2021届陕西省汉中市高三上学期理数第一次模拟试卷及答案

这是一份2021届陕西省汉中市高三上学期理数第一次模拟试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三上学期理数第一次模拟试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A. {2}                                 B.                                  C.                                  D. 
2.设复数 ，那么复数 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.设 是函数 的一个极值点，那么 〔    〕
A. -3                                         B.                                          C.                                          D. 3
4.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的选项是〔    〕
A.                      B. 
C.                                                 D. 
5.直线 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
6.过三点 的圆交 轴于 两点，那么 〔    〕
A. 8                                       B. 10                                       C.                                        D. 
7.五声音阶是中国古乐的根本音阶，故有成语“五音不全〞，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，那么这个音序中宫和羽至少有一个的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
8.设 是两条不同的直线， 是一个平面，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么                                 B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么                                   D. 假设 ，那么
9.设 ､ 分别为双曲线 的左、右焦点，假设在双曲线右支上存在点 ，满足 且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
10.三棱柱 中， 平面 ， ，那么三棱柱 的外接球的外表积为〔    〕

A. 32π                                      B. 16π                                      C. 12π                                      D. 8π
11.假设 ，那么〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
12.向量 ， ， 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算： 其中行列式计算表示为 ，假设向量 那么 〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
二、填空题
13. ，向量 ， 与 的夹角为 ，那么 ________.
14.设等比数列 的第四项是 的展开式中的常数项，且首项 ，那么 通项公式为 ________.
15.为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下〞汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行.其中有?百人齐奏?､?二重奏?､?独奏?､?小合唱?､?伴唱?和?茶艺?六个表演节目，如果?百人齐奏?必须排第一个，?小合唱?和?伴唱?不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为________.(用数字作答)
16.函数 是 上的偶函数，对任意的 都有 ，当 且 时，都有 ，给出以下命题：
① ；
②函数 在 上是递增的；
③函数 的图像关于直线 对称；
④函数 在 上有四个零点.
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题
17.的内角 的对边分别为 ，满足 .
〔1〕求角 ；
〔2〕假设 的面积为 ， ，求 的周长.
18.为了响应政府“节能减排〞的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如下列图：

年龄





接受的人数
14
6
15
28
17
附：
〔1〕由以上统计数据填 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

44岁以下
44岁及44岁以上
总计
接受



不接受



总计



〔2〕假设以44岁为分界点，从不接受“纯电动汽车〞的人群中，按分层抽样的方法抽取8人调查不接受“纯电动汽车〞的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望.










19.如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，点 在棱 上.

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕当 ， 为 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.椭圆 的离心率为 ，椭圆的中心 到直线 的距离为 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设过椭圆 的右焦点 且倾斜角为 的直线 和椭圆交于 两点，对于椭圆 上任意一点 ，假设 ，求 的最大值.
21.函数 .
〔1〕当 时，求 在 上的最值；
〔2〕设 ，假设 有两个零点，求 的取值范围.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 交曲线 于 两点.
〔1〕写出直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
〔2〕设点 的直角坐标为 ，假设点 到 两点的距离之积是16，求 的值.
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以
所以 .
故答案为：B．

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】由题意，复数 ，
所以复数 对应点为 位于第一象限.
故答案为：A.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数 在复平面内对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置确定复数 在复平面内对应的点所在的象限。
3.【解析】【解答】因为函数 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：C.

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数 的一个极值点， 从而推出， 再利用同角三角函数根本关系式变形求出角的正切值。
4.【解析】【解答】对于A选项， ，A选项正确；
对于B选项， ，
所以， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以， ，D选项正确.
故答案为：B.

【分析】利用等比数列前n项和公式、裂项相消的方法、通分的方法、等差数列前n项和公式结合裂项相消的方法，从而找出几个埃及分数求和不正确的选项。
5.【解析】【解答】∵直线 ，
当“ 〞时，直线 ，不满足 ，
当“ 〞时，直线 ，不满足 ，
∴当 时，那么 ，解得 或 .
而由 ，解得 ，
所以由“ 〞能推出“ 〞，由“ 〞不能推出“ 〞，所以“ 〞是“ 〞充分不必要条件.
故答案为：A.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞充分不必要条件。
6.【解析】【解答】由题意，设圆的圆心为 ，半径为 ，圆的标准方程为 ，
又 在圆上，

解得 ，
故圆的方程为 ，圆心为 ，半径 ，
故圆心到 轴的距离 ，
弦长 ，
故答案为：D.

【分析】由题意，设圆的圆心为 ，半径为 ，圆的标准方程为 ，再利用圆过三点 ，从而结合代入法解方程组求出a,b,r的值，进而求出圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标和半径长，再利用圆交 轴于 两点结合几何法，从而利用点到直线的距离公式求出圆心到 轴的距离，再利用勾股定理结合弦长公式，从而求出弦长的值。
7.【解析】【解答】设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，那么 表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，
，
故答案为：B。

【分析】利用条件结合对立事件求概率公式，从而结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而求出这个音序中宫和羽至少有一个的概率。
8.【解析】【解答】 ， ，那么 可能平行，A不正确；
，那么 可能平行，可能线在面内，B不正确；
， ，由线面平行的性质可得 ，C符合题意；
， ， 与 可能平行、相交、异面，D不正确.
故答案为：C.

【分析】利用条件结合线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、线线平行的判断方法，从而找出说法正确的选项。
9.【解析】【解答】依题意 ，可知 是一个等腰三角形， 在直线 的投影是中点，根据双曲线定义可知 ，所以 ，由勾股定理可知 ，整理可得 ，即 ，解得 。
故答案为：D.

