2021届湖南省“五市十校教研教改共同体”高三下学期数学5月大联考试卷及答案

这是一份2021届湖南省“五市十校教研教改共同体”高三下学期数学5月大联考试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学5月大联考试卷
一、单项选择题
1.设集合 ，假设 ，那么 的值是〔    〕
A. 1                                           B. 3                                           C. 5                                           D. 7
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，那么这粒种子能成长为幼苗的概率是(    )
A. 0.72                                      B. 0.8                                      C. 0.86                                      
3.设a，b，m为实数，给出以下三个条件：① ：② ；③ ，其中使 成立的充分不必要条件是〔    〕
A. ①                                       B. ②                                       C. ③                                       D. ①②③
4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的根底上创造的，是中国古代一项伟大的、重要的创造，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算〞一词最早见于东汉徐岳所撰的?数术记遗?，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．〞北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3局部，上、下两局部是停游珠用的，中间一局部是作定位用的．以下列图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠〔简称上珠〕代表5，下面一粒珠〔简称下珠〕代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，那么算盘表示的数的个数为〔    〕

A. 9                                         B. 18                                         C. 27                                         D. 36
5.分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，假设 ，那么 〔    〕
A. 2                                        B.                                         C. 4                                        D. 
6. ，设函数 ，当 时， 取得最小值，那么 在 方向上的投影为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
7. ，那么 〔    〕
A. 688                                       B. 161                                       C. 129                                       D. 22
8. ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 当 时，       B. 当 时，       C. 当 时，       D. 当 时，
二、多项选择题
9.关于函数 的结论正确的选项是〔    〕
A. 在定义域内单调递减                                   B. 的值域为R
C. 在定义城内有两个零点                               D. 是奇函数
10.设复数 满足 ，那么〔    〕
A.                                                                 B. 
C. 假设 ，那么                    D. 假设 ，那么
11.函数 ， 是 的导函数，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 当 时， 在 单调递增
B. 当 时， 在 处的切线为x轴
C. 当 时， 在 上无零点
D. 当 时， 在 存在唯一极小值点
12.在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ， ， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 直线 平面
B. 直线 与平面 所成角的正切值为
C. 过 作与 平行的平面 ，那么平面 截直四棱柱 的截面面积为
D. 点 为棱 上任意一点，直线 与直线 所成角的正切值的取值范围是
三、填空题
13.假设圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，那么此圆锥的体积为________．
14. ，那么 ________．
15.函数 ，数列 是公差为2的等差数列，且 ，假设 ，那么 ________．
16.函数 的定义域为D，对D内的任意 ，当 时，恒有 ，那么称 为非减函数． 是定义域为 的非减函数，且满足：①对任意 ， ．②对任意 ．那么 的值为________．
四、解答题
17.数列 的前n项和 ，数列 满足 ．
〔1〕求数列 与数列 的通项公式；
〔2〕记 ，求数列 的前n项和 ．
18.的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，其面积为 ，且 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设 、 、 成等比数列，且 的面积是 ，求 的周长．
19.如图，在多面体 中， 是正方形， ，M为棱 的中点．

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 平面 ， ，求二面角 的余弦值．
20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t〔单位：千小时〕，经统计分析，质量参数x服从正态分布 ，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：
质量参数x







使用时间t







附：参考数据： ．假设 ，那么
参考公式：相关系数 ；
回归直线方程为 ，其中 ．
〔1〕该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品．现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；
〔2〕该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为 ，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合．
21.椭圆 ，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线 与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
〔1〕假设 ，证明：直线 和 的斜率之积为定值；
〔2〕假设 ，求四边形 的面积的最大值．
22.函数 ；
〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕求证： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 ， ，那么 ，
所以， 、 是方程 的两根，所以， ，因此， .
故答案为：D.

【分析】根据题意由一元二次方程的解法求解出集合B中的元素，再由条件结合韦达定理整理即可求出m、n的值，从而得出答案。
2.【解析】【解答】设“种子发芽〞为事件A，“种子成长为幼苗〞为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，
那么P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
故答案为：A

【分析】根据题意由概率乘法公式代入数值计算出答案。
3.【解析】【解答】解：对于①，当 时， 成立，而当 时， 成立，所以 是 的充要条件，所以①不合题意；
对于②，当 时，由不等式的性质可知 成立，而当 ， 时， 不成立，所以 是 的充分不必要条件，所以②符合题意；
对于③，当 时， 成立，而 不成立，当 时， 成立，而 不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，
故答案为：B

【分析】根据题意由不等式的性质结合充分和必要条件的定义对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】根据珠算的运算法那么及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即 ，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即 或来自个、十、百中的两个即 ，
那么总数为 .
故答案为：B.

【分析】由排列组合以及计数原理代入数值计算出答案。
5.【解析】【解答】解：由双曲线的定义可得， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，得 ，
故答案为：C

【分析】根据题意由双曲线的定义结合勾股定理整理即可得出a的值，由此得到双曲线的方程结合条件求出答案即可。
6.【解析】【解答】解：，
令， 那么当时，g(t)取得最小值，此时f(t)取得最小值，故， 所以  在  方向上的投影为
故答案为：D

【分析】由向量的求模公式，结合二次函数的最值问题，根据向量的投影公式求解即可
7.【解析】【解答】 ，展开的通项公式为： ，
且 ，
故 ，
所以
故答案为：A．

【分析】根据题意求出二项式的通项公式再由特殊值法计算出答案即可。
8.【解析】【解答】分别作出 的图象，

A，当 时， ，交点为 ，此时 在上方， ，错误；
B，当 时， ，交点为 ，此时 在上方， ，错误；
C，当 时， ，交点为 ，此时 在下方， ，正确；
D，当 时，为 点，此时 在 上方，错误；
故答案为：C

【分析】根据题意由幂函数、指数函数以及对数函数的单调性结合条件即可得出答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】 的定义域为 ，
而 和 在各段定义域内均为减函数，
故 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，A不符合题意；
当 ， 时，有 ，
当 时，有 ，
所以 的值域为R，B符合题意；
令 ，可得 ，
所以 在定义城内有一个零点，C不符合题意；
，
令 ，易知 ，此时定义域关于原点对称，
且 ，故 为奇函数，
所以 是奇函数，D符合题意，
故答案为：BD.

