2021届吉林省白山市高三理数第四次联考试卷及答案

这是一份2021届吉林省白山市高三理数第四次联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第四次联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 的元素个数为〔    〕
A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
2.在 中，假设 ，那么 〔    〕
A. 3                                          B. ±3                                          C. 4                                          D. ±4
3.函数 的图象在点 处的切线斜率为〔    〕
A. -8                                         B. -7                                         C. -6                                         D. -5
4.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的根底方案，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，那么他要完成该方案至少需要〔    〕
A. 16天                                    B. 17天                                    C. 18天                                    D. 19天
〔1〕所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图〔2〕所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图〔3〕所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.图〔1〕、〔2〕、〔3〕中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图〔1〕、〔2〕、〔3〕中椭圆的离心率分别为 、 、 ，那么〔    〕

A.                       B.                       C.                       D. 
6.函数 ，且 ，那么〔    〕
A. 且                                           B. 且
C. 且                                           D. 且
7.以下各项中，是 的展开式的项为〔    〕
A. 15                                  B.                                   C.                                   D. 
如以下列图的程序框图，那么输出的 〔    〕

A. 10                                         B. 15                                         C. 20                                         D. 25
9.函数 ，那么〔    〕
A. 的最小正周期为                                     B. 的图象关于y轴对称
C. 的图象不关于 对称                           D. 的图象关于 对称
10.在三棱柱 中，D为侧棱 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，那么这两条棱所在直线至少有一条与直线 异面的概率是〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
11.双曲线 的左､右焦点分别为 ，M为C左支上一点，N为线段 上一点，且 ，P为线段 的中点.假设 (O为坐标原点)，那么C的渐近线方程为〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
12.如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一局部构成， 的零点为 ，假设不等式 对 恒成立，那么a的取值范围是〔    〕

A.                              B. 
C.                              D. 
二、填空题
13.复数 的实部为________.
14.在数列 中， ，那么 ________.
15.如图，正四棱锥 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 是等边三角形.假设半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，那么半球O的体积与球M的体积的比值为________.

16.假设x，y满足约束条件 那么 的最大值为________， 的最小值为________.
三、解答题
17.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. .
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕当A取得最大值时，求 的面积.
18.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会〞，每晚举行一场，但假设遇到风雨天气，那么暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 .
〔1〕求该社区能举行4场音乐会的概率；
〔2〕求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
19.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆O(O为圆心)过点A，且 底面 ，M为 的中点.

〔1〕证明：平面 平面 .
〔2〕求二面角 的余弦值.
20.F为抛物线 的焦点，直线 与C交于A ， B两点且 .
〔1〕求C的方程.
〔2〕假设直线 与C交于M ， N两点，且 与 相交于点T ， 证明：点T在定直线上.
21.函数 .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕当 时， ，求m的取值范围.
22.在直角坐标系 中，曲线C的方程为 .
〔1〕写出曲线C的一个参数方程；
〔2〕假设 ，点P为曲线C上的动点，求 的取值范围.
23.函数 .
〔1〕假设 ，证明： .
〔2〕假设关于x的不等式 的解集为 ，求a，b的一组值，并说明你的理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，所以 .元素个数是4．
故答案为：B．

【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由于 ，所以 ，
所以 .
故答案为：D

【分析】首先由同角三角函数的关系式代入数值计算出cosA的值，再由数量积的的运算性质计算出答案即可。
3.【解析】【解答】因为 ，所以所求切线的斜率为 .
故答案为：A

【分析】根据题意对函数求导并把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即为切线的斜率。
4.【解析】【解答】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程〔单位：千米〕依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，
设经过 天后他完成健身方案，那么 ，
整理得 .
因为函数 在 为增函数，且 ， ，
所以 .
故答案为：B

【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题再由等差数列前n项和公式整理即可得出关于n的方程，结合二次函数的性质即可得出n的取值范围。
5.【解析】【解答】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.
因为 ， ， ，那么 ，所以 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由椭圆的性质结合题意条件代入数据即可得出答案。
6.【解析】【解答】 ，
当 时， ，函数 单调递增，
，且 ，
.
故答案为：C

【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出结论由此得出答案。
7.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
由于 无解，A选项错误.
当 时， ，所以B选项错误.
当 时， ，C选项正确.
当 时， ，所以D选项错误.
故答案为：C

【分析】根据题意由二项展开式的通项公式对选项逐一判断即可得出答案。
8.【解析】【解答】第一次执行程序 ， ；
第二次执行程序 ， ；
第三次执行程序 ， ；
第四次执行程序 ， ，跳出循环输出 ，
故输出的 .
故答案为：C

【分析】根据题意由程序框图的循环，代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
9.【解析】【解答】 ，
A选项， 和 的最小正周期都是 ，所以 的最小正周期是 ，A选项错误.
B选项， 和 都是奇函数，所以 是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.
C选项， ，
，
所以 的图象关于 对称，C选项错误.
D选项， ，
，
所以 的图象关于 对称，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】根据题意由正切函数的周期性和图象，结合条件利用正弦函数的图象对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】如图，这九条棱中，与 共面的是 、 、 、 、 ，共五条，故所求概率 .

