2021届江西省重点中学盟校高三理数第二次联考试卷及答案

这是一份2021届江西省重点中学盟校高三理数第二次联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第二次联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.数列 为等比数列，公比为 ．假设 ，那么 〔    〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
3.为虚数单位， ， ，那么 〔    〕
A. 1                                         B. 2                                         C.                                          D. 
4. 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充要条件             B. 充分不必要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
5.设 ， 是两个不共线的平面向量，假设 ， ，且 与 共线，那么实数 的值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.设 ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
7.在 的展开式中，所有项的系数和为0，那么展开式中的常数项为〔    〕
A. 15                                        B. -15                                        C. 20                                        D. -20
8.如以下图的程序框图，假设输入正整数 ，那么输出的结果 〔    〕

A. 13                                         B. 25                                         C. 46                                         D. 84
9.双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线 交双曲线右支于点 ，假设线段 的长度正好等于双曲线的焦距，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
10.“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.〞月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今．假设某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，那么该月3日可能是星期〔    〕
A. 一或三                                B. 二或三                                C. 二或五                                D. 四或六
11.函数 ，那么 在 上的零点个数为〔    〕
A. 6                                           B. 7                                           C. 8                                           D. 9
12.在四面体 中， ， ， ．那么四面体 的外接球的外表积为〔    〕
A. 84π                                    B. 96π                                    C. 100π                                    D. 112π
二、填空题
13.假设 ， 满足约束条件 ，那么 的最大值为________．
14.正项数列 的前 项和为 ，假设 ， ，那么 ________．
15.函数 ，假设 在 上恰有2个极值点，那么 的取值范围为________．
16.抛物线 ，斜率小于0的直线 交抛物线于 、 两点，点 是线段 的中点，过点 作与 轴垂直的直线 ，交抛物线于点 ，假设点 满足 ，那么直线 的斜率的最大值为________．
三、解答题
17. 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ．
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ， ，角 的角平分线交边 于点 ，求 的长．
18.如图①，在 中， ， ， ， 为 上一点， ．现将 沿 翻折至图②所示，使得平面 平面 ．

〔1〕假设点 在 上，满足 ．求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19.2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按 、 、 、 、 、 、 分成7组，绘制成了如以下图的频率分布直方图．

〔1〕求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；
〔2〕现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为 ，求 ；
〔3〕学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖时机，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖时机，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量〔单位：本〕及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为 ，求 的分布列和数学期望．
奖品数量〔单位：本〕
2
4
概率


20.设椭圆 ： ， 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为 、 ，点 ，椭圆 的离心率为 ，且 ．
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕不与 轴平行的直线 与椭圆 交于不同点 、 ，点 关于 轴对称点为点 ，点 关于原点的对称点为点 ，且 、 、 三点共线，求证：直线 过定点．
21.设函数 在点 处的切线为 ．
〔1〕求 ， 的值，并证明： ；
〔2〕假设 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕．以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
〔1〕求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
〔2〕设 ，直线 交曲线 于 ， 两点，求 的值．
23.函数 ，函数 ， ．
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设函数 的最小值为-1，且正实数 ， 满足 ，求 的最大值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： ， ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】先分别求出集合M，N，再求出，由此能求出 。
2.【解析】【解答】由题意得 ， ， ，可得 ，解得 .
故答案为：C．

【分析】由题意得 ， 可得，可求出q。
3.【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．

【分析】根据模长公式进行计算即可得出答案。
4.【解析】【解答】解：假设 ，根据线面垂直的性质可得 ，反之不一定成立．
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件，
故答案为：B．

【分析】根据线面垂直的性质定理判断即可。
5.【解析】【解答】由 与 共线，即 ，
所以有 = ，
所以 ，消去
可得 ，那么 ．
故答案为：C．

【分析】由 与 共线，即 ，可得= ，解方程即可求出实数  的值。
6.【解析】【解答】解： ， ，所以 ，
故 ， ．
故答案为：A．

【分析】利用三角函数的单调性，指数函数与对数函数的单调性即可得出。
7.【解析】【解答】由展开式中所有项的系数和为0, 令 ,可得 ，解得
所以
那么 展开式的通项公式为
当 时，为常数项，所以展开式的常数项为 ．
故答案为：D．

【分析】由展开式中所有项的系数和为0, 令 ,可得 ， 然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可。
8.【解析】【解答】模拟运行程序框图：由 ，输入n=5，得
， ，不满足 ；
， ，不满足 ；
， ，不满足 ；
， ，不满足 ；
， ，满足 ．
即输出 为46.
故答案为：C．

【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到满足 即可得出答案。
9.【解析】【解答】解： ，所以 为锐角，那么
，那么
线段 的长度正好等于双曲线的焦距，即 ，
由双曲线的定义可得 ，所以
，化简可得
即 ，解得 ．