【分析】根据题意首先求出函数的导函数再由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性求出函数的最值，再结合零点的定义以及奇函数的性质对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】设复数 ，由 ，所以 ，
因此： ，A选项错误；
因为 ，所以B选项正确；
因为 ，所以 ，那么
所以 ，所以C选项正确；
因为 ，
根据复数的几何意义可知，复数 所表示的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
那么由对称性可知，复数 所表示的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
由 的几何意义表示点 与 间的距离，由图可知： ，D选项正确；
故答案为：BCD.

【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质结合复数模的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】当 时， ，那么 ，
因为当 时， ，
所以 恒成立，所以函数 在 单调递增，A选项正确；
， ，
故 在 处的切线方程为： ，B选项错误；
当 时， ，所以 ，
令 ，那么 ，
所以 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上无零点，C选项正确；
当 时， 在 单调递增，
又 ，
而 ，
由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
从而 在 存在唯一极小值点 ，D选项正确；
故答案为：ACD.

【分析】 根据题意把a=-1代入函数解析式，由导函数在〔0，+∞〕上大于0恒成立可得A正确；求解函数在〔0，f〔0〕〕处的切线方程判断B错误；把a=1代入函数解析式，利用两次求导求得函数的极值判断C正确；利用别离参数法，结合导数求得f〔x〕在〔-π，+∞〕上存在零点的a的范围判断D错误．
12.【解析】【解答】连接 交于点 ，连接 交于点 ，
四边形 为菱形， ，
又四棱柱 为直四棱柱， 平面 ，
那么以 为坐标原点， 的正方向为 轴建立如下列图空间直角坐标系，

那么 ， ， ， ， ， ， ， ；
对于A， ， ， ，
即 不垂直于 ， 与平面 不垂直，A不符合题意；
对于B， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
那么 ，令 ，那么 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
那么 ， ，B符合题意；
对于C，连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ，

由直四棱柱特点知：四边形 为矩形， 为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
可知过 作与 平行的平面 ，平面 截直四棱柱 所得的截面为 ；
在 中，由余弦定理得： ， ；
又 ， ， ， ，
，即所求截面面积为 ，C符合题意；
对于D，设 ，且 ，
又 ， ， ， ， ，
那么 ，又 ，
设直线 与 所成角为 ，
， ，
又 ， ，D符合题意.
故答案为：BCD.

【分析】根据题意由四棱柱的几何性质即可得出线面垂直，再由余弦定理计算出边的大小，然后由数量积的坐标公式代入数值求出夹角的余弦值，由此求出由条件即可求出， 对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为： ，底面半径为：2，圆锥的高为： ；圆锥的体积为： 故答案为
【分析】根据题意由圆锥的几何性质代入数值计算出圆锥的高线，再由圆锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
14.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又
所以 ，那么 .
故答案为： .

【分析】首先由二倍角的余弦公式代入数值计算出， 再由两角和余弦公式整理得到答案。
15.【解析】【解答】 ，所以 ， 
所以 是以 的等比数列，

，
故答案为：21.

【分析】根据题意由条件整理得到数列是等比数列，再由等比数列的通项公式整理结合对数的运算性质计算出答案。
16.【解析】【解答】根据题意，由对任意 ， ，
那么 的函数图像在 关于 对称，
令 可得 ，
又因为对任意 ，
所以 ，又因为 且 是定义域为 的非减函数，
所以当 时，必有 ，
又由于 的函数图像关于 对称，所以 时，也有 ，
，
故答案为：2.

【分析】根据题意由函数的图象结合对称的性质以及函数的单调性，即可得到结果。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由的数列的递推公式整理得到数列的通项公式，同理即可得出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式整理即可得出答案。
(2)根据题意由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，结合裂项相消法整理即可得出答案。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理代入数值整理得到， 再由余弦定理代入整理计算出cosB的值。
(2)根据题意由(1)的结论结合同角三角函数的根本关系式求出sinB的值，结合等比数列的性质求出
再由三角形的面积公式代入数值计算出， 并把数值代入到余弦定理计算出， 由周长的公式代入数值计算出结果即可。
19.【解析】【分析】(1)首先由条件作出辅助线，再由中点的性质得到线线平行，由线线平行得出四边形 为平行四边形，再由线面平行以及面面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的性质定理得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角的 余弦值。
20.【解析】【分析】(1)根据题意由概率的定义结合条件求出结果，再由正太分布的数值结合期望公式计算出答案即可。
(2)结合条件把数值代入到公式计算出参考数据，由此得到线性回归方程并代入数值计算出 使用时间 与质量参数 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合.
21.【解析】【分析】(1)首先由斜率的坐标公式结合点在椭圆上代入得到， 再由斜率之积的公式整理即可得出答案。
(2)根据题意设出直线的方程再联立椭圆的方程消去y得到关于x的方程，由韦达定理结合点到直线的距离公式求出， 再由弦长公式结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。
22.【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对其求导，并把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，结合点斜式即可求出直线的方程。
(2)根据题意设对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出， 令整理由裂项相消法即可求出由此得证出结论。