2021届江苏省徐州市高三下学期数学5月四模试卷及答案

这是一份2021届江苏省徐州市高三下学期数学5月四模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学5月四模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ， 〔    〕
A. 〔－2，3〕                   B. 〔2，3〕                   C. [3，4〕                   D. 〔－∞，2]∪[3，＋∞〕
2.假设纯虚数 满足 (其中 为虚数单位， 为实数)，那么 〔    〕
A. -2                                          B. -1                                          C. 1                                          D. 2
3.二项式 展开式中， 的系数是〔    〕
A. 40                                       B. 10                                       C. -40                                       D. 
4.函数 那么 〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
5. 与 均为单位向量，假设 ，那么 与 的夹角为〔    〕
A. 30°                                      B. 45°                                      C. 60°                                      D. 120°
6.函数 的大致图象为〔 〕
A. 
B. 
C. 
D. 
7.对于数据组 ，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 的估计值是 ，那么将 称为相应于点 的残差．某工厂为研究某种产品产量 〔吨〕与所需某种原材料 吨〕的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表所示：
x
3
4
5
6
y

3
4

根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 ，据此计算出样本处的残差为－0.15，那么表中 的值为〔    〕

8. 是双曲线 的左焦点，圆 与双曲线在第一象限的交点为 ，假设 的中点在双曲线的渐近线上，那么此双曲线的离心率是〔    〕
A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 
二、多项选择题
9. ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，那么以下命题中正确的选项是〔    〕
A. 假设 ， ，那么 ∥                           B. 假设 ， ， ，那么
C. 假设 ， ∥ ， ∥ ，那么 ∥        D. 假设 ， ， ，那么
10.某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 近似服从正态分布 ，那么以下说法正确的有〔    〕
〔参考数据：① ；
② ；
③ 〕
A. 这次考试成绩超过100分的约有500人
B. 这次考试分数低于70分的约有27人
C. 
D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
11.函数 与 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
B. 的图象与 的图象相邻的两个交点间的距离为
C. 图象的一条对称轴为
D. 在区间 上单调递增
12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一〔如图〕．给出以下四个结论，其中正确结论是〔    〕

A. 图形关于 轴对称
B. 曲线 恰好经过6个整点〔即横､纵坐标均为整数的点〕
C. 曲线 上存在到原点的距离超过 的点
D. 曲线 所围成的“心形〞区域的面积大于3
三、填空题
13. ， ， ，那么 的值为________.
14.抛物线C的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，假设 ，那么符合条件的抛物线C的一个方程为________.
15.假设数列 对任意正整数 ，有 (其中 ， 为常数， 且 )，那么称数列 是以 为周期，以 为周期公比的类周期性等比数列.类周期性等比数列 的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，那么数列 前21项的和为________.
16.球的直径 ， ， 是球面上的两点，且 ，假设 ，那么三棱锥 的体积的最大值是________.
四、解答题
17.在平面四边形 中， ， ， ，内角 与 互补，假设 平分 ，求 的长.
18.数列 的前n项和为 ，且 ， ，数列 满足 .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
19.天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了〔除太阳外〕视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中 ．
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四
视星等









a
绝对
星等










赤纬
－16.7°
－52.7°
－60.8°
19.2°
38.8°
46°
－8.2°
5.2°
－57.2°
7.4°
〔1〕从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
〔2〕徐州的纬度是北纬34°，当且仅当一颗恒星的“赤纬〞数值大于－56°时，能在徐州的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为 颗，求 的分布列和数学期望；
〔3〕记 时10颗恒星的视星等的方差为 ，记 时10颗恒星的视星等的方差为 ，直接写出 与 之间的大小关系．
20.如图，正方体 的棱长为2， 是 的中点.设平面 与平面 的交线为l.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的大小.
21.在平面直角坐标系 中，椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，左、右焦点分别为 、 ，且 .
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕过 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 的内切圆 的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值及直线 的方程，假设不存在，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕当 时，求曲线 的过原点的切线方程；
〔2〕当 时， ，求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意可知， ， ，
所以 ，所以 。
故答案为：C．

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用对数函数的单调性求出集合B，再利用交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】由题意可设 ，那么 ，所以 。
故答案为：B．

【分析】利用纯虚数的定义设复数 ，再利用复数的混合法运算法那么和复数相等的等价关系，从而求出m的值。
3.【解析】【解答】二项式 展开式的通项公式为 ， ，
令 ，得 ，
所以展开式中， 的系数是 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出的系数。
4.【解析】【解答】由题意可知， 。
故答案为：C．

【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值。
5.【解析】【解答】 ， ，
，
与 的夹角为 .
故答案为：D

【分析】 直接代入数量积为0即可求解结论．
6.【解析】【解答】由题意可知， ，那么函数为奇函数，那么排除AB，
又因为 ， ，那么排除C，
故答案为：D.

