2021届山东省淄博市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届山东省淄博市高三数学三模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.全集 ，集合 ， ，那么如图阴影局部表示的集合是〔    〕

A.                              B.                              C.                              D. 
2.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数 和时间 〔单位：天〕在 天里的散点图如下列图，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数 和时间 的回归方程类型的是〔    〕

A.                       B.                       C.                       D. 
3.在正项等比数列 中，假设 是 ， 两项的等差中项，那么 〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. -1
4.向量 、 满足 ，那么 〔    〕
A. 3                                         B.                                          C. 7                                         D. 
5. ，且 ， 为虚数单位，那么 的最大值是〔    〕
A. 2                                     B.                                      C.                                      D. 
6.锐角 、 满足 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 4                                        B.                                         C. 8                                        D. 
7.算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要创造，算盘有很多种类．现有一种算盘〔如图一〕，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1〔例如图二中算盘表示整数51〕．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为〔    〕

A. 16                                         B. 15                                         C. 12                                         D. 10
8.设双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P〔异于顶点〕在双曲线C的右支上，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 可能是正三角形                               B. P到两渐近线的距离之积是定值
C. 假设 ，那么 的面积为8       D. 在 中，
二、多项选择题
9.正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为 ，那么〔    〕
A. 棱台的侧面积为
B. 棱台的体积为
C. 棱台的侧棱与底面所成的角
D. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
10.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，该校高一、高二，高三年级学生之比为 ，那么应从高二年级中抽取20名学生
B. 线性回归方程 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C. 命题“ ， 〞的否认是“ ， "
D. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小
11.圆 和圆 的交点为 ， ，那么〔    〕
A. 圆 和圆 有两条公切线                              B. 直线 的方程为
C. 圆 上存在两点 和 使得          D. 圆 上的点到直线 的最大距离为
12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆〞数学之美的新 ．设计师的灵感来源于曲线 ．那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 曲线 关于原点成中心对称
B. 当 时，曲线 上的点到原点的距离的最小值为2
C. 当 时，曲线 所围成图形的面积的最小值为
D. 当 时，曲线 所围成图形的面积小于4
三、填空题
13.请写出一个函数 ________，使之同时具有如下性质：① ， ，② ， .
C的左､右焦点分别为 ，直线AB过 与椭圆交于A ， B两点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为________.
15.函数 〔 ， 〕的局部图像如下列图，那么 ________．

16.如图，在 的点阵中，依次随机地选出 、 、 三个点，那么选出的三点满足 的概率是________．

四、解答题
17.的内角 、 ， 的对边分别为 、 、 ， ， ．
〔1〕求角 的大小；
〔2〕求 外接圆面积的最小值．
18.在图1所示的平面图形 中， 是边长为4的等边三角形， 是 的平分线，且 ， 为 的中点，以 为折痕将 折起得到四棱锥 〔如图2〕．

〔1〕设平面 和 的交线为 ，在四棱雉 的棱 上求一点 ，使直线 ；
〔2〕假设二面角 的大小为 ，求平面 和 所成锐二面角的余弦值．
19.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规那么相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为 ，假设甲自己没有把握答对，那么在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ， 假设每道题答对与否互不影响.
〔1〕当 时，
〔i〕假设甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
〔ii〕甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ， 求随机变量X的分布列和数学期望 ；
〔2〕乙答对每道题的概率为 (含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，假设甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 ，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
20.函数 ．
〔1〕判断函数 在 上的单调性；
〔2〕证明函数 在 内存在唯一的极值点 ，且 ．
21.假设存在常数 ，使得对于任意 ，都有 ，那么称数列 为 数列.
〔1〕数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 ，假设 为 数列，求 的取值范围；
〔2〕数列 的各项均为正数，记 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且 ， ，假设数列 满足 ，且 为 数列，求 的最大值；
〔3〕正项数列 满足： ，且数列 为 数列，数列 为 数列，假设 ，求证：数列 中必存在无穷多项可以组成等比数列.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：解不等式 得 ，故 ，
解不等式 得 ，故
所以
所以如图阴影局部表示的集合是 .
故答案为：C

