2021届江西省五市九校协作体高三数学第一次联考试卷及答案

这是一份2021届江西省五市九校协作体高三数学第一次联考试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学第一次联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，假设 ，那么实数a的取值范围为〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.复数z满足 〔i为虚数单位〕，那么 〔 为z的共轭复数〕在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分又不必要条件
4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，那么每个宣传小组至少选派1人的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
5.函数 的图象如下图，为了得到 的图象，只需把 的图象上所有点〔    〕

A. 向右平移 个单位长度                                     B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个长度单位                                     D. 向左平移 个长度单位
6.假设x，y满足约束条件 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 26                                        B. 4                                        C.                                         D. -26
7.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x〔每分钟鸣叫的次数〕与气温y〔单位： 〕存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程
x〔次数/分数〕
20
30
40
50
60
y〔 〕
25

29

36
那么当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
8.双曲线C： 〔 ， 〕的左、右焦点分别为 ， ，点P是C的右支上一点，连接 与y轴交于点M，假设 〔O为坐标原点〕， ，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 3
9.函数 是定义在 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，记 ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
10.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，那么该四棱锥的外接球外表积为〔    〕

A. 32π                                  B.                                   C. 41π                                  D. 
11.设 ， ，O为坐标原点，点P满足 ，假设直线 上存在点Q使得 ，那么实数k的取值范围为〔    〕
A.                                                      B. 
C.                                 D. 
12.函数 与函数 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，那么实数 的取值范围为〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
二、填空题
13.在 中， 与 的夹角为 ， ， ， ，那么 ________
14.假设正实数 ，满足 ，那么 的最小值为________.
15.数列 中， ， 〔 〕，那么 ________
16.正方体 的棱长为1，E，F，M分别为棱 ， ， 的中点，过点M与平面 平行的平面与 交于点N，那么四面体 的体积为________
三、解答题
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
〔1〕求角C的大小
〔2〕假设 ，且 的面积为 ，求 的周长．
18.如图，四边形 为菱形，对角线 与 相交于O， ，平面 平面 直线 ， 平面 ，

〔1〕求证： ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19.学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规那么如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次那么得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是 ；向B靶射击，命中的概率为 ．假设甲同学每次射击结果相互独立．
〔1〕求甲同学恰好命中一次的概率；
〔2〕求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望．
20.椭圆C： 〔 〕过点 ， ， 为椭圆的左右顶点，且直线 ， 的斜率的乘积为 ．

〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段 的垂直平分线交直线l于点P，交直线 于点Q，求 的最小值．
21.函数 ，其中 .
〔1〕当 时，求函数 在 处的切线方程；
〔2〕记函数 的导函数是 ，假设不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围；
〔3〕设函数 ， 是函数 的导函数，假设函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求实数 的取值范围.
22.在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 〔 为参数〕，以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
〔1〕求 的极坐标方程；
〔2〕射线 的极坐标方程为 ，假设 分别与 交于异于极点的 两点，求 的最大值.
23.函数 ．
〔1〕假设 ，求不等式 的解集；
〔2〕假设 的图象与直线 有且仅有1个公共点，求 的值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】集合 或 ， ，
假设 ，那么 .
故答案为：B.

【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，再根据可得实数的取值范围 。
2.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，在第三象限.
故答案为：C.

【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案。
3.【解析】【解答】充分性证明：取 ，明显地有， ，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出 ，所以，充分性不成立；
必要性证明： ，可得 ，
所以，必要性成立；
故答案为：B.

【分析】根据幂函数的性质和对数函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可得出答案。
4.【解析】【解答】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学.
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，根本领件总数 ，
每个宣传小组至少选派1人包含的根本领件个数为 ，
那么每个宣传小组至少选派1人的概率为 .
故答案为：D.

【分析】根本领件总数 ，每个宣传小组至少选派1人包含的根本领件个数为 ，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率。
5.【解析】【解答】由图可知周期满足 ，
故 ，∴ ，
，
，∴ ，
即 ，
所以将 向右平移 个单位，得到 .
故答案为：A.

【分析】利用图像先求出周期，用周期公式求出， 利用特殊点求出， 从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法那么求解即可。
6.【解析】【解答】由题意可知，如图，不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示〔包含边界〕，

目标函数 变为 ，
当直线 经过点 时，
值最小， ，故 .
故答案为：B.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，可得答案。
7.【解析】【解答】 ， ，
因为样本中心点 在回归直线上，
所以将 代入 得： ，解得： ，
所以 ，
当 时， ，
故答案为：A

【分析】由数据求出， ， 代入到线性回归方程即可求出， 从而可选出正确答案。
8.【解析】【解答】如图，由条件可知 ，

那么 ，得 ，又因为 ，
那么 ， ，
根据勾股定理可知 ，
解得： .
故答案为：C

【分析】利用，得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的离心率。
9.【解析】【解答】解：不妨设 ，那么 ，
因为 ，所以 ，
即
在 单调递减，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
，
是 上的偶函数
， ，
所以
故答案为：A

