2021届河南省郑州市高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届河南省郑州市高三理数三模试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
2.1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式 ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞.根据此公式可知，设复数 ，根据欧拉公式可知， 表示的复数的虚部为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
3.假设直线 是函数 的一条切线，那么函数 不可能是〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
4.函数 的图像大致为〔  〕
A. 
B. 
C. 
D. 
5.等差数列 的公差不为零，且 ， 为其前n项和，那么 〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
6.函数 ， ， ， ，那么 ， ， 的大小关系 为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
7.假设 、 满足条件 ，当且仅当 ， 时， 取最小值，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
8.数列 的通项公式是 ，其中 的局部图象如以下图， 为数列 的前n项和，那么 的值为〔    〕

A. -1                                        B. 0                                        C.                                         D. 
9.等腰三角形 的斜边 ，沿斜边的高线AD将 折起，使二面角 为 ，那么四面体ABCD的外接球的体积为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
10.A，B是椭圆 长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为 .假设椭圆的离心率为 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 1                                        B.                                         C.                                         D. 
11.在棱长为2的正方体 中，点 平面 ，点F是线段 的中点，假设 ，那么 面积的最小值为〔    〕
A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 2
12.函数 ，当 时， ，假设在区间 内，函数 有四个不同零点，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
二、填空题
13.在矩形ABCD中，其中 ， ，AB上的点E满足 ，F为AD上任意一点，那么 ________.
14.展开式中的a与b指数相同的项的表达式为________.
15.双曲线 的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线 与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B， ，且 ，那么双曲线的离心率 为________.
16.1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章?英国的海岸线有多长？?标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形〞，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实说明它们是描述和探索自然界大量存在的不规那么现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC､ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为 ，假设存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有 ，那么a的最大值为________.
三、解答题
17.如图，在 中， ， ，点D在BC边上， ， 为锐角.

〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求 的值及CD的长.
18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形， ， ， ， ，E是PB的中点.

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，直线PA与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
19. 芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的局部，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型 芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件 芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1)：
产品的性能指数在[50，70)的称为A类芯片，在[70，90)的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.
〔1〕在该流水线上任意抽取3件 芯片，求C类芯片不少于2件的概率；
〔2〕该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用 ；和年销售量 (i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示.
〔i〕利用散点图判断， 和 (其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；
〔ii〕对数据作出如下处理：令 ， ，得到相关统计量的值如下表：








150
725
5500
15750
16
25
56

根据〔i〕的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；
〔iii〕由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值.(参考数据： )
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距最小二乘估计分别为 ， .
20.抛物线 和圆 ，过抛物线上一点 ，作圆E的两条切线，分别与x轴交于A､B两点.
〔1〕假设切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；
〔2〕假设 ，求△ 面积的最小值.
21.函数 .
〔1〕求 的最小值；
〔2〕证明：对任意的 ， 恒成立.
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程 ，曲线C的极坐标方程为 ．
〔1〕写出直线 和曲线C的直角坐标方程；
〔2〕点 ，假设直线 与曲C线交于P、Q两点，PQ中点为M，求 的值
23.函数 ．
〔1〕在平面直角坐标系中画出函数 的图象；

〔2〕假设对 ， 恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，求 的最小值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ，所以，故 。
故答案为：D.

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用指数函数的单调性求出集合B，再结合交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】由题意知： ，而 ，
∴ ，即虚部为 。
故答案为：C.

【分析】利用欧拉公式得出，那么 ，再结合复数的乘除法运算法那么和复数虚部的定义，从而求出所求复数的虚部。
3.【解析】【解答】由题设知：假设切点为 ，那么 ，
A： ，有 ；
B： ，有 ；
C： ，有 ；
D： ，显然无解.
故答案为：D.

【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，从而结合条件得出不可能的函数。
4.【解析】【解答】 的定义域为 ，且 ，那么 是偶函数，图象关于 轴对称，D不符合题意；
，A不符合题意；
，C不符合题意.
故答案为：B.

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项A与C，由此得到答案。
5.【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，那么由 知： 且 ，
∴ ，而 ，
∴ 。
故答案为：A.