【分析】依题意 ，可知 是一个等腰三角形， 在直线 的投影是中点，根据双曲线定义可知 ，由勾股定理可知 ，再利用双曲线的离心率公式变形，从而解一元二次方程求出双曲线的离心率。
10.【解析】【解答】把三棱柱放入长方体中，如下列图，

所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，
，
长方体的外接球半径 ，
三棱柱 的外接球半径为 ，
外表积为 ，
故答案为：D.

【分析】把三棱柱放入长方体中，所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，再利用长方体的体对角线等于长方体外接球的直径，再利用勾股定理求出长方体外接球的直径，进而求出外接球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出三棱柱 的外接球的外表积。
11.【解析】【解答】依题意，
，
令 ，
那么 ，
所以 函数在 上单调递增；
又 ，
得 ，
又 ，
那么 ，
又 函数在 上单调递增，
那么 ，
即 ，
所以 ，
A符合题意，B不正确；
又 无法确定与 的关系，
C、D不正确；
故答案为：A.

【分析】依题意，，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，又 ，得 ，又 ，那么 ，再利用增函数的定义判断出函数 在 上单调递增，从而推出，即 ，所以 ，再利用 无法确定与 的关系，从而选出正确答案。
12.【解析】【解答】由题意得 ，故答案为：C。

【分析】利用空间向量的正交分解结合向量的叉积的坐标表示，从而求出 的坐标表示。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
故答案为：3。

【分析】利用定积分求出m的值，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的求解公式，从而求出向量的模，再利用数量积的定义，从而结合条件，求出数量积的值。
14.【解析】【解答】由题意得 ，设等比数列 的公比为 ，又首项 ，所以 ，解得 ，所以 ，
故答案为： 。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，进而求出等比数列的第四项的值，再利用条件结合等比数列通项公式，从而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式。
15.【解析】【解答】由题意得：分3步进行分析：
第一步，将?二重奏?､?独奏?､和?茶艺?三个节目全排列，有 种；
第二步，3个节目排好后，有4个空位，将?小合唱?､?伴唱?安排在4个空位中，有 种；
第三步，将?百人齐奏?排第一个，有1种，
所以共有 种，
故答案为：72。

【分析】利用分步乘法计数原理集合排列数公式，从而求出出场顺序的排法种数。
16.【解析】【解答】因为函数 对任意的 都有 ，
令 ，那么 ，所以 ，
又函数 是 上的偶函数，所以 ，所以①正确；
因为当 且 时，都有 ，
那么当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
因为 是偶函数，所以 在 上单调递减，
因为 ，那么有 ，即 ，
又 是偶函数，那么有 ，
可得 ，所以函数 关于 对称，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以②错误；
因为 ，即 ，
再根据 ，可得 ，
所以 ，
所以 关于 对称，由 是偶函数可得 关于 对称可得所以③正确；
因为 ，那么 ，
因为 是偶函数，所以 ，
所以 ，
所以函数 在 上有四个零点，所以④正确.
故答案为：①③④

【分析】因为函数 对任意的 都有 ，
令 ，那么 ，所以 ，再利用偶函数的定义，从而求出f(4)的值；利用条件当 且 时，都有 ，结合单调函数的定义，从而判断函数在给定区间的单调性；因为 结合f(4〕的值，即 ，再根据 ，可得 ，所以 ，所以 关于 对称，由 是偶函数，结合偶函数图象的对称性，可得 关于 对称；因为 ，那么 ，因为 是偶函数，所以 ，所以 ，从而求出函数 在 上的零点个数，进而选出真命题的序号。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式，从而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
〔2)利用条件结合三角形的面积公式，从而求出ac的值，再利用余弦定理求出a+c的值，再联立a,c的两个关系式，从而求出a,c的值，再利用三角形周长公式求出三角形 的周长 。
18.【解析】【分析】〔1〕利用调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果表，从而填写出 列联表， 再利用独立性检验的方法得出能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车〞的接受程度有差异。
〔2〕 由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以 的可能取值有0，1，2，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
19.【解析】【分析】〔1〕 因为四边形 是正方形，所以 ，又因为 底面ABCD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直， 所以 ， 再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ， 再利用线面垂直证出面面垂直，即平面 平面 。
〔2) 以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ,进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆的离心率公式结合条件椭圆 的离心率为 ，从而求出a,c的关系式， 再利用椭圆的中心 到直线 的距离为 ，结合点到直线的距离公式，从而求出b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出右焦点坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而结合条件求出直线的斜率，再利用点斜式求出过椭圆 的右焦点 且倾斜角为 的直线 的方程，再利用直线 和椭圆交于 两点，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 设 ，由 ，结合向量的坐标运算得出
， 又因为点 在椭圆上结合代入法， ， ① ， 点 在椭圆上结合代入法，② ， 将②③代入①可得 ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 的最大值 。
21.【解析】【分析】(1)利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 在 上的最值 。
〔2〕 设 ， 利用函数的零点等价于两函数交点的横坐标，从而由函数 有两个零点， 结合求导的方法判断函数的单调性，进而画出两函数f(x)与g(x)的图像，再利用两函数图象结合分类讨论的方法，进而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程转化的方法，再结合极坐标与直径坐标的互化公式，从而写出直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程。
〔2〕利用条件结合两点距离公式，从而结合条件点 到 两点的距离之积是16，进而求出a的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用绝对值定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像求出不等式 的解集。
〔2〕利用绝对值定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像求出分段函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法结合不等式 对一切实数 恒成立，从而求出实数a的取值范围。