2021届湖北省高三下学期数学4月调研模拟试卷及答案

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这是一份2021届湖北省高三下学期数学4月调研模拟试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学4月调研模拟试卷
一、单项选择题
1.集合，，那么〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D.

2.的展开式中，含项的系数为〔    〕
A. 45                                        B. -45                                        C. 15                                        D. -15

3.设等差数列的前项和为，假设，，那么〔    〕
A. 20                                         B. 30                                         C. 40                                         D. 50

4.设椭圆的一个焦点为，那么对于椭圆上两动点，，周长的最大值为〔    〕
A.                                      B. 6                                     C.                                      D. 8

5.以下对不等关系的判断，正确的选项是〔    〕
A. 假设，那么
B. 假设，那么

C. 假设，那么
D. 假设，那么

6. ，分别为定义在上的奇函数和偶函数，那么以下为奇函数的是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D.

7.为了更好地解决就业问题，国家在2021年提出了“地摊经济〞为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济〞.某摊主2021年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为〔    〕
〔取，〕
A. 24000元                            B. 26000元                            C. 30000元                            D. 32000元

8.在中，，，，点为的外心，假设，那么〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.

二、多项选择题
9.四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一，其中只有一张奖券可以中奖，那么〔    〕
A. 四人中奖概率与抽取顺序无关

B. 在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为

C. 事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥

D. 事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

10. 为第一象限角，为第三象限角，且，，那么可以为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D.

11.假设四棱锥的底面为矩形，那么〔    〕
A. 四个侧面可能都是直角三角形

B. 平面与平面的交线与直线，都平行

C. 该四棱锥一定存在内切球

D. 该四棱锥一定存在外接球

12.设，那么以下关于的判断正确的有〔    〕
A. 对称轴为，          B. 最小值为

         C. 一个极小值为1         D. 最小正周期为

三、填空题
13.设复数，假设，那么 ________.
14.某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，那么该圆台的外表积为________.
15.以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，假设，，那么 ________.
16.假设存在两个不相等的正实数，，使得成立，那么实数的取值范围是________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.数列为正项递增等比数列，其前项和为，为等差数列，且，，， ▲ ，求数列的前项和 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.函数 .
〔1〕求的单调增区间；
〔2〕中，角，，所对的边分别为，，，且锐角，假设，，，求的面积.
19.如图，四棱柱的底面为菱形，为中点，为中点，为中点.

〔1〕证明：直线平面；
〔2〕假设平面，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运〞理念，举办一届“有特色、高水平〞的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：

〔1〕得分在80分以上称为“优秀成绩〞，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩〞的人数为，求的分布列及数学期望；
〔2〕由直方图可以认为，问卷成绩值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记表示这2000人中分数值位于区间的人数，利用①的结果求 .
参考数据：，，，， .
21.过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为 .
〔1〕假设三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程；
〔2〕假设存在直线，使得，求离心率的取值范围.
22. ，为常数.
〔1〕讨论的单调性；
〔2〕假设时，恒成立，求实数的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】∵
∴
又
∴
故答案为：B

【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.
2.【解析】【解答】由二项式定理展开式中有和，
所以的展开式中含项的系数为 .
故答案为：: A

【分析】先求出的展开式的通项公式，进而可以求出含的项，由此即可求解.
3.【解析】【解答】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，
解得．
故答案为：B．

【分析】由等差数列的性质得，，也成等差数列，由此能求出。
4.【解析】【解答】设为椭圆的另外一个焦点
那么由椭圆的定义可得当三点共线时，
当三点不共线时，
所以当三点共线时，的周长取得最大值8
故答案为：D

【分析】利用椭圆的定义，结合三角形的边长关系，推出结果即可.
5.【解析】【解答】A．满足，但，A不符合题意；
B．，，满足，但，B不符合题意；
C．，C符合题意；
D．，但，D不符合题意．
故答案为：C．

【分析】对于选项A，时，得不出；对于选项B．，时，得不出；对于选项C，可得出，即C正确；对于选项，得不出。
6.【解析】【解答】由题知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
故满足，
对于A, ,那么为偶函数；
对于B, ，那么为偶函数；
对于C, ，那么为奇函数；
对于D, ，那么为偶函数.
故答案为：C.