【分析】利用条件结合奇函数的定义，从而推出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性结合函数求极限的方法，从而利用排除法找出函数的大致图象。
7.【解析】【解答】由题意可知，在样本〔4，3〕处的残差－0.15，那么 ，即 ，
解得 ，即 ，
又 ，且线性方程过样本中心点〔 ， 〕，
那么 ，那么 ，
解得 。
故答案为：B

【分析】由题意可知，在样本〔4，3〕处的残差－0.15，那么 ，从而结合代入法求出的值 ，从而求出线性回归直线方程，再利用平均数公式求出中心点，再利用线性回归直线恒过中心点的性质，从而求出表格中的m的值。
8.【解析】【解答】由题意可设右焦点为 ，因为 ，且圆 ： ，所以点 在以焦距为直径的圆上，那么 ，

设 的中点为点 ，那么 为 的中位线，所以 ，那么 ，又点 在渐近线上，
所以 ，且 ，那么 ， ，所以 ，所以 ，
那么在 中，可得， ，即 ，解得 ，所以 。
故答案为：A．

【分析】由题意可设右焦点为 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以 ，且圆 ： ，所以点 在以焦距为直径的圆上，那么 ，设 的中点为点 ，那么 为 的中位线，再利用中位线的性质推出线线平行，所以 ，那么 ，又因为点 在渐近线上，再利用正切函数的定义得出 ，再利用勾股定理得出 ，那么 ， ，所以 ，所以 ，在 中，利用勾股定理可得， ，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A符合题意；
对于B，假设 ， ， ，那么 与 可平行或异面，不一定垂直，所以B不符合题意；
对于C，假设 ， ， ，可推出 ，那么C符合题意；
对于D，假设 ， ， ，那么 与 不一定垂直，所以D不符合题意；
故答案为：AC．

【分析】利用条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面垂直的判定定理，从而选出正确命题的选项。
10.【解析】【解答】由题意可知，对于A， ， ，那么 ，那么成绩超过100分的约有 人，所以A不符合题意；
对于B， ，所以 ，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约为27人，所以B符合题意；
对于C， ， ，所以 ，所以C不符合题意；
对于D，因为 ，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为 ；②3人均超过100分时的概率为 ，那么至少有2人的分数超过100分的概率为 ，所以D符合题意；
故答案为：BD．

【分析】由题意结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而求出 的值 ，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出成绩超过100分的约有的人数；由题意结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合互斥事件加法求概率公式，进而求出 的值， 再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出分数低于70分的人数约为的人数；由题意结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合互斥事件加法求概率公式，进而求出的值；因为 ，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人和②3人均超过100分，再利用二项分布求概率公式结合互斥加法求概率公式，从而求出至少有2人的分数超过100分的概率，进而选出说法正确的选项。
 
11.【解析】【解答】对于A，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得到 ，所以A不符合题意；
对于B，令 ，即 ，
可得 ，那么 ，解得 ，
因此， 的图象与 的图象相邻的两个交点间的距离为 ，所以B符合题意；
对于C， ，
当 时， ，
那么直线 为函数 图象的一条对称轴，所以C符合题意；
对于D， ，
当 时， ，故函数 在区间 上单调递增，所以D符合题意.
故答案为：BCD．

【分析】利用条件结合余弦型函数的图像变换，从而得出选项A错误；令 ，即 ，再利用同角三角函数根本关系式得出， 从而求出， 因此， 的图象与 的图象相邻的两个交点间的距离为 ；得出选项B正确；利用函数 与函数 ， 从而结合诱导公式，从而求出函数， 再利用转化的方法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数求出余弦型函数的一条对称轴，从而得出选项C正确；利用函数 与函数 ， 从而结合二倍角的正弦公式和诱导公式，从而求出函数， 再利用转化的方法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数判断出余弦型函数在区间 上的单调性，从而得出选项D正确，进而选出结论正确的选项。
12.【解析】【解答】对于A，将 换成 方程不变，所以图形关于 轴对称，A符合题意；
对于B，当 时，代入可得 ，解得 ，即曲线经过点 ，
当 时，方程变换为 ，由 ，解得 ，所以 只能取整数1，

当 时， ，解得 或 ，即曲线经过 ，
根据对称性可得曲线还经过 ，故曲线一共经过6个整点，B符合题意；
对于C，当 时，由 可得 ，〔当 时取等号〕， ， ，即曲线 上 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据对称性可得：曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，C不符合题意；
对于D，如下列图，在 轴上图形的面积大于矩形 的面积： ， 轴下方的面积大于等腰三角形 的面积： ，所以曲线C所围成的“心形〞区域的面积大于 ，D符合题意；
故答案为：ABD

