2021届河北省唐山市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届河北省唐山市高三数学三模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ，那么 〔    〕
A. {2}                                   B.                                    C.                                    D. 
2. 是虚数单位， ，假设复数 为纯虚数，那么 〔    〕
A. -2                                         B. 2                                         C.                                          D. 
3.角 的始边与x轴非负半轴重合，终边过点 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
4. ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
5.双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，假设 ，那么 的面积为 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
6.〔其中 〕的展开式的常数项与其各项系数之和相等，那么其展开式中 的系数为〔    〕
A. -45                                      B. 45                                      C. -180                                      D. 180
7.赤道式日晷(guǐ〕是利用日影变化规律制成的天文记时仪器〔如下左图)，“日〞指“太阳〞，“晷〞表示“影子〞，“日晷〞的意思为“太阳的影子〞.晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度〔如下右图〕是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间.晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，那么下右图表示的时间大约是几点钟？假设再过31个小时大约是哪个时辰？ 〔    〕

A. 4点，戌时                        B. 5点，亥时                        C. 9点，申时                        D. 10点，酉时
8.函数 ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                                         B. 
C.                                         D. 
二、多项选择题
9.函数 ，假设 ，且 ，那么以下不等式成立得有〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
10.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 某投掷类游戏闯关规那么是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，每次投中的概率为 ，那么游戏者闯关成功的概率为
B. 从10名男生、5名女生中选取4人，那么其中至少有一名女生的概率为
C. 随机变量X的分布列为 ，那么
D. 假设随机变量 ，且 .那么 ，
11.将边长为2的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，如下列图，点 分别为线段 的中点，那么 〔    〕

A. 与 所成得角为
B. 
C. 过 且与 平行得平面截四面体 所得截面的面积为
D. 四面体 的外接球的外表积为8π
12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，抛物线r： ，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过r上的点 反射后，再经r上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点Q，那么 〔    〕
A.                                                B. 
C. PB平分                                        D. 延长AO交直线 于点C，那么C，B，Q三点共线
三、填空题
13.等差数列 的前n项和为 ， ， ，那么 ________．
14.在 中， ，点P为线段AC上的动点， ，那么 的取值范围是________．
15.四棱锥 的底面是正方形，侧棱长均为3，那么该四棱锥的体积的最大值为________．
16.关于x的不等式 恰有一个解，那么实数a的取值范围是________．
四、解答题
17.如下列图，在梯形ABCD中， ， ，点E是AD上一点， ， .

〔1〕求 的大小；
〔2〕假设 的面积 为 ，求BC.
18.假设数列 及 满足 且 ， .
〔1〕证明： ；
〔2〕求数列 的通项公式.
19.在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设二面角 的余弦值为 ，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
20.某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何病症，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
参考数据： ， ， ， ， .
〔1〕假设 ， ，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
〔2〕某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份〔 且 〕血液样本分别取样混合在一起检验，假设检验结果为阴性，那么这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 ，为使混合检验需要的检验的总次数 的期望值比逐份检验的总次数 的期望值更少，求k的取值范围.
21.函数 .
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕设 ，证明： .
22.在直角坐标系 中， ， ，C为动点，设 的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于P，Q，R，且 ，记点C的轨迹为曲线E.
〔1〕求曲线E的方程；
〔2〕不过原点O的直线l与曲线E交于M，N，且直线 经过MN的中点T，求 的面积的最大值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ， 故 ，
故答案为：B．

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用条件，从而结合交集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】由题意 ，
又由 为纯虚数，所以 ，解得 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出a的值。
3.【解析】【解答】由正弦、余弦函数的定义有 ，
，
所以 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合三角函数的定义，再结合二倍角的正弦公式，从而求出的值。
4.【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为：B.

【分析】利用对数的换底公式，求解。
5.【解析】【解答】双曲线C： 中， ， ，渐近线方程： ，
因 ，那么点P在线段 的中垂线： 上，那么P点纵坐标y0有 ，
所以三角形 面积 。
故答案为：C

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出焦点的坐标和渐近线方程，因 ，那么点P在线段 的中垂线上，从而结合中点的坐标公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，再结合代入法求出P点纵坐标y0，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 面积 。
6.【解析】【解答】由于 〔其中 〕的展开式的通项公式为 ，
当 得常数项为1，
令 ，各项系数之和为 ，由题意知 ，得 或 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以其展开式中 的系数为 。
故答案为：D.