【分析】设等差数列 的公差为 ，首项为,利用条件结合等差数列的通项公式，得出， 再利用等差数列前n项和公式得出与n的关系式。
6.【解析】【解答】函数 ，那么 ， 在 上递增，
， ，即 。
故答案为：A

【分析】利用函数的解析式结合代入法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
7.【解析】【解答】作出不等式组 所表示的可行域如以下图所示：

联立 ，解得 ，即点 ，
由题意可知，当直线 过点 时，直线 在 轴上截距最大，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
而直线 的斜率为 ，所以， 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合二元一次不等式组求出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值，再利用条件当且仅当 ， 时， 取最小值，从而求出实数 的取值范围。
8.【解析】【解答】观察图象知：函数 周期为T， ， ，
又 ，而 ，那么 ，
所以 ， ，
数列 是周期数列，周期为6，其前6项依次为 ，那么 ，
，那么 。
故答案为：D.

【分析】利用正弦型函数的局部图象求出正弦型函数的解析式，再利用代入法求出数列的通项公式，再结合数列的周期性结合数列求和的方法，从而求出数列2021项的值。
9.【解析】【解答】依题意，四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥CD， 为二面角 的平面角，即 ，而BD=CD=2，那么△BCD是正三角形，AD⊥平面BCD，AD=2,如图：

取正△BCD的边BC中点F，连DF，在DF上取点O1 ， 使DO1=2O1F，那么O1是正△BCD的中心，
O1是四面体ABCD的外接球截平面CDB所得小圆圆心，设这个外接球球心为O，那么OO1⊥平面BCD，
取球O的弦AD中点E，球心O必在过点E垂直于AD的平面上，连OE，可得四边形DEOO1是矩形，OO1=DE=1，
连O1B，OB，那么 ，球O的半径 ，
四面体ABCD的外接球的体积为 .
故答案为：B

【分析】依题意，四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，所以 为二面角 的平面角，即 ，而BD=CD=2，那么三角形△BCD是正三角形，AD⊥平面BCD，AD=2,取正三角形△BCD的边BC中点F，连DF，在DF上取点O1 ， 使DO1=2O1F，那么O1是正△BCD的中心，O1是四面体ABCD的外接球截平面CDB所得小圆圆心，设这个外接球球心为O，那么OO1⊥平面BCD，取球O的弦AD中点E，球心O必在过点E垂直于AD的平面上，连OE，可得四边形DEOO1是矩形，OO1=DE=1，连O1B，OB，从而求出 的值 ，再利用勾股定理求出球O的半径 ，再结合球的体积公式，从而求出四面体ABCD的外接球的体积。
10.【解析】【解答】设点 ，那么椭圆的对称性知 ，不妨令 ，而点A(-a，0)，B(a，0)，那么 ，显然有 ，那么 ，
因椭圆的离心率为 ，即 ，
，那么 ，
因 ，所以 ，当且仅当 时取“=〞，
即 的最小值为 。
故答案为：B.

【分析】设点 ，那么椭圆的对称性知 ，不妨令 ，而点A(-a，0)，B(a，0)，再利用两点求斜率的方法得出 ，显然有 ，所以 ，因椭圆的离心率为 ，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而得出a,b的关系式，再利用代入法结合椭圆的标准方程，得出，因 ，从而求出的最小值。
11.【解析】【解答】如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系， ， ，

， ， ， ，
， ，得 ，
平面 ， ，

 ，
当 时，函数取得最小值 。
故答案为：C

【分析】以点 为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，得出， 因为平面 ，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用三角形的面积公式得出， 再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出三角形 面积的最小值 。
12.【解析】【解答】因 时， ，那么 时， ， ，
时， ， ，
时， ， ，
的图象如图：

那么在 内， 有四个不同零点，当且仅当 的图象与直线y=a有四个不同的公共点，
观察图象知，只需在 内， 的图象与直线y=a有两个不同的公共点即可，
当直线y=a经过点 时，在 内， 的图象与直线 有一个公共点，
， ，由 得 ，即 ， 在点 处的切线为 ，如图：

即在 内， 的图象与直线 有一个公共点，
而 ，要在 内， 的图象与直线y=a有两个不同的公共点，即有 ，
所以所求实数a的取值范围是 。

【分析】因 时， ，那么 时， ， ，当时， ，那么 ，
当时，那么 ， ，从而得出
，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用其图象结合函数的零点与两函数y=a与交点的横坐标的等价关系，从而结合条件函数 有四个不同零点，进而求出实数a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】∵ 知： 为 靠近B的三等分点，

