2021届山东省济南市高三数学高考模拟试卷及答案

这是一份2021届山东省济南市高三数学高考模拟试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学高考模拟试卷
一、单项选择题
1.在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ．假设 为线段 上的点，且 ，那么点 对应的复数是〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.全集 ，集合 ， ，那么以下Venn图中阴影局部的集合为〔    〕

A.                            B.                            C.                            D. 
3.随机变量 ，且 ，那么 〔    〕

4.假设函数 在R上单调递增，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
5.变量x，y的关系可以用模型 拟合，设 ，其变换后得到一组数据下：

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由上表可得线性回归方程 ，那么c＝〔　　〕
A. -4                                       B.                                        C. 109                                       D. 
6.直线 与曲线 〔　　  〕
A. 没有交点                       B. 只有一个交点                       C. 有两个交点                       D. 有三个交点
7.在 中， ，假设 ，那么 的取值范围是〔    〕
A.        B.        C.        D. 
8.，那么a，b，c的大小顺序为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
9.如图，平面四边形 中，E，F是 ， 中点， ， ， ，将 沿对角线 折起至 ，使平面 平面 ，那么四面体 中，以下结论不正确的选项是〔    〕

A. 平面                                               B. 异面直线 与 所成的角为90°
C. 异面直线 与 所成的角为60°                D. 直线 与平面 所成的角为30°
二、多项选择题
10. ， ， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.               B.               C. ab的最大值为               D. 的最小值为
11.函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 为函数 的一个周期                                  B. 直线 是函数 图象的一条对称轴
C. 函数 在 上单调递增                        D. 函数 有且仅有2个零点
12.假设双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，那么以下说法正确的选项是〔  〕
A. 双曲线 的离心率为                                                         B. 点 的运动轨迹为双曲线的一局部
C. 假设 ， ，那么 .     D. 存在点 ，使得
三、填空题
13.?航拍中国?是中央播送电视台推出的以空中视角俯瞰中国的纪录片，立体化展示了我国历史人文景观、自然地理风貌及经济社会开展?四川?这一集后，决定利用四天假期时间游玩峨眉山、黄龙、九寨沟和都江堰四个景区，每天游玩一个景区，且黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，那么该同学的不同游玩方法种数为________.
14. 是周期为 的偶函数，那么函数 ________〔写出符合条件的一个函数解析式即可〕
15.变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线，这种螺旋线极具美感.图1是鹦鹉螺的截面，其轮廓是等比变径螺旋线〔半径构成等比数列〕，图2是一段等差变径圆弧螺旋线〔半径构成等差数列〕，其中ABCDEF是边长为1的正六边形，弧 是以A为圆心，AF为半径的圆弧，弧 是以B为圆心， 为半径的圆弧，弧 是以C为圆心， 为半径的圆弧，依次类推，各圆弧的圆心角均等于正六边形的外角，那么弧 的长为________.

16.三棱锥 的所有棱长都为2，且球O为三棱锥A-BCD的外接球，点M是线段BD上靠近D点的四等分点，过点M作平面 截球O得到的截面面积为 ，那么 的取值范围为________.
四、解答题
17.在 中，角A，B，C对边分别为a，b，c， ， ， ，角B的平分线交边AC于点D.
〔1〕求角A；
〔2〕求AD的长.
18.首项为 ，公比为 的等比数列 前 项和为 ，假设   ▲   ， 是否存在互不相等的正整数 ，使得 ， ， ，成等差数列？假设存在，求 ；假设不存在，请说明理由.
从〔1〕 〔2〕 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的中点．

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，那么需要检验n次；②混合检验，将其中 份血液样本分别取样混合在一起检验.假设检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 .
〔1〕假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，假设采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
〔2〕现取其中 份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .
〔i〕试运用概率统计知识，假设 ，试求P关于k的函数关系式 ；
〔ii〕假设 ，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据： ， ， ， ，
21.在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且椭圆C上一点N到 距离的最大值为4，过点 的直线交椭圆C于点A、B.
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕设P为椭圆上一点，且满足 〔O为坐标原点〕，当 时，求实数t的取值范围.
22.函数 ， .〔 ……为自然对数的底数〕
〔1〕设函数 ，当 时，求函数 零点的个数；
〔2〕求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】两个复数对应的点分别为 ， ，
设点C的坐标为 ，
那么由 ，得 为 的中点，
故 的坐标为 ，那么点 对应的复数是 .
故答案为：B．

【分析】首先求出复数对应的点的坐标，再由向量的坐标公式整理即可得出点C为AB的中点，由此求出点C的坐标，从而得出答案。
2.【解析】【解答】集合 ，
Venn图中阴影局部表示的集合是 .
故答案为：C

【分析】首先由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，即可得出集合M，再由条件结合集合的韦恩图以及补集和交集的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】因随机变量 ，那么 ，而 ，即 ，
于是有 .
故答案为：D

【分析】 根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求解.
4.【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，
那么有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，
于是得 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 .
故答案为：A

【分析】由分段函数的解析式结合一次函数和对数函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
5.【解析】【解答】由表格数据知： .
由 ，得 ，那么 .
∴ ，
由 ，得 ，
∴ ，即 .
故答案为：D.

