2021届辽宁省名校高三数学第一次联考试卷及答案

 高三数学第一次联考试卷

一、单项选择题

1.集合 ，那么 〔    〕           

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

2.复数 〔   〕           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

3.以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是〔    〕           

A.                                        B. 
C.                                        D. 

4.在 展开式中， 的系数为〔    〕           

A. 240                                     B. -240                                     C. -160                                     D. 160

5. ，且 ，那么 〔   〕           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

6.抛物线 上一点 到焦点F的距离 ，那么 〔    〕           

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 5

7.某保鲜封闭装置由储物区与充氮区〔内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能〕．如下列图，该装置外层上局部是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为〔    〕 

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

8.函数 ．假设曲线 存在两条过 点的切线，那么a的取值范围是〔    〕           

A.                                             B. 
C.                                             D. 

二、多项选择题

9.如图为某省高考数学卷近三年难易程度的比照图〔图中数据为分值〕．根据比照图，其中正确的为〔    〕 

数学近三年难易程度比照

A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2021年
C. 2021年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
D. 近三年难题分值逐年减少

10.设正实数a，b满足 ，那么〔    〕           

A. 有最小值4       B. 有最大值        C. 有最大值        D. 有最小值

11.中国传统文化中很多内容表达了数学的“对称美〞．如下列图的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分表达了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．假设函数 的图像能够将圆的周长和面积同时平分，那么称函数 为这个圆的“和谐函数〞．给出以下命题中正确的有〔    〕 

A. 对于任意一个圆，其“和谐函数〞至多有2个
B. 函数 可以是某个圆的“和谐函数〞
C. 正弦函数 可以同时是无数个圆的“和谐函数〞
D. 函数 不是“和谐函数〞

12. ，那么以下有关函数 在 上零点的说法正确的选项是〔    〕           

A. 函数 有5个零点
B. 函数 有6个零点
C. 函数 所有零点之和大于2
D. 函数 正数零点之和小于4

三、填空题

13.写出两个与 终边相同的角________．   

14.2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗效劳能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住〞．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业开展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，那么小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为________．   

15.数列 满足： ，假设 ，且数列 是单调递增数列，那么实数t的取值范围是________．   

16.在边长为2的正三角形 中，D是 的中点， ， 交 于F．①假设 ，那么 ________；② ________．   

四、解答题

17.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

〔1〕求A；   

〔2〕假设 ，求 的面积的最大值．   

18.首项为2的数列 中，前n项和 满足 ．   

〔1〕求实数t的值及数列 的通项公式 ；   

〔2〕将① ，② ，③ 三个条件任选一个补充在题中，求数列 的前n项和 ． 

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19.目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为 ，m， ．假设三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为 ．   

〔1〕求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；   

〔2〕三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．   

20.正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体〔各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等〕．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．一个正四面体 和一个正八面体 的棱长都是a〔如图〕，把它们拼接起来，使它们一个外表重合，得到一个新多面体． 

〔1〕求新多面体的体积；   

〔2〕求二面角 的余弦值；   

〔3〕求新多面体为几面体？并证明．   

21.函数 ．   

〔1〕讨论 的单调性；   

〔2〕假设对于 ， 恒成立．求实数k的取值范围．   

22.椭圆 的焦距为 ，经过点 ．   

〔1〕求椭圆C的标准方程；   

〔2〕设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 ，直线 分别交椭圆于A，B． ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 为定值，说明理由．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由 ，所以 ．

故答案为：C．

 
【分析】求出集合A，利用补集定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】

故答案为：B

 
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得出答案。

3.【解析】【解答】圆心 直线 的距离为： ，

因为直线与圆相切，

所以 ，

所以圆的方程是 ，

故答案为：A

 
【分析】先求得圆心到直线的距离即半径，再写出圆的方程即可。

4.【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，

令 ，那么 的系数为 .

故答案为：A.

 
【分析】先求出通项公式，然后令x的指数为2，由此即可得出答案。

5.【解析】【解答】由 得 ，化简得 ，

因为 ，所以 ，所以 ，

所以

.

故答案为：B

 
【分析】 由两边同时平方可求2sinacosa，再对所求式子进行平方，结合其范围即可求解.

6.【解析】【解答】由抛物线的定义可知 ，

∵ ，∴ ，即 ,

∵点 在抛物线 上，

解得： 或 〔舍去〕,

故答案为：B.

 
【分析】由抛物线的定义可知， 与条件结合得， 把点M的坐标带入抛物线方程即可得解。

7.【解析】【解答】由球的性质知内层小圆锥底面半径为 ，

所以充氮区空间体积为 ．

故答案为：B．

 
【分析】 先求出整个装置的体积，然后求出小圆锥的底面半径和高，求出其体积，作差即可求得答案.

8.【解析】【解答】 ，设切点坐标为〔 〕，那么切线方程为 ，

又切线过点〔2,0〕，可得 ，整理得 ，

曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足

，解得 或 ，

故答案为：D.

 
【分析】 对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点(2,0)代入得到， 由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.