【分析】阴影局部的表示的是属于A且不属于B，所以选C.
2.【解析】【解答】 ， ，
A中 是常数，B中 是增函数，C中 是减函数，D中 是减函数，
散点图所有点所在曲线的切线的斜率随 的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随 的增大而减小，只有B满足．
故答案为：B．

【分析】根据函数图像增函数，上升趋势大于y=x，只有B满足.
3.【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为 ，
由题可知 ，
所以 ，即 ，
解得 或 〔舍〕，所以 .
故答案为：A

【分析】考查等差中项的性质，由三项成等差数列，得出，代入等比数列通项，解出q，正项等比数列，所以q取正数.
4.【解析】【解答】由可得 ，那么 ，
因此， .
故答案为：D.

【分析】向量的平方，等于该向量模的平方，求向量加减运算的模的情况，考虑平方.
5.【解析】【解答】由三角不等式可得 ，即 的最大值为 .
故答案为：B.

【分析】直接使用三角不等式，也可以利用复数的几何意义求解，z表示以〔0,1〕为圆心，1为半径的圆到点〔1,0〕的最大值。
6.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
令 ， ，那么 ，
因为 、 是锐角，所以 ， ，
那么
，当且仅当 ，即 、 时等号成立，
故答案为：C.

【分析】同名的三角函数积，想到余弦定理。最后转化为均值不等式求最值问题。整式为定值，求分式最值，用1的替换。最后注意取等条件.
7.【解析】【解答】由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法：
①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；
②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56；
③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65，
④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，
综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.
故答案为：C

【分析】分类讨论，十位和个位3枚珠子，一共四种情况。
8.【解析】【解答】在双曲线C中，可知 ，
A选项，由双曲线的定义可知， 不可能是正三角形，A不符合题意；
B选项，设点 ，那么 ，即 ，双曲线C的渐近线为 ，P到两渐近线的距离之积为 是定值，B符合题意；
C选项，由 ，可得 ，即 ，解得 ，那么 ，故 ，C不符合题意；
D选项，设点 ，那么 ，
在 中， ，故 ，那么 ，D不正确．
故答案为：B

【分析】A选项，由双曲线的定义可知， 不可能是正三角形；
B选项，设点 ，根据点到直线距离求解 P到两渐近线的距离之积 可验证B项正确；
C选项，根据题意求解,可验证  的面积为 16；
D选项，设点 ， 在   中求解， 通过三角形的面积公式可得， 进而， 故D不正确。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】作正四棱台如下列图：

对于A，过 作 于 ，过 作 于 ，所以 平面 ， -
，又因为
，所以 ，
所以棱台的侧面积为 .所以A符合题意；
对于B， 上底面面积 ，下底面面积 ，
棱台的体积为 ，B不符合题意；
对于C，因为 为 在底面的投影，所以 为侧棱与底面所成角.
，那么 ，所以C符合题意；
对于D， 为侧面与底面所成锐二面角的平面角，
，所以D不符合题意．
故答案为：AC

【分析】侧面积等于地边长*斜高，用高和侧棱构造直角三角形，求出侧面积；求棱台体积先求上下底面积，再由；求侧棱与地面所成角，即侧棱与地面对角线所成角；侧面与地面所成角，由AB垂直与面A1MH，所以即为所成角。
10.【解析】【解答】对于A，高二年级中抽取为 ，正确；
对于B，线性回归方程 对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；
对于C，否认是“ ， "正确；
对于D，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确．
故答案为：ACD