【分析】首先由的图表中的数据结合平均数公式计算出结果，再由条件代入计算出a的值，从而得到， 由对数的运算性质整理即可得出答案。
6.【解析】【解答】当 时，曲线为 ，与直线方程联立得：
解得： ，     此时直线与曲线有两个交点
当 时，曲线为 ，与直线方程联立得：
解得： 〔舍〕，     此时直线与曲线有一个交点
综上所述：直线与曲线有三个交点
故答案为：D

【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答案。
7.【解析】【解答】以 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如以下列图的平面直角坐标系，

那么 ， .设点 ，由 ，
可得 ，化简得 ，
故点 的轨迹为圆〔不包含与 轴的交点〕，记圆 与 轴的交点分别为 ， 〔 在 的左侧〕那么 ， ，
所以 ， .
故答案为：C.

【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点的坐标，再由整理得到点A的轨迹方程， 由此得出， 结合数量积公式结合余弦函数的性质整理即可得出的取值范围。
8.【解析】【解答】令 ，那么 ， ， ，
而 且 ，即 时 单调增， 时 单调减，又 ，
∴ ， .
假设 有两个解 ，那么 ， ，
即 ， ，
令 ，那么 ，即 在 上递增，
∴ ，即在 上， ，假设 即 ，故 ，有
∴当 时， ，故 ，
综上： .
故答案为：A

【分析】根据题意构造函数， 由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出、， 假设 有两个解 ，那么 ， 构造函结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可比较出a与c的大小，从而得出答案。
9.【解析】【解答】对于A：因为E，F分别为 和 两边中点，
所以 ，又 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B：因为平面 平面 ，交线为 ，且 ，
所以 平面 ，即 ，B符合题意；
对于C：取 边中点M，连接 ， ，那么 ，

所以 或其补角为异面直线 与 所成角，
又 ， ， ，即 ，C不符合题意；
D：连接 ，可得 ，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，
连接 ，可得 为 与平面 所成角，由 ，
那么直线 与平面 所成的角为30°，D符合题意.
故答案为：C.
【分析】运用线面平行的判定定理可判断A符合题意；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B符合题意；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C不符合题意；由线面角的求法，可判断D符合题意.
二、多项选择题
10.【解析】【解答】由 可得， ，即 ．所以A不符合题意，B符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以ab的最大值为 ，C符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．

【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，再由根本不等式对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】因为
，所以 为函数 的一个周期，选项 正确；
因为
，所以直线 是函数 图象的一条对称轴，故答案为：项 正确；
因为
 ，所以 是偶函数，
又当 时， 单调递减， 单调递增，且 ，所以 在 时单调递减；
当 时， 单调递增， 单调递减， 且 ，所以 在 时单调递减，
所以函数 在 时单调递减，
又 为函数 的一个周期，且直线 是函数 图象的一条对称轴，所以画出函数 的图象如图，由图可知，C，D不符合题意.

故答案为：AB.

【分析】 根据判断选项A正确；根据判断选项B正确；
判断出函数f(x) 在的单调性，结合周期性，奇偶性和对称轴画出函数的简图，由此可以判断选项C和D错误，由此得出答案。
12.【解析】【解答】由题意，双曲线 ，可得 ，
那么离心率为 ，所以A符合题意；