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出展开式中的常数项，再利用赋值法令 ，从而求出各项系数之和，再利用 〔其中 〕的展开式的常数项与其各项系数之和相等， 从而求出a的值，再结合展开式中的通项公式，从而求出展开式中 的系数。
7.【解析】【解答】解：图中指针落在“辰〞、“巳〞之间，因为辰代表8点，巳代表10点，
所以图示位置大约为9点，
再过31个小时，那么一共经过了 小时，而40除以24，商1余16，16除以2等于8 ，
所以从“子〞开始顺时针数8个，到达“申〞时。
故答案为：C

【分析】利用条件结合函数的周期性，再结合除法求余的方法，从而求出图示位置大约为9点和从“子〞开始顺时针数8个，到达“申〞时。
8.【解析】【解答】由 得 ，
即 ,
整理得： ，
所以 ，解得 。
故答案为：D.

【分析】利用函数的解析式结合代入法和求和法，得出， 再利用 ，得出， 再利用指数函数的单调性，所以， 再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出 不等式 的解集。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A. 由 ，即 ，也即
由 ，那么 ，所以 ，即 ，故答案为：项A符合题意.
B. 由A的推导可得 ，所以
当且仅当 ，即 时取得等号，当 时，由 ，可得 与条件矛盾.
所以 ，B符合题意.
C. ,当且仅当 ,即 时，等号成立， C符合题意.
D. 由 ，那么 ，那么
由 ，那么 ，那么 ，所以 ，D不正确.
故答案为：ABC

【分析】利用条件结合作差比较大小法、均值不等式求最值的方法，对数函数的单调性，从而得出不等式成立的选项。
10.【解析】【解答】A. 5次都没投中的概率为 .
所以游戏者闯关成功的概率为 ，A符合题意.
B. 从10名男生、5名女生中选取4人，那么其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有 种情况.而
所以其中至少有一名女生的概率为： .B不正确.
C. 由 ，那么 ，解得
所以 ，C符合题意.
D. 由随机变量 ，那么 ，
所以 ,D不正确.
故答案为：AC

【分析】利用独立事件乘法求概率公式得出5次都没投中的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出游戏者闯关成功的概率；利用条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理结合古典概型求概率公式，从而求出其中至少有一名女生的概率；利用随机变量X的分布列为 结合概率之和等于1，从而求出a的值，再利用代入法，从而求的值；利用条件结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合随机变量的期望公式和性质，从而求出 的值，进而选出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】如图，取 中点 ，连接 ，

由正方形的性质得 ， 均为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
因为二面角 是直二面角，
所以 ，
所以，如图，以 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 与 所成得角为 ，A选项错误；
所以 ，所以 ，
所以 不成立，B选项错误；
取 中点 ，连接 ，
由中位线定理得 ，
所以四边形 为平行四边形，且为过 且与 平行得平面截四面体 所得截面，
由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 为矩形，面积为 ，C选项正确；
因为 ，
所以点 即为四面体 的外接球的球心，半径为 ，
所以四面体 的外接球的外表积为 ，D选项正确.
故答案为：CD.

【分析】利用折叠的方法结合条件，再利用直二面角的定义和中点的性质，从而求出异面直线所成的角，再利用线线垂直的判断方法、再利用两直线平行结合平面截四面体所得截面的方法，再结合矩形的定义和向量的方法，推出四边形 为矩形，再利用矩形的面积，从而求出过 且与 平行得平面截四面体 所得截面的面积，因为 ，所以点 即为四面体 的外接球的球心，进而求出球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出四面体 的外接球的外表积，进而选出正确选项。
12.【解析】【解答】设抛物线的焦点为 ，那么 .

因为 ，且 轴，故 ，故直线 .
由 可得 ，故 ，A不符合题意.
又 ，故 ，故 ，故 ，B符合题意.
直线 ，由 可得 ，故 ，
所以C，B，Q三点共线，D符合题意.
因为 ，故 为等腰三角形，故 ，
而 ，故 即 ，故PB平分 ，C符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】设抛物线的焦点为 ，从而利用抛物线标准方程求出焦点坐标，因为 且 轴，故 ，所以直线 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 又因为 ，故 ，故 ，再利用两点距离公式求出A,B两点的距离，因为直线 ，再利用两直线相交求交点的方法，可得交点C的坐标，故 ，所以C，B，Q三点共线，因为 ，故 为等腰三角形，故 ，而 ，故 ， 即 ，故PB平分 ， 从而选出正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，由得
①，
②，
由①②得 ， ，所以 。
故答案为：5n-3。