【分析】分层抽样就是按比例抽样；回归方程必过样本中心点，不一定过样本点；方差越小越好.
11.【解析】【解答】解：对于A ， 因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B ， 将两圆方程作差可得 ，即得公共弦 的方程为 ，B符合题意；
对于C ， 直线 经过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比 长的弦，C不符合题意；
对于D ， 圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】A：两圆满相交，有两条公切线，正确；B：两圆方程作差，可得；
C：注意AB过圆心，是直径； D：垂径定理的应用。
12.【解析】【解答】因为用 代替 仍有 成立，故曲线关于原点成中心对称，A符合题意；
当 时，曲线 ，即 ，设 为曲线上任意一点，
，当且仅当 时等号成立， ，即曲线 上的点到原点的距离的最小值为2，B符合题意；
当 时， ，曲线关于 轴对称，关于原点对称，
当 时，可得 ，与坐标轴围成三角形面积为  ，由对称性知曲线 所围成图形的面积为 ，C不符合题意；
当 时，曲线 关于 轴对称，关于原点对称，当 时， ，
所以 ，故在第一象限局部的面积 ,所以曲线 所围成图形的面积为 ，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】由f(-x)=-f(x)，可知函数中心对称。当 时，由加均值不等式，可得距离最小值；由，得第一象限,面积小于1，根据中心对称，得所求为面积小于4。
三、填空题
13.【解析】【解答】性质①②分别表示 关于直线 对称和以4为周期，
答案不唯一，写出一个即可，
例如 ，
故答案为：

【分析】 由  得关于直线 对称；   ，得 周期为4，再根据三角形的周期和对称，得出.
14.【解析】【解答】不妨设椭圆的方程为 ，
根据椭圆定义， ， ， 为正三角形， ，所以 ，即 为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴.
设 ，那么 ， .
因为 ，即 ，
所以 .

【分析】离心率只要找到a和c的一个等式关系，条件不够，定义来凑。得出AB垂直X轴，用通径的坐标，加上正三角形的性质，可以得到一个关于a、c的关系式.
15.【解析】【解答】由图象知函数为奇函数，所以 ，又 ，所以 ．
，
又由图象知函数 的零点是 ， ，因此周期为 ， ．
所以 ．
故答案为： ．

【分析】根据图像过原点，得出奇函数和， 根据图像得出T，进而得出结果.
16.【解析】【解答】由题意可知 、 、 三个点是有序的，讨论点 为主元，
对点A分三种情况讨论，如以下列图所示：
〔1〕第一类A为5号点.
①假设 ，三点共线有4条直线，此时有 种；
②假设 ，如点 在1号位，那么点 在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，确定第三号点有2种方法，此时有 种；

〔2〕第二类A为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；
〔3〕第三类A为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如以下列图所示：

故有 种.
综上所述，满足 共有 种.
因此，所求概率为 .
故答案为： .

【分析】的表示角BAC为钝角。然后根据A的不同分出不同的情况进行讨论。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕用和差公式、倍角公式化简，根据余弦值为负，和B的范围，得出两个值。
〔2〕三角形里外接圆相关就用正弦定理。由第一位角B得出，所以用角B表示出外接圆面积。再用余弦定理和均值不等式求出b方的最值。
18.【解析】【分析】〔1〕根据线m与面平行，那么m平行与过这条线m的面与面的交线l。由  ，所以BN平行面ADM， 所以BN//l.
〔2〕由BM垂直面AMD，所以 。由此找到A点的纵坐标，根据条件建系求点，然后根据两个法向量求二面角。由观察得出为锐二面角，结果取正值。
19.【解析】【分析】〔1〕条件概率，根据公式，找条件概率、事件积的概率计算即可。
甲每道题的概率都相同，答对题的数量的概率符合二项分布，用二项分布公式计算列表。
〔2〕独立事件的考查，按题目数进行讨论，不低于就是 大于等于。
20.【解析】【分析】〔1〕含有多个函数的函数单调性用导数 ， 由   ， 不好求根，再进行二次求导  和  得出  上，   ， 所以函数  在  上的单调递减；
〔2〕由第一问的单调性， 在区间  上，   ，   单调递增，在区间  上，   ，  单调递减，在区间  上，   单调递增，  为函数  在  上的唯一极小值，最后由  ，    ， 所以   ， 且   ，    ，    ， 得出结论.
21.【解析】【分析】〔1〕新定义题型，得出Z(1)的含义，根据n的范围，得出-2；
〔2〕根据   ，求出bn的解析式；再根据Z(m)的定义，得出不等式
(3)根据Z〔r〕数列和Z〔s〕数列，得到不等式，再结合不等式，得出类推关系，存在无穷多项等比数列.