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.
7.【解析】【解答】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故答案为：D．

【分析】设摊主4月底手中现款为月月底摊主手中的现款为月月底摊主手中的现款为，那么可得到之间的关系，构造新数列成等比数列，求解即可得到答案.
8.【解析】【解答】由题得 ,
由余弦定理得，
所以，
因为点为的外心，
所以 ,
所以 ,〔1〕
同理 ,〔2〕
解〔1〕〔2〕得 .
故答案为：C

【分析】由结合三角形外心性质及向量数量积的性质，利用平面向量根本定理即可求解.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A,根据题意，每个人中奖的概率都为，与抽奖的顺序无关，A符合题意；
对于B,记“甲未中奖〞为事件A，“乙或丙中奖〞为事件B，
那么 ,
在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率, ,B符合题意；
对于C,事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖不可能同时发生，故它们互斥，C符合题意；
对于D,设“甲中奖〞为事件M，“乙中奖〞为事件N，那么，
由于只有一张奖券可以中奖，事件M,N不可能同时发生，故，
, 不相互独立，D不正确.
故答案为：ABC.

【分析】利用等可能事件概率性质判断A；利用互斥事件概率加法公式判断B；利用互斥事件定义判断C；利用相互独立事件定义判断D。
10.【解析】【解答】因为为第一象限角，
所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时

，
当是第三象限角时，，
此时

，
故答案为：CD.

【分析】由题意利用同角三角函数的根本关系式，求得和的值，再利用两角和的余弦公式，求得的值.
11.【解析】【解答】如图，

在长方体中构造四棱锥，其四个侧面都是直角三角形，A符合题意
因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，
所以平面，设平面与平面的交线为，所以
同理可得，B符合题意
只有正四棱锥才有内切球，C不符合题意
该四棱锥一定存在外接球，其球心在过矩形的对角线交点作与矩形所在平面垂直的直线上，D符合题意
故答案为：ABD

【分析】根据四棱锥的结构特征逐一进行判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】由题意，函数，
又由
所以，所以函数关于对称，所以A符合题意；
由，所以，所以B不正确；
当时，，
因为，即函数在处取得最小值，也是极小值，所以C符合题意；
由函数的最小值周期为，函数的最小正周期为，
可得函数的最小正周期为，所以D不正确.
故答案为：AC.

【分析】依题意可知为周期为的偶函数，作出其图象，即可得到答案.
三、填空题
13.【解析】【解答】，，
，
所以 .
故答案为：

【分析】由先求z2 ，再根据模的运算公式即可求解.
14.【解析】【解答】由题意该圆台的外表积为．
故答案为：11π．

【分析】根据圆台的外表积公式计算即可.
15.【解析】【解答】依题意可得，设，那么，
因为，，所以，
所以，又，
所以，所以，所以，解得，所以 .
故答案为：3

【分析】由题意知，，又，再结合抛物线的定义，得解.
16.【解析】【解答】由存在两个不相等的正实数，，使得成立，
可得成立，
构造新函数，
由时，，可得函数不单调，
又由，可得当时，有解，
即时，有解，
因为当时，，所以，
即实数的取值范围是〔-∞，-2〕.
故答案为：〔-∞，-2〕.

【分析】首先将问题转化为斜率的问题，然后结合临界条件即可求得实数的取值范围.
四、解答题
17.【解析】【分析】设  公比为   ，  公差为  ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到bn分别选①②③，运用等比数列的通项公式，求得公比，可得an再由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，计算可得所求和.
18.【解析】【分析】〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得进而根据正弦函数的单调性即可求解;
〔2〕由题意可得 , 结合A为锐角，可得 ,由利用余弦定理可得 , 进而根据三角形的面积公式即可求解.

19.【解析】【分析】〔1〕连接，证明平面，推出四边形  为平行四边形，然后证明平面  平面，即可证明平面；
〔2〕连接  交  于，有，以  为原点，  、  为  轴、  轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面  的法向量，平面  的法向量，利用空间向量的数量积求解平面  与平面   所成锐二面角余弦值.
20.【解析】【分析】〔1〕求出得分80以上的人数，  可能取值为0，1，2 求出概率，得到分布列，然后求解期望即可；
〔2〕①利用频率分布表，求出均值与方差，然后求解；
②说明，然后求解期望即可.
21.【解析】【分析】〔1〕三角形  可以是边长为4的正三角形，推出，  ，，求出a,b,然后求解椭圆方程;
〔2〕设  的方程为  ，与  联立，得 , 设  ，利用韦达定理，结合 ,利用向量的数量积，推出椭圆的离心率即可.
22.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
〔2〕由得，，，∴ ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断出函数的单调性，再结合零点存在性定理，从而求出实数a的取值范围。