【分析】利用条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式。
14.【解析】【解答】如图，过 作 ，垂足为 ，取 的中点为 ，连接 ，

设 ，
那么 ，
因为点P为线段AC上的动点且 ，
故 且 ，
故 。
故答案为：[8,16]。

【分析】过 作 ，垂足为 ，取 的中点为 ，连接 ，设 ，再利用数量积的定义，那么 ，因为点P为线段AC上的动点且 ，故 且 ，从而求出数量积的取值范围。
15.【解析】【解答】如图，设底边边长为 ，连接 ，它们的交点为 ，连接 ，

因为 ，故 ，同理 ，
而 ，故 平面 .
又 ， ，
故体积为 ，其中 ，
令 ， ，那么 ，
假设 ，那么 ；假设 ， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ，故体积的最大值为 。
故答案为： 。

【分析】设底边边长为 ，连接 ，它们的交点为 ，连接 ，因为 ，再利用等腰三角形三线合一，故 ，同理 ，再利用线线垂直推出线面垂直，故 平面 ，又因为 ，再利用勾股定理求出PO的长， 再利用四棱锥的体积公式为 ，其中 ，令 ， ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数单调性的方法，从而求出函数的最大值，进而求出该四棱锥的体积的最大值。
16.【解析】【解答】设函数 ，
假设 时，当 时， ，此时不等式 ，有无穷多个整数解，不符合题意；
假设 时， 无解，不符合题意；
假设 时，可得 ，那么必有 ，
解得 ，所以 ，
当 时，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
即当 时， 恰好有一个整数解，即为 ，即 ，
综上可得，实数a的取值范围是 。

【分析】设函数 ，再利用分类讨论的方法结合函数求极限的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用关于x的不等式 恰有一个解，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 解：利用条件结合余弦定理，得出 的值 ，再利用 为三角形内角，从而求出 的大小。
〔2〕 设 ，那么 ，其中 ，因为DE＝2AE＝4，所以，再利用角之间的关系式，得出 ，再利用三角形的面积公式和两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简得出三角形△BCE的面积为 ，由得 ，从而求出的值 ，因为 ，从而求出 的值 ，从而求出此时 ， 的值 ，在△BCE中，由余弦定理得出 的长。
18.【解析】【分析】〔1〕 因为 ，故 ，
又因为 ，(n∈N*)，所以 ，所以当 且 时，有 ，又因为 ，也满足 ，所以证出对任意的n∈N* ， 都有 成立。
〔2〕 将 代入 ， 得出 ， 再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
19.【解析】【分析】(1)由 ， ，得 ，所以 ，即 ，又因为 再结合线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥平面PBD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，又因为 再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 。
(2) 以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 ，设DP＝h， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积求向量的夹角公式，从而结合诱导公式求出直线PB与平面PCD所成的角的正弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合随机变量服从二项分布求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的均值。
〔2〕 由题意知ζ的所有可能取值，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望，又因为E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，所以 ＜(1－p)k ，
因为p＝1－ ，所以lnk＞ k，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0， 从而求出实数k的取值范围。
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合导数的运算法那么求出导函数，即 ， 设 ，再利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，从而求出函数的单调区间。
〔2〕 令 ， ，再利用导数的运算法那么求出导函数，那么 ，因为 ，所以 ，由〔1〕知， ，即 ，从而利用求导的方法判断函数的单调性，从而 ，于是 ，故 。
22.【解析】【分析】〔1〕 依题意可知，，再利用椭圆的定义推出曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆〔除去与x轴的交点〕，从而求出曲线E的方程。
〔2〕 设M(x1 ， y1)，N(x2 ， y2)，直线l的方程为 代入 结合韦达定理和中点坐标公式，得出MN的中点 的坐标 ，而直线 经过MN的中点T，再结合代入法得 ，又因为m≠0，从而求出直线l的斜率k的值，再利用 ，〔*〕 可化简为 ，再结合判别式法和韦达定理，再结合弦长公式，得出的值 ，再利用点到直线的距离公式得出点O到直线l的距离，再利用三角形面积公式得出三角形△OMN的面积，再结合均值不等式求最值的方法求出三角形△OMN的面积的最大值。