2021届山东省潍坊市四县市高三数学5月联考试卷及答案

这是一份2021届山东省潍坊市四县市高三数学5月联考试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学5月联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ，以下可为 的子集的是〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
2.复数 〔 为虚数单位〕，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
3.函数 ，假设 ，那么实数 的值是〔    〕
A. 4                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
4.向量 ， ， ，且 ，那么实数 的值为〔    〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
5.车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论〞引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组〔学习小组没有区别〕，其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能到达最正确效果，那么一共有多少种不同的分组方式〔    〕
A. 26                                        B. 46                                        C. 52                                        D. 126
6.一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水〔图一〕，将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦 所对的圆心角为 ，那么〔 〕

A.                         B.                         C.                         D. 
7.如图， ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P， ．假设 ，M为PQ的中点，且 ，那么双曲线的离心率为〔    〕．

A.                                       B.                                       C.                                       D. 2
8.关于函数 ， 的性质，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 函数 的周期是                                        B. 函数 在 上有极值
C. 函数 在 单调递减                          D. 函数 在 内有最小值
9.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；              乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；                  丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后说明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符有两人获奖，那么获奖者可能是〔    〕.
A. 甲和乙                                B. 乙和丙                                C. 甲和丙                                D. 乙和丁
二、多项选择题
10.、 为实数且 ，那么以下不等式一定成立的是〔    〕
A.               B.               C.               D. 
11.函数 ，那么有〔    〕
A.                                                        B. 
C. 是函数 图象的对称中心                  D. 方程 有三个实根
12.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如下列图， ， ， ， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，那么以下判断中正确的选项是〔    〕

A. 面
B. 与面 所成的角为定值
C. 三棱锥 体积为定值
D. 假设平面 平面 ，那么三棱锥 外接球体积为
三、填空题
13.写出一个满足 的奇函数 ________.
14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 .假设 ，那么 ________.
15.数列 的首项 ，其 前项和 满足 ，那么 ________.
16.从抛物线 的准线 上一点 引抛物线的两条切线 、 ，且 、 为切点，假设直线 的倾斜角为 ，那么 点的横坐标为________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.
问题：在 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ， ， 的面积为3，  ▲  ， 求 .
18.数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
〔1〕求证：当 ， 为定值；
〔2〕把数列 和数列 中的所有项从小到大排列，组成新数列 ，求数列 的前100项和 .
19.为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：
周末运动时间t〔分钟〕






人数
300
600
900
450
450
300
〔1〕从周末运动时间在 的学生中抽取3人，在 的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自 的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
〔2〕由频数分布表可认为：周末运动时间 服从正态分布 ，其中 为周末运动时间的平均数 ， 近似为样本的标准差 ，并已求得 ．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在 之外的人数为 ，求 〔精确到0.001〕；
参考数据1：当 时， ， ， ．
参考数据2： ， .
20.多面体 中， 为正方形，平面 平面 ， ， ， ， ， .

〔1〕证明： ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
21.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆短轴上的一个顶点， 的延长线与椭圆相交于 ， 的周长为 ， .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过椭圆 外一点 作矩形 ，使椭圆 与矩形 的四条边都相切，求矩形 面积的取值范围.
22.函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
〔Ⅰ〕设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
〔Ⅱ〕假设 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以C符合题意.
故答案为：C.

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用集合间的包含关系，从而求出集合A的子集。
2.【解析】【解答】 ，那么 ，
因此， 。
故答案为：A.

【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的加减法运算法那么结合复数求模公式，从而求出的值。
3.【解析】【解答】 ， 变成 ，即 ，解之得： .
故答案为：C.
【分析】先求出 ， 变成 ，可得到 ，解方程即可得解.
4.【解析】【解答】由得 ，又 ，所以 ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】由求得 ，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.
5.【解析】【解答】设分成的两个学习小组为甲组和乙组，这两个小组只是代号，没有区别，
假设1，2号，3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有 种方组方法；
假设1，2号与3，4号在不同的小组，那么其中一个小组还差3人，有 种方组方法，
所以总共有 种分组方法。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合组合数公式结合分类加法计数原理，从而求出一共的不同的分组方式种数。
6.【解析】【解答】设圆柱体底面半径为 ，高为 ，那么水的体积为 ，
水平放置后，水的体积为 ，
所以 ，解得 。
故答案为：D

