形中角C的取值范围和同角三角函数的根本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值； 选择条件② ，利用条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合同角三角函数的根本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
〔2〕利用 为 的中点， ， 结合平行四边形法那么结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而结合均值不等式求最值的方法，从而求出ac的最大值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形面积的最大值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件填写出 列联表， 再利用独立性检验的方法判断出有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关。
〔2〕 针对题中的两种销售方案， 结合随机变量的分布列和数学期望公式、方差公式，进而从期望和方差的角度为投资公司选择出一个合理的方案。
20.【解析】【分析】〔1〕利用k的值求出直线的方程，再利用直线 与椭圆 交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 分别联立直线与椭圆的方程、直线与y轴所在直线方程，进而求出交点M,N,P的坐标，再利用 为线段 的中点结合中点坐标公式，进而求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形，进而求出椭圆的离心率。
〔2〕利用椭圆长轴的一个端点为 ，进而求出a的值，再利用a的值，进而求出点P的坐标，再利用直线l与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再结合点斜式设出直线QM和直线QN的方程，再利用两直线 与 轴分别交于 两点，分别联立两直线与y轴所在直线求出点A、点B的坐标 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用条件 结合数量积的坐标运算，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
21.【解析】【分析】(1)利用a的取值范围结合求导的方法判断出函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
〔2〕 设 ， 再利用导数的运算法那么结合导数的公式，得出，因为当 时， 有两个根 ，不妨令 ，再利用韦达定理得出 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最大值， 因为存在 使 成立，那么， 又因为 ，所以，因为，进而求出，所以， 令 ， 再利用求导的方法判断出函数h(x)的单调性，进而求出函数h(x)的最大值，从而求出实数b的最大值。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再利用参数方程与普通方程的转化方法，进而求出半圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程。
〔2〕利用点 在半圆 上， 可设 ，其中 ， 再利用点到直线的距离公式，进而求出点 到直线 的距离，再利用直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，分别联立直线与x轴和y轴所在直线，进而求出点A,B的坐标，再利用两点距离公式求出A,B两点的距离，再利用三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 ，再结合条件三角形 的面积为 ， 进而求出a的值。
 
23.【解析】【分析】〔1〕 由 是正实数，且满足 ，所以 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出， 所以不存在满足条件的 ，使得 。
〔2〕利用条件结合柯西不等式求出 的最大值 。