【分析】 对任意两个不相等的正数  ，都有  ，判断在 单调递减，再证明是 上的偶函数，根据单调性判断即可。
 
10.【解析】【解答】根据三视图可得原几何体如下图，

且 平面 ， ，
为 的中点，四边形 为正方形，其边长为4.
设 为正方形 的中心， 为 的外心，
那么外接球的球心 满足 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，故 ，同理
所以四边形 为矩形.
在正方形 中， ，
在 中， ，故 ，
故外接球半径为 ，故外接球的外表积为 ，
故答案为：C.

【分析】根据三视图可得原几何体如下图，确定出球心的位置，求出外接球的半径，可求外接球的体积。
11.【解析】【解答】设 ，那么 ，
整理可得 ，故 ，
在 中， ，
那么 ，
设原点到直线的距离为 ，那么需满足 ，
，解得 或 .
故答案为：C.

【分析】由 ， 可得， 由正弦定理得出， 再根据原点到直线的距离小于等于4，即可求出的范围。
12.【解析】【解答】因为函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，所以 ，即 有两解，那么 有两解，令 ，那么 ，所以当 时， ；当 时， ；所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 在 处取得极小值，所以 ，所以 ， 的取值范围为 .
故答案为：A.

【分析】根据题意，将函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点转化为有两解，令新函数 ， 求导，然后判断函数的单调性与极值，那么可得出的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：
.
故答案为: .


【分析】画出图形，以为基底表示 ， 结合条件和平面向量的数量积公式，即可求出正确答案。
14.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
即 的最小值为5.
故答案为:5.

【分析】根据题意分析可得， 结合根本不等式的性质分析可得答案。
15.【解析】【解答】解：因为 ，所以 以 为首项，
为公比的等比数列，所以 ，所以 ，
那么

又

，
，所以原式 ，
故答案为：454.

【分析】由， 结合等比数列的定义和通项公式可求出， 结合二项式定理可求出  的值。
16.【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，

因为 是 、 的中点，所以 ，
取 中点 ，连接 ，
因为 ，四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，即四边形 为平面图形，
且 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
设 为 中点，连接 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，且 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，又 ，
所以平面 平面 ，所以过 点且与平面 平行的平面就是 ，
点即是 点， ，所以 .
故答案为： .

【分析】取 的中点 ，连接 ，证明四边形 为平面图形，设 为 中点，证明平面 平面 ， 点即是 点，然后利用即可得出答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕结合三角形内角和及诱导公式对进行化简，可求， 进而可求C；
〔2〕由结合三角形的面积公式可求，然后结合C的值及余弦定理可求出， 进而可求出  的周长。
18.【解析】【分析】〔1〕根据四边形  为菱形，推导出，从而  平面 ， 由此能证明 ；
〔2〕以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，分别求得平面  一个法向量为  ， 平面  一个法向量为  ，然后由 求出二面角  的余弦值 。
 
19.【解析】【分析】〔1〕 记“甲同学恰好命中一次〞为事件C，“甲射击命中A靶〞为事件D，“甲第一次射击B靶命中〞为事件E，“甲第二次射击B靶命中〞为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可；
〔2〕 随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解数学期望值即可。
20.【解析】【分析】〔1〕由题意可得  ，  即可求得  ， ，进而可得 椭圆C的方程 ；
〔2〕 由题意知直线  的斜率不为0，设其方程为  ， 点  ，  ， 联立直线与椭圆方程，消去可得关于的一元二次方程，可求得   ， ,计算P点坐标，利用弦长公式求得弦长， 将 化简整理，利用根本不等式求最值即可。
21.【解析】【分析】〔1〕根根据导数的几何意义可求切线斜率，由点斜式可得切线方程；
〔2〕先求导，那么不等式   对任意的实数 恒成立，转化为   对任意实数  恒成立， 构造函数   分类讨论，即可求出的范围；
〔3〕先求导根据函数存在两个极值点   ， ， 可得 ，且 ， 再化简 ， 可得到 ，构造  ，  ， 求出函数的最值即可。
22.【解析】【分析】〔1〕利用  将直角坐标方程化为极坐标方程，先把 的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
〔2〕分别联立曲线与的极坐标方程与  ，即可求得   ，  , 再利用二次函数的性质求得 的最大值，进而求解。
23.【解析】【分析】〔1〕将代入，按照零点分段法对分类去绝对值，求解后取并集得答案；
〔2〕  的图象与直线  有且仅有1个公共点， 转化为函数  有1个零点 ，对分类求最大值，令最大值为0，求得的值。