【分析】设圆柱体底面半径为 ，高为 ，再利用圆柱的体积公式，从而求出水的体积，进而结合作差法求出水平放置后的水的体积，再利用等体积法，从而求出， 进而选出正确的选项。
7.【解析】【解答】连接 ， ，设 ，那么由可得 ．

∵P，Q为双曲线上的点，
∴ ， ．
∵ 为 的中点，且 ，
∴ ．∴ ．∴ ．
∴ ， ， ．
∵在直角 中， ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用a,c表示出三角形 的三条边，由余弦定理即可求得结果.
8.【解析】【解答】对于A，因为 ，当 时， ，所以函数 的周期不是 ，A不符合题意；
对于B，因为 ，设 ，
，当 时， ，
所以 ，即 ，故函数 在 上单调递减，B不符合题意；
对于C， ，所以函数 在 上不单调，C不符合题意；
对于D，因为当 时， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，而 在 上单调递增，所以当 时，函数 取得最小值，D符合题意．
故答案为：D.

【分析】利用周期函数的定义，从而求出函数的周期，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最小值，从而选出说法正确的选项。
9.【解析】【解答】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖〞，而“丙预测说：甲的猜测是对的〞
∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
假设甲和丙的说法要么同时与结果相符，那么丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符有两人获奖，〞相矛盾，故错误；
假设甲和丙的说法与结果不符，那么乙、丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.
故答案为：C

【分析】利用条件结合演绎推理的方法，从而选出可能的获奖者。
二、多项选择题
10.【解析】【解答】因为 、 为实数且 。
对于A选项， ，即 ，A选项错误；
对于B选项，由可得 ，所以， ，B选项正确；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，但 ，所以， ，C选项正确；
对于D选项， ，
当且仅当 时，等号成立，但 ，所以， ，那么 ，D选项正确.
故答案为：BCD.

【分析】利用条件结合不等式的根本性质、作差比较大小的方法、均值不等式求最值的方法，从而选出一定成立的不等式的选项。
11.【解析】【解答】因为函数 ，
A. 因为 ，故正确；
B. 因为 ，所以 ，故正确；
C. 因为 ，所以 是函数 图象的对称中心，故正确；
 D.在同一坐标系中作出函数 的图象：
由图象可知：方程 的实根超过3个，故错误；
故答案为：ABC

【分析】利用二倍角的正弦公式结合诱导公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用代入法结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出， 再利用代入法结合诱导公式得出，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，再利用正弦型函数的图像和对数函数的图象，再结合两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而得出方程 的实根超过3个，从而选出正确选项。
12.【解析】【解答】对于A，由 中点 与 中点 ，得 ,
得 ，
由 为等腰直角三角形得 ，由 ， 面 ，
得直线 面 ，A符合题意；
对于B，由A得， 与面 所成的角为 ，为定值 ，B符合题意；
对于C， 的面积为定值，但三棱锥 的高会随着 点的位置移动而变化，C不符合题意.
D选项，因为平面 平面 ， ，平面 平面 ，所以 平面 ，因此 ；又 ， ，所以 ， ， 那么 ，因此 ；
又在直角三角形 中， ，那么 ，
所以点 即为三棱锥 外接球的球心，因此该外接球的体积为 ，即D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】利用直角三角形和等腰直角三角形的结构特征结合折叠的方法，再结合中点的性质，从而利用线面垂直的判定定理、线面角的求解方法、三棱锥的体积公式、三棱锥外接球的体积公式，从而选出判断正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】取 ，下面为证明过程：
显然，其定义域为R；
由 ，故 为奇函数；
又 。
故答案为： 〔答案不唯一〕。

【分析】利用条件结合奇函数的定义，从而写成一个满足 的奇函数。
14.【解析】【解答】因为 ， ， 所以 ，
所以 ，
故答案为

【分析】根据， 得到n的值，代入式子，结合辅助角公式，即可求出式子的值.
15.【解析】【解答】由题知， ，那么 ，
两式作差得 ，
整理得 ，
所以数列{ }是以 为首项，-1为公比的等比数列，
，所以
故答案为：-999。