【分析】将 换成 方程不变，再结合图形关于y轴对称，从而得出图形关于 轴对称；当 时，代入可得 ，解得 ，即曲线经过点 ，当 时，方程变换为 ，由判别式法得出x的取值范围，所以 只能取整数1，当 时，得出 ，解得 或 ，即曲线经过 ，根据对称性可得曲线还经过 ，故曲线一共经过6个整点；
当 时，由 结合均值不等式求最值的方法，可得 ，〔当 时取等号〕，所以 ，即曲线 上 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据对称性可得曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；在 轴上图形的面积大于矩形 的面积，再利用矩形的面积公式得出， 轴下方的面积大于等腰三角形 的面积，再利用等腰三角形面积公式得出 ，所以曲线C所围成的“心形〞区域的面积大于 ，从而选出结论正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意可知， ，
且 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 。
故答案为： 。

【分析】利用角之间的关系式结合两角和的正切公式，从而结合二倍角的正切公式，再利用角的取值范围，从而求出角的正切值。
14.【解析】【解答】由题意可设抛物线的其中一种方程为 ，
且过 的直线的点斜式方程为 ， ， ，
由 联立消去 可得， ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，那么抛物线 的一个方程为 。
故答案为： 。

【分析】由题意可设抛物线的其中一种方程为 ，且过 的直线的点斜式方程为 ， ， ，再利用直线余抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，所以 ， ，再利用两点距离公式得出 ， 从而求出p的值，进而求出抛物线的一个方程。
 
 
15.【解析】【解答】由题意可知， ， ，且 ，所以 。
故答案为：1090。

【分析】由题意可知， ， ，且 ，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式，从而求出数列 前21项的和。
16.【解析】【解答】由题意可知，取 的中点为点 ，连结 ， ，取 的中点为点 ，

连结 ，因为 为球的直径，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ， ，
那么 ， ，且 ，所以 平面 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 。
故答案为: 。

【分析】由题意可知，取 的中点为点 ，连结 ， ，取 的中点为点 ，连结 ，因为 为球的直径，所以 ，又因为 ，再利用两三角形全等的判断方法，所以 ，再利用全等三角形的性质，所以 ， ，那么 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用三棱锥的体积公式，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，再利用放缩法得出，从而结合三棱锥的体积公式得出三棱锥 的体积的最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】 在 中，由余弦定理得出BC的长，由 结合同角三角函数根本关系式可得， ，由正弦定理得， ，又因为内角 与 互补，再利用诱导公式，所以 ，因为 平分 ，所以 ，再由正弦定理得出CD的长。
 
18.【解析】【分析】〔1〕 利用的关系式结合 ，再利用分类讨论的方法结合等比数列的定义，从而推出数列是首项为 ，公比为 的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式，再由 ，结合对数的运算法那么，得出数列 的通项公式，又因为 ，从而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和，再利用放缩法证出不等式 成立。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合古典概型求概率公式，从而求出它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率。
〔2) 由图表知，有8颗恒星的“赤纬〞数值大于－56°，有2颗恒星的“赤纬〞数值小于－56° ,从而求出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕 在正方体 中，平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理推出线线平行，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
〔2〕 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而结合二面角的平面角的取值范围，进而求出二面角 的大小。
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合四边形的面积公式，得出a,b的一个方程，再利用焦距的定义结合条件求出c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 设 内切圆 的半径为 ，再利用三角形面积公式结合求和法得出三角形 的面积 ，当 最大时， 也最大，三角形 内切圆的面积也最大，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线余椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出和 ， ，再利用三角形面积公式结合弦长公式，得出， 令 ，那么 ，且 ，那么有 ，令 ，其中 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，那么 ，此时， ，从而求出m的值，那么直线 的方程为 ，所以， 有最大值 ，得出 ，再利用圆的面积公式得出此时所求内切圆的面积，所以存在直线 ，使得 的内切圆 的面积最大值为 。
 
 
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再设切点坐标为 ，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再由切线过原点结合代入法，从而求出切点的横坐标，进而求出曲线 的过原点的切线方程。
〔2〕 设 ， ，从而结合求导的方法判断函数的单调性，令 ， ，那么 ，令 ， ，再利用求导的方法结合分类讨论的方法，从而判断出函数的单调性， 当 时， ，所以 在 单调递减， 所以在区间 上有 ， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以在区间 上有 ， 当 时，设 ，由 可知， ，再利用求导的方法判断函数 在 上单调递增，又因为 ，所以 时， ，即 ，从而求出实数a的取值范围。