故答案为：D．

【分析】由题意知， ，， 由余弦定理求得， 再由双曲线的定义和e，即可得解。
10.【解析】【解答】解：设这个月有31天或30天，
因为 ，所以这个月最多可能有4个完整的周，
假设设该月3号为星期二，那么该月1号为星期天，2号为星期一，所以从2 号开始到该月29号，一共28天，为4个完整的周，
所以这时，2号到29号中星期一有4天，星期二有4天，星期三有4天，星期天有4天，
假设该月有31 天，那么该月30号为星期一，31号为星期二，
所以该月1号到30号，共有5天星期一，4天星期三，5天星期二，5天星期天，
所以该月3号可能为星期三，故排除CD，
设该月3号为星期三，那么1号为星期一，那么该月1号到28号共28天为4个完整的周，其中含有4个星期一、星期二、星期三、星期天，即该月29号为星期一，30号为星期二，
所以当该月有29天时，且该月3号为星期三时，一共有5个星期一，4个星期三，4个星期二和4个星期天，符合题意，故该月3号可能为星期二，所以排除A，
故答案为：B

【分析】利用排除法分析求解，即可得出答案。
11.【解析】【解答】由题意，当 时，作出函数 与 的图像.

由图可知，函数 与 在 和 内各有一个交点，
所以 在 上有2个零点.
由当 时， ，由函数周期性的性质可得
当 时， 上有2个零点,
当 时， 上有2个零点,
当 时， 上有1个零点,
所以 在 上有7零点个数
故答案为：B．

【分析】作出函数 与 的图像，根据函数的周期性以及图像交点的个数，得出零点的个数。
12.【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，分别延长 、 至 、 ，使得 ， ．分别过 、 作平面 、平面 的垂线，交于点 ，

那么 为该四面体的外接球球心．可求得 ， ，故可得 ，那么外接球半径 ，所以该四面体的外接球的外表积为 ．
故答案为：D．

【分析】，取 的中点 ，分别延长 、 至 、 ，使得 ， ．分别过 、 作平面 、平面 的垂线，交于点 ，并计算出长方体的体对角线长作为外接球的直径，再利用球体外表积公式可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】解： ， 满足约束条件表示的可行域如以下图，

由 ，得 ，作出直线 ，向上平移过点 时，目标函数 取得最大值，
由 ，得 ，即 ，
所以 的最大值为
故答案为： ．

【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图像求出最的最大值即可。
14.【解析】【解答】解：当 时， ；当 时， ，相减得 ，即 ， 时也满足．
故 是首项为2公差d=1的等差数列，所以 ， ，那么 ．
故答案为： ．

【分析】先利用求通项公式，再用裂项相消法求和。
15.【解析】【解答】 ，
令 ，解得
所以 的极值点为
当 时，由 ，那么 ，不满足条件.
所以当 时， 在 轴右侧第一个极值点为
当 时， 在 轴右侧第二个极值点为
当 时， 在 轴右侧第三个极值点为
要使得 在 上恰有2个极值点，那么 ， ，
所以 ，即 ．
故答案为： ．

【分析】先将函数 化简为，然后求出的极值点的一般表达式，根据上恰有两个极值点，得出不等式，解出答案。
16.【解析】【解答】解：设 ： ，代入
得 ，
由韦达定理知： ， ，
由 知， ， ， ， ，
.
当且仅当“ 〞即 时，等号成立.
故答案为： .

【分析】设 ： ，代入 ， 得 ，由韦达定理知： ， ， ， 由 知， ， ， ， ，即可得出， 根据根本不等式即可求出直线  的斜率的最大值  .
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理将边化为角，即可化简得出答案；
〔2〕利用角A的余弦定理求出边b，根据BD为角B的平分线可求出 ,再在 中利用一个正弦定理即可求出答案。
 
18.【解析】【分析】〔1〕 在平面  内作  ，垂足为点 ，利用面面垂直的性质定理得出  平面 ，可得 ， 再由 结合线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
〔2〕 以点  为坐标原点，  、  所在直线分别为  、  轴建立如以下图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量法可求得二面角  的余弦值。
19.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图首先判断中位数位于之间，再列出方程求出中位数，求出成绩不低于80分的频率，即可计算出人数；
(2)由题意可知，抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3，再根据古典概型的概率公式计算可得；
(3)设这名同学获得书籍的数量为，那么的可能取值为2，4，6，8．求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可。
20.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆C的离心率和   ，求出b,a，进而得到椭圆的方程；
〔2〕设直线  ：  ，联立方程  ，并根据   、  、 三点共线，从而求出直线过定点。
 
21.【解析】【分析】〔1〕 由  ，得 ， 由切线方程可知 ， 解得 ，令  ，那么  ，令  ，求导得  ，可得  ，  的单调性，即可证得 ；
〔2〕先求导再分类讨论，根据导数得函数的单调性，再根据恒成立的问题即可求出实数  的取值范围 。
 
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系式把极坐标方程、参数方程转换为直角坐标方程；
〔2〕先写出直线的参数方程，利用直线和曲线的位置关系，及根据根与系数的关系求出  的值 。
23.【解析】【分析】〔1〕 不等式  可化为  ， 分  ，  ，  三种情况求出每个不等式的解集，再取并集即可；
〔2〕 当  时， 不满足条件 当  时， ,求出  的最小值为   ，即可求出a， 当  时，   ,求出  的最小值为   ，即可求出a，由 ，即可求出  的最大值 。