二、多项选择题

9.【解析】【解答】对于A选项，由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确；

对于B选项，由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2021年，B选项错误；

对于C选项，由图可知，2021年的容易题与中档题的分值之和为 ，所占比例为 ，C选项正确；

对于D选项，由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.

故答案为：AC.

 
【分析】根据图像逐项进行分析，即可得出答案。

10.【解析】【解答】因为 且 ，

所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，

，A符合题意；

，B不符合题意；

，C符合题意；

，D符合题意．

故答案为：ACD．

 
【分析】由结合根本不等式分别检验各选项，即可得出答案。

11.【解析】【解答】A.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，其“和谐函数〞有无数个，故错误；

B.因为函数 的定义域为R，且 ，所以 是奇函数，当圆心为原点时， 可以是某个圆的“和谐函数〞，故正确；

C.因为正弦函数 是中心对称，当圆心为对称中心时， 可以同时是无数个圆的“和谐函数〞，故正确；

D.只要函数 的图象过圆心时，函数 是“和谐函数〞，故错误；

故答案为：BC

 
【分析】根据和谐函数的定义以及各个选项函数的性质，逐个判断即可求解。

12.【解析】【解答】画出函数 的图象，如下列图：

令 ，那么将问题转化为方程 根的个数

当 时， ，又

所以 ，所以函数在 处的切线方程为

又当 时，

所以方程 根的个数分别为

又 ，那么如图：

所以方程 共有6个交点，所以函数 有6个零点，A不符合题意，B对

设

由图可知： ，

又 ，所以 ，当且仅当 取等号

又 ，所以

所以 ，C对，D不符合题意

故答案为：BC

 
【分析】画出函数 的图象，令 ，那么将问题转化为方程 根的个数，对函数求导即可得出函数在 处的切线方程，所以方程 共有6个交点，所以函数 有6个零点，设 ， 由图可知： ， ，即可得出答案。

三、填空题

13.【解析】【解答】设 是与 终边相同的角，

那么 ，

令 ，得 ，

令 ，得 ，

故答案为： ， (其他正确答案也可)

 
【分析】与 终边相同的角 ，结合k的取值，即可求解。

14.【解析】【解答】根本领件的总数为 ，

小李选择康庄且小王不选择夹山的事件数为2，

所以所求概率为

故答案为：

 
【分析】根据古典概型概率计算公式计算出所求概率。

15.【解析】【解答】因为 ， 得 ， 是等比数列，

所以 ， ，

， ，

是递增数列，

时， ， ，所以 ， ，

又 ，所以 ， ，

综上， ．

故答案为： ．

 
【分析】 先利用递推公式构造出数列是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，求出an，从而求出和bn+1，bn，然后利用数列的单调性，得到对恒成立，即 对恒成立，求解即可得到答案.

16.【解析】【解答】如图，过E作 交 于M，

由 ，得 ， ，

又D是 的中点，得 ， ，故 ，即 ，

所以

所以 ，故

易知

由得

所以

故答案为： ，

 
【分析】 先添加辅助线,利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，那么 都可以用来表示，即可得出答案。

四、解答题

17.【解析】【分析】 (1)由结合同角平方关系及正弦定理，余弦定理可求 ，进而可求A；
(2)由正弦定理表示出b, c，然后结合三角形的面积公式及和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解.

18.【解析】【分析】 (1)    ， 令n=1， 即可求得t的值，由an=Sn-Sn-1  ， 即可求得数列{an}的通项公式；
(2)选①，利用裂项求和法即可得解；选②，利用分组求和法即可得解；选③,利用错位相减法求和即可得解.

19.【解析】【分析】 (1)利用条件列出关于m的等式，求解即可求出m的值，利用对立事件进行求解即可；
(2)先确定X的可能取值，然后求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的求解公式计算即可.

20.【解析】【分析】 (1)分别求得正四面体和正八面体的体积，由新多面体体积为 原正四面体体积  与正八面体体积  之和求解；
(2)在正八面体AC中，取BF的中点为M,连结AM、CM，易得∠AMC为二面角A- BF-C的平面角，利用余弦定理求解；
(3) 由〔2〕可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为    ， 设此角为 ， 再求得四面体相邻面所构成的二面角   的余弦值为 判断.

21.【解析】【分析】 (1)首先求出f’(x) ，然后分别求出当  、 时x的取值范围，即可求出函数f (x) 的单调区间；
(2)令    ，   要使  恒成立 ，只需   时g (x)max≤0,求出
  ， 设 ， 再求出  ，  在  上单调递减，所以h (x) 的范围，最后对k分类讨论，求出实数k的取值范围即可.

22.【解析】【分析】〔1〕利用 ， 椭圆经过点 列出方程，解出a，b，c即可；
〔2〕 设直线  方程  , 与椭圆C交于 ，联立椭圆方程解出点M,N的坐标，题中  可得l与m关系式 ，求出直线AB过定点 ，结合图形特点得   中点R满足  为定值 ，即可求出定值及点R的坐标 。