∴ ，如上图示， ，又因为 ，
∴ 。
故答案为：-3。

【分析】因为，所以为 靠近B的三等分点，所以，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而结合， 进而求出数量积的值。
14.【解析】【解答】由题意结合二项式定理知： ，
∴a与b指数相同的项，有 ，得 ，
∴ 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式为， 再利用a与b指数相同的项，从而求出r的值，进而求出 展开式中的a与b指数相同的项的表达式 。
15.【解析】【解答】双曲线 中，A(a，0)，渐近线 ，设右焦点为F ，由 ,即 ，直线l：x=a，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设 ，那么 ， ，因 ，那么 ，解得 ，即点 ，又点B在双曲线C上，那么有 ，解得 ，因e>1，那么双曲线的离心率为 。
故答案为： 。

【分析】在双曲线 中，A(a，0)，渐近线 ，设右焦点为F ，再利用数量积的运算法那么结合数量积为0两向量垂直的等价关系，那么 ，因为直线l：x=a，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示，求出点 ，又因为点B在双曲线C上，结合代入法和双曲线中a,b,c三者的关系式以及双曲线离心率公式变形，从而求出结合双曲线离心率的取值范围，进而求出双曲线的离心率。
16.【解析】【解答】由题设知： 且 ，
图2相对图1：线段长度之和的增量为 ，
图3相对图2：线段长度之和的增量为 ，
图4相对图3：线段长度之和的增量为 ，
…
图n相对图 ：线段长度之和的增量为 ，
∴ ，要使 对任意的正整数n成立，
∴ ，即 ，又因为a为正整数，
∴ 。
故答案为：1010。

【分析】由题设知： 且 ，进而得出图n相对图 的线段长度之和的增量为 ，再利用等比数列前n项和公式得出第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和 ，要使 对任意的正整数n成立，从而求出 ，又因为a为正整数，从而求出a的最大值 。
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕在 中，由余弦定理得或 ，再利用分类讨论的方法结合余弦定理，从而找出满足题意得BD的长。
〔2〕 在 中，利用余弦定理得出 的值，再利用同角三角函数根本关系式得出  的值 ，又因为 ，再结合角之间的关系式结合两角差的正弦公式，从而求出 的值 ，在 中，由正弦定理得出的长。
 
18.【解析】【分析】〔1〕因为 平面ABCD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为， ，∴所以， 再利用勾股定理推出， 再利用线线垂直推出线面垂直， 所以 平面PBC，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面PBC。
〔2〕 以C为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标， 设P(0，0，a)(a>1)， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出直线PA与平面 所成角的正弦值，再结合条件直线PA与平面 所成角的正弦值为 ， 从而求出a的值，再利用数量积向量求向量夹角公式求出二面角 的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，得出 A､B､C类芯片所占频率，取出C类芯片的概率为 ，再利用二项分布求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，从而求出C类芯片不少于2件的概率。
〔2〕 〔i〕 利用条件结合散点图判断出明显不是线性，那么用 更适合； 〔ii〕 利用条件结合散点图中的数据，再结合最小二乘法，从而求出y关于x的线性回归方程 ； 〔iii〕 利用线性回归直线方程结合代入法，从而求出当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值。
20.【解析】【分析】〔1〕 由题意，可设切线PB的方程为 ，代入抛物线的方程结合直线于抛物线相切的判断方法，再利用判别式法得出 ，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式得出圆心到直线距离，再结合条件得出 ，从而解方程组求出k和m的值，再利用分类讨论的方法结合题意，从而求出满足要求的m的值和直线的斜率。
〔2〕 设切线的点斜式方程为 ，再转化为直线的一般式方程，即 ，再利用点到直线的距离公式结合条件得出圆心到直线距离 ，整理得 ，再利用判别式法得出 ( )，设PA，PB斜率分别为 ，再利用韦达定理，那么 令y=0，从而求出点A,B的横坐标，再利用两点距离公式得出
， 再利用三角形面积公式得出，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而求出三角形 △ 面积的最小值 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值。
〔2〕利用条件结合分析法的证明方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而证出对任意的 ， 恒成立。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出直线 和曲线C的直角坐标方程。
〔2〕 设直线 的参数方程为 〔 为参数〕，代入曲线 的直角坐标系方程得 ， 设 ， 对应的参数分别为 ， ， 再利用韦达定理结合中点坐标公式得出点M对应的参数，再利用两点距离公式，从而求出 的值 。
23.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合绝对值的定义，从而将绝对值函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像。
〔2〕 由〔1〕中分段函数的图像求出分段函数的最大值，所以 ，再利用柯西不等式求出最小值。