【分析】利用得出， 两式作差得， 再利用等比数列的定义，从而推出数列{ }是以 为首项，-1为公比的等比数列，  再利用等比数列的通项公式，从而求出数列第2021项的值。
16.【解析】【解答】设点 ，设点 、 ，对函数 求导得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为直线 、 的公共点，那么 ，
所以，点 、 的坐标满足直线方程 ，
所以，直线 的方程为 ，由题意可得 ，解得 。
故答案为： 。

【分析】因为抛物线 的准线 上有一点 ， 所以设点 ，设点 、 ，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线PA和PB方程，由于点 为直线 、 的公共点，再联立两切线方程求出点 、 的坐标满足的直线方程 ，从而求出直线AB的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出t的值，进而求出点P的横坐标。
四、解答题
17.【解析】【分析】选①，因为 ，由正弦定理得 ，再利用三角形中角A的取值范围，所以 ， 进而求出角A的值，再利用三角形的面积公式结合b的值，从而求出c的值，再利用余弦定理求出a的值。
选②，因为 ，由正弦定理结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，从而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用三角形的面积公式结合b的值，从而求出c的值，再利用余弦定理求出a的值。
选③，因为 ，再利用余弦定理求出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用三角形的面积公式结合b的值，从而求出c的值，再利用余弦定理求出a的值。
18.【解析】【分析】〔1〕 利用数列 的前 项和为 ， ，当 时， ，再利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而得出数列 的通项公式，进而证出当 ， 为定值。
〔2〕由〔1)得出数列 前100项为2、2、3、4、5、…、100， 进而得出数列 为 、 、 、 、 、 ， 把数列 和数列 中的所有项从小到大排列，组成新数列 ， 得出数列 前100项含有数列 的项为 、 、 、 、 、 ，共六项，再利用分组求和的方法结合等比数列前n项和公式和等差数列前n项和公式，从而求出数列 的前100项和。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件求出随机变量 的可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
〔2〕利用条件推出随机变量t服从正态分布，再利用正态分布对应的函数图象的对称性结合条件，从而得出 或 的值，再利用条件推出随机变量Y服从二项分布，再利用二项分布求概率公式，从而求出 的值。 
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕 因为 ， ， ，由勾股定理，可得 的长， 因为 ，再利用对应边成比例，所以 ，因为 ，所以 ，
再利用两三角形相似的判断方法，所以 ，因为 ，所以 ， 又因为平面 平面 ，从而由面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，可得 ，在正方形 中，有 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
〔2〕 以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕 由 的周长为 结合三角形的周长公式，从而结合椭圆的定义求出a的值，
由 且 在 的延长线上，得 ，设点 为椭圆的上顶点，设 ，再利用向量共线的坐标表示，解得 ， ，再利用点G在椭圆上，结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 设四边形 面积为 ，当四边形 的一边与坐标轴平行时，因为四边形 为矩形，再利用矩形面积公式求出四边形 面积；当四边形 的各边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边 所在直线斜截式方程为 ，那么对边所在直线 的斜截式方程为 ，那么另一边 所在直线斜截式方程为 ，
那么 所在直线的斜截式方程为 ，联立直线与椭圆方程结合判别式法，得出
 ， 同理 ，再利用点到直线的距离公式得出矩形一边长 ，矩形另一边长 ，从而结合矩形面积公式得出矩形面积，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出四边形 面积的取值范围。

 
 
 
22.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕利用导数的运算法那么求出函数f(x)的导函数g(x),再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值。
〔Ⅱ〕设 为 在区间 内的一个零点，那么由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.那么 不可能恒为正，也不可能恒为负，再利用零点存在性定理，故 在区间 内存在零点 ，同理 在区间 内存在零点 ，所以 在区间 内至少有两个零点，由〔Ⅰ〕知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点，当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，从而求出实数a的取值范围，再利用函数f(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最值，从而得出函数 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 ，再利用零点存在性定理得出此时 在 和 内各只有一个零点 和 ，由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，再利用零点存在性定理得出函数 在 内有零点，综上所述，从而求出实数a的取值范围。