故答案为：B.

【分析】 根据题意该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，根本领件总数这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的根本领件个数为由此能求出这两条棱所在直线至少有一条与直线DB异面的概率.
11.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，那么 .故 的渐近线方程为 .
故答案为：C

【分析】根据题意由双曲线的简单性质以及双曲线的定义，结合双曲线里a、b、c的关系求出答案即可。
12.【解析】【解答】当 时， ，图象过点 和 ，即 ，
解得： ， ，即 ，
当 时，设抛物线 ，代入点 得， ，即 ，
所以 ，
的图象是由 向左平移 个单位长度得到，因为 ，对 恒成立，所以 的图象恒在 的上方，当两图象如以下列图，相切时，

抛物线 ， ，
与直线 相切，即 ，解得： ， ，
切点 代入 得 ，
得 ，所以 ，解得： 或 .
故答案为：A

【分析】根据题意由直线和二次函数的图象结合分段函数的性质作出函数的图象，结合不等式的解法求解出a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】 ，因此，复数 的实部为-9.
故答案为：-9.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
14.【解析】【解答】依题意， ，
即 ，
所以
.
故答案为：

【分析】根据题意由数列的递推公式，结合数据代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】取 中点 ， 中点 ，作截面 ，把截面另外画出平面图形，如图，那么半球 的半个大圆与 的两腰相切， 是 中点， 为切点，

设正四棱锥底面边长为 ，那么 ， ， ， ，

由对称性知正四棱锥的对角面 的外接圆是正四棱锥外接球的大圆，
， ， ，所以 ， 是 外接圆直径，所以球 的半径为 ，
．
故答案为： ．

【分析】 过四棱锥顶点和底面对棱中点作截面，此截面截半球O得半圆，半圆与正四棱锥的截面等腰三角形的腰相切，由此可用棱锥的棱长表示半球O半径，作正四棱锥对角面，对角面等腰三角形的外接圆是球M的大圆，从而又可用棱锥.棱长表示球M的半径，由体积公式求得体积后得比值.
16.【解析】【解答】作出可行域，如图 内部〔含边界〕，作直线 ，在 中， ， 表示直线的纵截距的相反数，直线向下平移，纵截距减小， 增大，平移直线 ，当直线过 时， 取得最大值为2．

表示可行域内点 到原点距离的平方，
原点到直线 的距离为 ，所以 的最小值是 ．
故答案为：2； ．

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过交点时，z取得最大值并由直线的方程求出交点的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
 
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理得出sinB的值，再由二倍角的余弦公式计算出答案即可。
(2)根据题意由余弦定理代入数据得到关于c的等式，再由根本不等式求出cosA的最大值，从而求出三角形的面积值即可。
18.【解析】【分析】(1)结合条件由n次独立性重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由n次独立性重复试验概率的公式求出对应的X的概率，由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
19.【解析】【分析】 (1)推导出AB⊥AC, PA⊥AB，从而AB⊥平面PAC，AB⊥AM，推导出AM⊥PC，从而AM⊥平面PCD，由此能证明平面  平面 ；
(2) 以  为原点，  的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系   ， 利用向量法能求出 二面角  的余弦值 。
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕 设   ，  ，联立直线方程与曲线方程，由根与系数的关系可得   ，由焦半径公式可得   。
〔2〕 AB点坐标代入抛物线方程，整理可得 =8， 同理得  .
设   ，    ，    ，   ， .将M,N,T的坐标代入以上二式，得  分析可得  ， 由于  ，所以  ，故点  在定直线  上.
21.【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由m的不同取值范围得出函数的单调区间。
(2)由(1)的结论结合函数的单调性即可求出函数的最值由此得出m的取值范围，再结合条件即可得出从而得到关于m的不等式组由此即可得出答案。
22.【解析】【分析】(1)根据题意整理得到圆的标准方程，再由圆的参数方程即可得出答案。
(2)由(1)的结论即可得到点P的坐标，由此得出向量的坐标再由数量积的坐标公式结合两角和的正弦公式即可得出， 再由正弦函数的单调性即可得出， 从而得出答案。
23.【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理得到再结合二次函数的性质即可求出最小值，从而得证出结论成立。
(2)首先由绝对值的几何意义整理求出a与b的值，由此得出不等式 结合条件由绝对值不等式的解法求解出答案，由此即可得证出结论成立。