设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，
与边 切于点 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
又由 ，解得 ，那么 的横坐标为 ，
由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动，
所以B不正确；
由 且 ，解得 ，
那么 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ，
设直线 ，直线 ，
联立方程组，求得 ，
设 的内切圆的半径为 ，那么 ，
解得 ，即有 ，
可得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
可得 ，所以C符合题意；
设 ，那么 ，
设 的内切圆的半径为 ，那么 ，
于是 ，可得 ，
假设 ，可得 ，即 ，
又由 ，联立可得 ，
因此 ，解得 ，
即存在点 ，使得 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】由题意，结合双曲线标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中三者的关系式，从而求出c的值，再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，与边 切于点 ，可得 ，由双曲线的定义可得，又由 ，解得点 的横坐标为 ，由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动；
由 且 ，解得 ，再利用余弦定理求出的值 ，再利用同角三角函数根本关系式，可得 的值 ，进而求出 的值 ，同理可得 的值 ，设直线 ，直线 ，联立方程组，从而求出交点的坐标 ，设三角形 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合条件，从而求出三角形 的内切圆的半径，从而求出点I的坐标， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面向量根本定理解得x,y的值，可得 的值 ；设 ，再利用重心的性质，得出 ，设 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合条件，可得三角形 的内切圆的半径 ，假设 ，再利用两直线平行对应边成比例，可得，又由 ，联立可得 的值 ，因此 ，从而得出 的值 ，即存在点 ，使得 ，从而选出说法正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，所以先排好峨眉山，都江堰，再根据它们产生的三个空位选择两个将黄龙和九寨沟排进去，所以共有 种不同游玩方法．
故答案为：12．

【分析】由排列组合以及计数原理结合条件计算出结果即可。
14.【解析】【解答】因 是周期为 的偶函数，可联想到余弦型函数 ，
显然 ， ，
，由 得 ，
所以 .
故答案为：

【分析】首先由函数的周期性以及偶函数的性质即可得出和的值，由此得到函数的解析式即可。，
15.【解析】【解答】由题意知， ，故 ，
又因为图2是一段等差变径圆弧螺旋线，所以公差 ，
故 ，
又正六边形的外角等于 ， ，
的长 ，
故答案为：

【分析】首先由三角形的几何性质得出边之间的关系，再由圆的性质结合等差数列以及正六边形的几何性质即可得出角以及半径的值，结合弧长公式计算出结果即可。
16.【解析】【解答】三棱锥 的所有棱长都为2，那么三棱锥 是正四面体，将它放置于正方体中，可得正方体外接球就是正四面体的外接球，如图：

正方体棱长为 ，球O的球心O是正方体的中心，球O的半径R，那么 ， ，
过点M作球的最大截面是球面大圆，那么截面面积最大值 ，
点M在线段BD上， ，连OB，OD，那么 是等腰三角形，过O作 于E，那么E为BD中点，， ，
由球面的截面性质知，当 平面 时，平面 截球面所得小圆面积最小，
这个最小圆半径为 ，
那么截面面积最小值 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：

【分析】根据题意首先由三棱锥的几何性质结合外接球的性质，由三角形内的几何计算关系计算出球的半径再把数值代入到截面面积公式计算出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理代入数值整理得到， 然后由余弦定理即可求出cosA的值，由此即可求出角A的值。
(2)由三角形内的几何计算关系以及两角和的正弦公式和正弦定理整理即可得出， 再由角平分线的性质即可得出AD的值。
 
 
18.【解析】【分析】 假设选择〔1〕 由等比数列的通项公式结合条件即可求出q的值，由假设法结合条件以及等差数列的性质即可得出， 整理得到由此得出
， 为偶数，而 为奇数，从而得证出结论。 假设选择〔2〕，由等比数列的前n项和公式整理得出q的值，再由假设法由等差数列以及等比数列的前n项和公式，整理即可得出， 对k、r、t赋值由此得出 存在正整数 使得 ， ， 成等差数列 ，从而得证出结论。
19.【解析】【分析】(1)法一:根据题意作出辅助线由中点的性质得出线线平行，结合梯形的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形，从而得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。法二：根据题意作出辅助线由中卫咸的性质即可得出线线平行，由线面平行的判定定理即可得出线面平行，由线面平行的性质定理即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形 ，进而得出线线平行，再由面面平行的性质定理即可得出线面平行即可。
(2)由条件结合面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即线面角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值.
20.【解析】【分析】 (1)根据排列的方法列式求概率即可.
(2) 〔i〕 分别求解， 再化简时，函数p=f(k)的解析式即可.
〔ii〕 由题意， 化简可得， 再构造函数求导分析函数的单将性再根据零点存在性定理求区问端点的正负判断可，从而求出最大值。
21.【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质求出， 再把点的坐标代入结合两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得出当 时， 有最大值，结合条件求解出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式整理得到结合条件即可得到关于k的不等式求解出k的取值范围，然后由点在椭圆上代入整理得到， 结合k的取值范围即可得出t的取值范围。
 
22.【解析】【分析】(1)根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数h〔x〕的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得证出结论。
(2)由条件即可得出， 构造函数， 对其求导结合导函数的性质即可得出函数F(x)的单调性，由函数的单调性即可得到即， 因此只需证明 ，令再结合导函数的性质求出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值，因此得到从而得证出结论。